Оппенгейм - Применение цифровой обработки сигналов (1044221), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Таки~м образом, решен~ие оказывается положительным и ограниченным по величине. Однако решить эту систему непросто. Вычисление сверпок, фигур~ирующ~их в ~соотношениях (4.54) и (4.55), методом БПФ не очень помогает, поскольку основная трудность заключается в решении системы уравнений относительно неизвестных т.(/, /г) и р (множителей Лагранжа в задачах оптим~изации).'Данный ~метод был опробован на очень малых изображениях (размером 50Х50 отсчетов);в случае разде.тимых аппаратных функций, причем для решения нелинейных уравнений при~менялась итерационная процедура Ньютона — Рафсона.
При увел~ичени~и размеров с~и~имка решение нелинейных ура~внений связано с больши~ми трудностями. Был также предложен, но ~не реализован практически метод прямой оптимизации [2]. Метод нелинейного восстановления изображен~ий, предложенный Фр~иденом, исходит из предположений о положительности и ограниченности о~тсчетов изображения. Нелинейные ~методы могут также основываться на анализе нел~инейносги записывающих средств. В работах [40, 44] опи~са~н байвсовский подход к ~восстановлению изображений, записанных с помощью,нел~инейных устройств. Результат обработки получается ~в виде, решения нели- Глава 4 248 249 Цифровая обработка изображений Чультр с характеристикамц изменяюшимися и прастранстве хРильтр с пространственно-инвариант~- ными характеристиками Геометрическое (и) искаоусение л'= с(г) Геометрическое исаж'ение У =йх) п(я — и) 'ийратнь й срильтр с характеристиками, изменявшимися в пространстве 'у-ильтр с пространственно-инеариантными характеристиками Ыратнпе иска,яхсение х= с '(г) Рфатнпе искажение 2 =с (Х) Г(Х) /г (г- у) Бпсстанаелиеаюшая система нейного матричного уравнения.
Определен~не этого решения Бри большо~м числе перем~ен~ных, описывающих нванто~ван~ное изображение, связано с выполнением м~ножества вычислений, а роль цифровой обработки сигналов с~во~дится к ~выполнению операций свертки )[44]. Такой ~метод ~применялся для коррекции~и ~изображени р азмер а ми до 512 Х'512 отсчетов. Задача ~восстановления и~зображения в общем случае, т. е.
с учетом нелинейности записи и условия, что отсчеты яркости должны быть ограниченным~и и положительными, сводится к задаче нелинейного ~программирования [2]. Однако воз~можности современной техники не позволяют решить в общем случае задачу нелинейного программ~ирова~н~ия при то~м числе переменных, которое характерно,для изображений, ~представленных в цифровом виде. Были разработаны и опробованы на ~маленьки~х изображениях (размером, например, 32Х32 отсчета) специальные алгоритмы, ~основанные на симплексном,методе ~и относя1цихся к нему понятиях математического програ~ммиро~вания.
К болышим снимкам эти алгоритмы еще не применялись. Вообще повышение резкости нелинейными методам~и является той областью цифровой обработки изображений, где далеко не ~все сделано. 4А.б. Повышение резкости изображений с характеристиками, изменяющимися в пространстве В,предыдущих разделах ~была показана роль, которую ~играют при ~восстановлении ~изображений операции свертки ~и двумерная цифровая ~фильтрация. Во ~всех ~методах требо~валоеь, чтобы законы ~формирования ~изображения обладали свойством пространственной ~инвариантности. Если же процесс форм~ирования изображения не является про~странственно-инвариантным, то формула (4.34) принимает вид у(х, у)= 1 1 ь (х, х,, у, у) ~(х„уд шхшу, (4бб) и,при обращении ее ~в дискретную форму ~в ней не ~появится дискретной свертки. К сожалению, в ряде ~интересных случаев форми~рование изображен~ий подчиняется пространственно-нестационарны~м уравнениям, как, напр~имер, ~при неравномерном движени~и камеры или при наличии оптических аберраций.
Рассмотрим, например, одномерные искажения по горизонтальной оси, иогда искажения ~минимальны ~в левой части снимка и линейно увеличиваются до максимума ~в п~равой части. Ежели изображение дискретизовать по равномерной сетке, то отсчет, взятый в правой части, будет ~содержать вклады от бо~льшего числа соседних точек, чем отсчет ~в левой части си~имка. Один из ~способов устранения этого недостатка состоит в увеличении интервала Рис. 4.17. Структурная схема процесса восстановления изображения с простран- ственно-зависпмыми искажениями. между отсчетами при движении слева направо так, чтобы каждый отсчет ~содержал взвешенную сумму яркостей одинакового числа соседи~их точек. Фактически это является преобразованием координат, делающим искажения пространственно-инвариантными. После коррекции исходное изображение ~восстанавливается с ~помощью преобразования координат, обратного к первому. ~Савчук '[46] показал, что этот общий метод можно применять для нескольких вендов искажен|ий, вызванных оптическими аберрациями или неравномерным сдвигом во время съемки.
Обобщенная ~схема процесса коррекции показа~на на рис. 4.17. Пространственно-нестационарные и~скажения представляются в ~в~иде двух геометрических ~искажений. Сначала снимок пере~водится в координаты, где искажения оказываются пространственно-инвариантным~и, а затем осуществляется переход от пространственно-ин~вариантных координат,к координатам,,зависящим от положения деталей ~изображения. Система для восстановления изо~бражения основывается на ~преобразованиях, обратных к этим двум, и фак'пнческое восстановление ~выполняется путем л~инейной обработки в пространстве, где искажения являются пространственно-инвариантными. При .этом для быстрой обработки больших изображений можно ~применять ~свертку и БПФ, а саами операции~и преобразованная координат требуют малого или приемлемого числа ~вычисле- 250 Глава 4 Цифровая обработка изображений 25! ний.
Подобная обработка успеш~но ~при~менялась для и~справления аберраций типа комы [471 и искажений, вызванных пространственно-неравномерным ~сдвигом [461. Атмосферная ту рбулентность обусловливает смазывания изображений, изменяющиеся с течением времени, поскольку температурные градиенты в воздушных ~слоях влияют на случайные фазовые задержки ~в волновых фронтах ~потоков света, несу.щнх изображен~ие. В с~илу усреднения за время экспозиции эти флуктуации создают искажения изо~бражен~ий, ап~паратная ~функция которых приближается к гауссовской .и стационарна. В ряде случаев делались попытки повышен|ия резкости таких ~изображений [481.
Но, как правило, искажения оказывал~ись достаточно ~сильными, и восстановление изображен~ий было ~малоэффективным. Недавно Нокс предложил новый ~метод ко~ррекц~ии атмосферных искажений изображен~ия [49]. В любой момент |времени 'изображение, проходящее сквозь турбулентную атмосферу, формируется под воздействием случайной аппаратной функции. При наблюдении за одним и тем же объектом можно получить набор снимков, описываемых соотношениями типа д,(х, у)= 1 ) Л,(х — х„у — у,)~(х,, у,) Шх,й~,= =6,(х, у):..:..~(х, ц), (4.57) в которых, аппаратная функция и~скажен~ий рассматр~ивается как пространственно-инвариантная, но изменяющаяся во времени от момента к ~моменту (т. е.
~по ~переменной ~). Усредняя снимки (4.57) по времени, получаем ( д, (х, у) ) = ( Ь,. (х, у) ) *:-: Г (х, у), (4.58) (4.59) где звездочка означает ком~плексное сопряжение. Возведение в квадрат «защищает» высокочастотную инфор~мацию, уничтожающуюся при усреднени~и фаз ~в равенстве (4.58). Если в наблюдаемом секторе находится точечный ~источник, то можно найти среднюю квадратическую аппарапурную функцию (Н;Н," > и выполнить восстановление изображения. Однако в формуле (4.59) причем сложение Й; со случай~ными фазами создает столь пшрокую усредненную аппаратную функцию, что ббльшая часть высокочастотных соста~вляющих ~(х у) теряется.
Если же перед усреднением изображения подвергнуть преобразованию Фурье .и ~возвести |спектры ~в квадрат, то получается другой результат. В этом случае (6,. (и, о) 6,*(и, о) ) = ( Н,(и, о) Н,*(п, о) ) х х Р(и, о) Р" (и, о), теряется фазовая информация, и восстановленное изображение равно обратному преобразованию от квадратного, корня ~из энергетического ~спектра и~сходного ~изображения ~(х, у). Дру.гой, но весьма близкий способ обработки состоит в вычислении статистической автокорреляц~ио~нной функции спектра ~изображения: ( 6, (п, о) 6,* (и + и,, о + о,) ) = = ( Н,(п, о) Н,*(и+ п„о+о*;) )Р(и, о) Г*(и+и„о+о,). (4.60) Можно за~метить, что при и1 —— о1 — — 0 равен~ства (4.60) и (4.59) полностью совпадают.
Если, как и прежде, имеется точечный источи и'к, т о ( 6;(и, о) 6,":(и+ и,, о+ о,)) — Р(и, о) Р" (и+ и,. о+ о,), (4.61) (Н;(и, о)Н;(п+ и„о — ', о,)) поскольку с помощью точечного ~источника можно найти ко~мплексн~ую автокорреляцион~ную функцию усредненного по,времени спектра аппаратной функции. Рассмотрим результат деления обеих частей равенства (4.61) на ~их модули: (6;(п, о) 6,*. (и+ и,, о+ о,)) ~ (Н;(и, о)Н,"-(и+ и,, о+ о,)) ~ Х ( Н 1п, о) Н,*(и+ и,, о+ о,)) ~ ( 6;(и, о) Н;(и+ и„о+ о,)) ~ Р(и, о)Р*(и+ и,, о+ о,) ехр[~ Ф(и, о)— ~ Г(и, о) (-*(и+ и„о+ о,) 1 — 1 Ф (и+ и1, о+ 01) [, (4.62) где Ф вЂ” фазовая характеристика 'спектра Р-изображения, рассматриваемая на двумерной плоскости фурье-преобразования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
