Оппенгейм - Применение цифровой обработки сигналов (1044221), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

В правой части записано двумер~ное разностное уравнение относительно фазовой характеристик~и, а слева фигурируют только измеренные величины. Интегрирование этого,разностного уравнвния,по всей плоскости преоб~разовани~я Фурье даст фазовую характеристику, а в ~сочетании с модулем Р, ~полученным из .равенства (4.61), — спектр ~восстановленного изображен~ия. Моделирование метода Нокса — Томпсона показало, что он может значительно улучшить разрешение при наблюдениях сквозь турбулентную атмосферу..

На риис. 4.18 этот процесс иллюстр~ируется с помощью изоб~ражен~ия астероида, полученного модел~ирован~ием на ЭВМ. На рис. 4.18, а приведен оригинал, на Рис. 4.18, б показаны четыре отдельных снимка с атмосферными искажениями, а на рис. 4.18, в — восстановленное изображение, причем фазовая информация была получена в соответствии с формулой (4.62) путем обработки 100 снимков, подобных приведенным на рис. 4.18, б. Цифровая обработка изображений 253 4.5. Воспроизведение изображений по проекциям Открытие проникающей радиации (рентгеновских лучей, нейтронных, пучков и т.

д.) дало возможность получать изображения объектов, ранее недоступных или доступных только с помощью грубых ~и зачастую нежелательных средств; при~мером такого объекта могут служить внутренние участки мозга. Подобные изображения имеют очень важное значение для развития ~медицины. Усиление контроля за качеством элементов болыпих конструкций обусловило важность так|их изображений для неразрушающих методов контроля. Однако изображен~ия, полученные путем ~просвечивания с помощью прон~икающего и~злучения, имеют недостаток: они являются двумерными теневым~и проекциями трехмерных объектов. Важные особенности пространственного расположения внутренних частей о~бъекта в процессе проектирования в,лучшем случае искажаются,,а в худшегм — теряются,вообще.

При хирургических операциях (например, при опухолях мозга) незнан~ие внутренней структуры может оказаться, очевидно, роковым обстоятельством. Задаче воспроизведения внутренней структуры объекта по его проекциям в последнее время уделяется большое ~внимание, и методы цифровой обработки сигналов оказали заметное влияние на ее,решение. Предложен ряд методов воспроизведения изображения ~по проекциям; список литературы,по этому вопросу дан в статье Мерсеро ~и Оппенгейма ~501. Ниже будет рассмотрена задача ~воспроизведения изображения по проекция1м и дано ее решение методом, характерным для цифровой обработки сигналов, а и~менно, с помощью преобразования Фурье. 4.5.1.

Образование проекций К(х2> хз) ~ ~(х~ х2~ хз) ~х1 (4,63) Изображен~ия, получаемые с помощью проникающей радиации, образуются за счет ослабления луча в исследуемом ~веществе. Чем плотнее вещество, тем слабее интенсивность луча, прошедшего через, вещество. Таким образом, изображение, наблюдаемое в проходящих лучах, определяется интегральным влиянием некоторой характерист~ики ~вещества объекта на интенсивность луча.

Пусть ~(хь х2, хз) описывает распределение вещества в пространственных координатах (х,, х~, хз). Допустим, что просвечивающий луч направлен вдоль оси хп как на рис. 4.19. Тогда распределен~ие интенсивности проникающего излучения в плоскости (х2, хз) ~пропорционально функции д, определяемой соотношением Глава 4 254 Цифровая обработка изображении 255 и соотношение ~М2) ~з(Ф[~ ~с[2) ~ю Ое (4.68) созО з[п 0~ — з[п 0 сов 0) кпплтп ,пижамная х' Важное свойство проекций, задаваемых формулами типа (4.63), можно заметить прои анализе преобразования Фурье от функции д'(хз, хз): Е [г,, ю,[= 1 1 д [х„х,[ ехр [ — ( [т,х, + ю хд[ Шх,йхз [4.64[ Трехмерное преобразование Фурье от исходного распределения имеет ~вид 00 О е[ю„ю„ю[= 1" ~ 1 [[х„х„х[ехр[ — ([юх, +их,-[-ю хз[! х ~' с~х1 г1хФхз.

(4.65) Сравнивая 6 и 1, видим, что ~ (М2з ~~- 3) ~ (1е[1! 2> ~с[3) ~~(,=0 (4.66) Таким образом, преобразование от проекции равно преобразованию Фурье от распределения вещества в объекте при в[=0. Такую функцию называют сечением преобразования Фурье, посколь- 05~еклт т 1х „хз, хз) 14 слтпчник кпллимиуппаннпгп пучка аллельньтх луней Гис, 4 19, Геометрические соотношения при воспроизведении изобраткения по проекциям, ку она образуется сечением исходного трехмер~ного преобразования вдоль двумерной плоскости. Очевидно, что аналогичными свойствами обладают также проекции меньших размерностей.

Предположим, что проникающее излучение направлено в виде плоского луча (т. е. луч имеет бесконечно малый размер вдоль оси хз и перпендикулярен ей, причем вдоль оси х2 его интенсивность одинакова, а ширина больше размеров объекта). Луч с координатой хз будет проектировать все элементы внутреннего строения объекта, лежащего в сечении, совпадающем с плоскостью луча.

Если распределение ~вещества в сечении с координатой хз описывается функцией ~з(хь х~), то одномерная проекция ~двумерного сечения имеет ванд д [х,) = 1 ~„[х,, х,[ шх „ как и,прежде, описывает связь между. преобразованиям~и проекции ~и Оригинала. Предположим теперь, что [плоский луч проникающего излучения остается перпендикулярным оси хз, а источник излучения вращается вокруг |некоторого центра, находящегося в объекте, та[к что угол между направлением луча ~и осью х[ равен не нулю, а некоторой величине О (см. рис. 4.20). Очевидно, можно сделать преобразование координат так, чтобы ось и[ была ~параллельна направлению проектирующего луча.

Это .преобразование имеет вид Равенства (4.67) и (4.68) остаются справедливыми ~и в новой систе~ме координат (и[, из), что позволяет сформулировать следующую теорему о проекции и сечении: одномерное [преобразование Фурье от [проекции под углом 0 равно преобразованию Фурье исходного двумерного распределения ~вещества в двумерной плоскости спектральных переменных вдоль лини~и, напра[вленной под угло[м О, т.

е. является сечением спектра под углам 0'>. С помощью этой теоремы ~на основе проекций трехмерного тела можно воспроизвести изображение внутренней ~структуры тела. Если ~источник плоского луча, расположить в точке с координатой хз, как показано на рис. 4.20, и изменять угол О ~в интервале О(0(л, то, как показано в следующем, разделе, нз набора одномерных проекций ~можно,воспроизвести структуру тела в сечени~и с координатой хз.

Затем координата хз изменяется и тем же о Иначе говоря, если проекция получена с помощью плоского луча, то спектр ее является функцией одной переменной и совпадает с двумерным спектром объекта, измеренным вдоль определенной прямой, проходящей в плоскости спектральных переменных через начало координат. Если направление просвечивающего луча совпадает с одной из осей пространственных координат, то вышеупомянутая прямая перпендикулярна соответствующей оси спектральных координат.

Если просвечивающий луч повернуть в плоскости пространственных координат, то линия, на которой получается спектр проекции, поворачивается в плоскости спектральных переменных вокруг начала координат в том же направлении и на тот же угол. — Прим. перев. 257 цифровая обработка изображений 256 Глава 4 ерный кпллектер Ю ллем $7 — 359 Рис. 4.20. Геометрические соотношения при вращении источника вокруг точки, зафиксированной в объекте, и схема получения двумерных проекций. способом получается новое сечение. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получен полный набор сечений, показывающих внутреннюю структуру объекта в трех измерениях.

Теоретически, конечно, ~можно воспроизвести структуру трех~мерного объекта по его двумер|ным проекц~ия~м без ~использования вспомогательных одномерных проекций и связанных с ними сечений, как описано в предыдущем абзаце. На практике, однако, выгоднее пользоваться методом плоских сечений, хотя и связанным с повторением одинаковых операций, но зато не требующим такого огромного числа вычислений, как прямое воспроизведение трехмерной структуры.

Поэтому задачу воспроизведения будем в основном рассматривать как задачу выделения,двухмерной информации из одномерных проекций. Ниже описываются методы цифровой обработки сигнало~в, позволяющие воспроизвести изображение. 4.5.2. Методы воспроизведения изображений Основная операция при,вос~произведен~ии изображения по проекциям следует .из теоремы о проекции ~и сечении. Преобразование Фурье от проекции дает значения преобразования Фурье от исходного распределения вещества ~в некотором его сеченяи. Если получить достаточно плотный набор таких сечений, то все пространство спектров будет заполнено сечениями и с помощью обратного преобразования Фурье можно завершить процесс воспроизведения изображения.

Рнс. 4.21. Отсчеты в пространстве преобразований Фурье, полученные из набора проекций. б~аждая точка представляет значение Р(юп ю1Ь полученное вычислением дПФ проекции д1п> п'од ут'л Е. Эта операция достаточно просто описывается, но для фактического ее выполнения необходимы весьма сложные и трудоемкие исследования. При воспроизведении изображения на основе сечений спектра важными являются следующие положения: 1. При вращении источника плоского луча для каждого из углов О получается своя проекция. Число проекций, необходимых для достаточно полного заполнения пространства преобразований Фурье, очевидно, зависит от формы преобразования Фурье воспроизводимого распределения.

Однако чем меньше шаг по углу, тем плотнее заполняется пространство спектров (см. рис. 4.21). На практике число проекций ограничивается двумя факторами: 1) увеличением объема вычислений, связанным с обработкой дополнительных проекций; 2) увеличением дозы облучения при получении дополнительных проекций (что очень важно в медицинских приложениях метода) .

2. Сечения спектрального пространства образуют равномерную сетку в той системе координат, где на одной из осей откладывается угол поворота О. Однако размещение отсчетов спектра в каждом из сечений не согласуется с обычными двумерными преобразованиями. Двумерное ДПФ вычисляется на прямоугольной сетке отсчетов, образующих строки и столбцы, а точки, в которых известны ДПФ сечений, образуют полярный растр, показанный на рис. 4.21. Поэтому необходимо с помощью интерполяции перейти к прямоугольному растру, что несложно с точки зрения теории, 253 Глава 4 259 Цифровая обработки изображений но нетривиально на практике, поскольку каждый отсчет, находящийся на концентрической полярной сетке, перед интерполяцией необходимо перевести в соответствующую прямоугольную систему координат.

Характеристики

Список файлов книги