Оппенгейм - Применение цифровой обработки сигналов (1044221), страница 53
Текст из файла (страница 53)
На практике при восстановлениями изображений делают одно из двух дредположений. Первое предположение состоит в том, что в соотношении (4.36) операцию в — ' можно применить к слагаемым по отдельности, т. е. в ' (д (х, у)~ =6(х, у)-": ~(х, у)+ в '(и(х, у)), (4.37) что эквивалентно замене шума на новый шумовой процесс в ' (и). При ~втором подходе данные обрабатываются в том виде, как он~и записаны, т.
е. предполагается, что нелинейной функцией в можно пренебречь и д (х, у) - 6 (х, у):м ~ (х, у) + и (х, у). (4.38) Равенства (4.37) и (4.38) были бы справедливы, если бы удо~влетворялось любое из двух предположений: 1) функция в имеет слабую нелинейность и ее можно аппроксимировать линейной функцией или 2) сигнал д изменяется ~в малых пределах (низко- контрастное изображение) и операторы в и в — ' близки к линейны|м. Графики типа изображенных на рис.
4.11 показывают, что нелинейность оператора в обычно нельзя считать слабой. При правильном выборе экспозиции диапазон изменения от черного к 'белому не соответствует предположению о низкой контрастности. Однако на практике изображение удается успешно восстановить в пространстве яркостей, связанном с преобразованием (4.37), или в пространстве плотностей, связанном с преобразованием (4.38), несмотря на теоретические трудности, возникающие при отбрасывании нелинейностей. Даже при беглом взгляде на соотношения (4.37) или (4.38) видно, что восстановление изображений относится к задачам фильтрации с по~мощью ~инверсной свертки (т. е.
к обработке записанной информации с помощью оператора и ', который является обратным по отношению к оператору двумерной свертки с функцией й). Эта задача сложна тем, что сводится к решению плохо обусловленных систем линейных уравнений [38]'~. При повышении резкости изображений задача усложняется за счет того, что для многих изображений аппаратная функция сингулярна, т е. прео~бразо~вание Фурье от нее имеет кулки, что наблюдается, Например, при дрожании съемочной камеры или плохой ее фокусировке.
Поэтому. при решении задач восстановления изображений и М Матрицу называют плохо обусловленной, если соответствующая ей обратная матрица неустойчива — Прим. ред. 232 Глава 4 Цифровая обработка изображений 233 знач)ительные усилия затрачиваются на преодоление трудностей, связанных с сингулярностью [2]. Для восстановления изображений цифровыми методами необходимо, чтобы,все уравнения были записаны для дискретизованных функций.
Поэтому соотношение (4.35) пр)инимает вид Л' — 1 Х вЂ” 1 ,.о(!Лх, ЙЛу) -э '~~ ~Ь[(!' — р)Лх, Я вЂ” а)Лу] ~ р =о )=о (4.39) +и()Лх, йЛУ), ~ ~(р Л х, !7!з у) тде знак приближения указывает, что дискретные суммы не являются точным представлением исходных интегралов. Аналогичные выражения можно записать для формул (4.37) и (4.38). Интересно отметить, что соотношение (4.39) можно рассматр)ивать как систему уравнений относительно неизвестных значений ~.
Если выполняются предположения, сделанные при вы~воде соотношения (4.38), то соответствующие дискретные уравнения (где без потери общности можно положить Лх=Лу=1) превращаются в систему линейных уравнений относительно ~(р, д): У вЂ” 1Х вЂ” 1 (4.40) р — о )-о 4.4.2. Основные методы повышения резкости изображений Операция дискретной свертки, фигурирующая в формуле (4.40), имеет аналог в простра)нстве дискретного преобразования Фурье (ДПФ). ДПФ соотно~шен)ия (4.40) имеет вид 6 (и., о) = Н (и. о) Р (и, о) + 1Ч (и .
а), (1 ~1) Формула (4.40) подсказывает, что задача восстановления изображений сводится,к решению системы линейных ура)внений. Это дейст)вительно так, и для подтверждения можно представ)ить соотношение (4.40) в .виде произведения матрицы на вектор. Поэтому з~начение цифровых методов обработки сигналов, таких, как линейная фильтрация и БПФ, состоит в том, что они я)вляются средством для быстрого нахождения точного или приближенного решения очень больших (с Л~ переменными) систем линейных уравнений. Такой подход очень важен,для раз)вития более совершенных методов повышен)ия,резкости изображений, но обсуждение его требует применения теории матриц в объеме, чрезмерно большом для данной книги. Подробнее связь между матричными представлениями и восстановлением изображен)ий методом дискретного преобразования Фурье описана в работах [2, 39, 40].
где и, о=0, 1, ..., Л' — 1, а прописные буквы обоз)начают ДПФ величин, обозначенных в формуле (4.40) )соответствующими строчными бу)квами. Так, функция Ж вЂ” 1Ж вЂ” 1 я)и, о)= ~~ ~ ь)) Й) ехр[ — — '' ))и.) Йо)] !=о )=о (4.42) Хотя это самый простой подход, при его использовании встречаются наибольшие трудности. 1. Для многих видов искажений аппаратная функция такова, что ее ДПФ имеет нули. Например, для искажений, вызванных движением съемочной камеры в горизонтальном направлении„ ДПФ аппаратной функции имеет вид З)П (т аи) Н(и, о) = (4.44) где а — размер размытия, выражаемый числом отсчетов.
Если искажения сильные (а достаточно велико), так что нули функц)ин. —.аи пред)ставляет собой ДПФ от дискретизованной ап)паратной функции; аналогичные соотношения имеются для 6, Р и Л'. Обычно обла)сть ненулевых значений а)ппаратной функции по величине гораздо меньше, чем размеры исправляемого снимка. Следовательно, У гораздо больше числа ненулевых отсчетов функции й(1,А) и перед преобразован)ием эта функция должна быть дополнена,соответствующим числом нулей (необходим та)кже надлежащий сдвит по фазе). Как следует из теории, величину Л) следует выбирать достаточно большой, чтобы устранить нежелательные эффекты заворота изображения, связа)нные с пер)иодичностью ,круговой свертки.
На практике оказьгвается, что эти эффекты не очень существенны. Действительно, снимаемая сцена бесконечно вели)ка по )сра)внению с,размерами аппаратной функции и на краях кадра искаженное изображеиие содержит вклад объектов, расположенных в)не кадра, но вносящих в кадр по~мехи за счет свертки с аппаратной функцией. Краевые эффекты, возникающие .в процессе инверсной фильтрации изображения на ос~нове неполной ин~формац~ии (о предметах, находящихся за кадром), более ,важны, чем завороты. Бэкстер [18] показал, как )можно частично исправить эти краевые искажения. При выборе Л! более важно предусмотреть возможность уменьшения заворотов и эффектов усечения, связанных не с самой аппаратной функцией Й(1, А), а с фун)кцией, обратной к ней. Простейшим способом повышения резкости изображения является обработка записи в,пространспвенно-частотной области с помощью обратного фильтра.
При этом получается оценка,восстановлен)ного изображения Р(и, о) =Н1(и, о) 6(и, о) (4.43)) тт'(и, о) 234 Глава 4 Цифровая обработка изображений (4.44) попадают в найквистозский диапазон, то обратный фильтр является сингулярным. Аналогичная трудность возникает в случае искажений, вызванных расфокусировкой камеры, когда запись содержит свертку истинного изображения с формой апертуры. Для большинства стандартных форм апертуры (круглой, квадратной и т. д.) соответствующие ДПФ имеют нули; если этп нули попадают в найквистовский диапазон, то обратный фильтр оказывается сингулярным. К сожалению, обычно так и бывает.
2. Столь же непр~иятно то, что аппаратные функции (даже если они не,приводят к сипгулярности) обычно являются плохо обусловленными, в частности, модуль их преобразования быстро уменьшается вблизи некоторых значений и и о (обычно в области высоких частот,,поскольку искажения связаны ~с медленными процессами), поэтому обратный фильтр 1/О резко увеличивает влияние шумовой составляющей, входящей в формулу (4.41), что ухудшает изображение.
Несмотря на все трудности, обратные фильтры удается прим6нить для воостановления изображений. На ремис. 4.12 приведено цифровое изображение размером 512К512 точек, в которое ~с помощью ЭВМ были внесены искажения, эквивалентные свертке изображения с гауссовской аппаратной функцией. К искаженному сн|имку был прибавлен шум и отношение сигнал/шум (С/Ш), измеряемое как отношение дисперсий сигнала и шума, стало равным 2000 (33 дБ). Аппаратная функция не содержит нулей, а отношение С/Ш велико, поэтому восстановление методом обратной фильтрации возможно.
На рис. 4.13,а приведен результат обработки снимка рис. 4.12 обратным фильтром, реализован~ным с помощью БПФ. Однако если С/Ш уменьшается за счет роста мощности шума, то восста(новление путем обратной фильтрации дает плохие результаты.
На рис. 4.13, б приведено изображение, восстановленное обратной фильтрацией при С/Ш=200 (23 дБ). Размытое изображение при таком уровне шума выглядит так же, как сн|имок рис. 4.12, поскольку влияние шума трудно определить визуально, если отношение С/Ш превышает 20 дБ. Шум был приба~влен в области плотностей, связанных ~с яркостями по логарифмическому закону; изображение искажалась в яркостной области, но восстанавливалось в области плотностей так, как описало в раз,д. 4.4.4.
Рис. 4.12 и 4.13 иллюстрируют, важную мысль: обратный фильтр может работать, но для этого требуется очень большое отношение сигнал/шум и малая степень искажен~ий. К сожалению, нет определенных правил, которыми слЕдует руководствоваться при восстановлении изображений. Но, с другой стороны, обратная фильтрация осуществляется настолько просто, что ее можно проводить, не имея заранее гарантий на успех, и это не приведет к большим затратам, если окажется, что шум или синтуля~рность воспрепятствуют ее выполнению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
