Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Выражение (1626)— это двумерная версвя теоремы Винера — Хнв шнз. Можно поьазать (см. Задав), что двумерная СПЛ( дейсгвнте.гьна н лоло. жнтельна. Предположение аб эргодачпостн лвумерной аптокарреляцц. онной последовательнастп обосновывает прнмененяе среднего по времена м я г „[гп, л]=- йш ЗЫ гам р! ~ Ь х[г гш, )+и] х'[1, () =-мг--и (16.27) одпночной резлпзацяи двумерного случайного процесса для получения двумерной АКП.
Используя подход, подобный ораме- пенному а гл. 4, ьгожна показать, что эквнвалентным представ- лением двумерной функции СПМ является ) т, т, Р,Пь ))= йш 8тттг~гам ! х л м я Г] м ~' '~ «[ж, л]ехр( — )2п[)лГ,О [лТП) =-м =-ч (16.26) Важной раавопндносгью двумерного случайного процесса является дв)мерная последовательность белого шума ш[ж, л], которая по апределенпю имеет двумерную АКП вада [й (]=р 6[й, ], (16. 29) т. е. зто процесс, характерязуюшпйся отсутстэпеьт корреляцин при вгех сленгах, кроме точки с вулезь~м сдвигом (О.
0) СПМ для двумерного белого пгума просто равна Р„», 0~ Д) -Т Тгр.. Если у[ш, л) — двумерный случайный процесс, представляю. шнй собой результат прокажденпя стацнонарного двумерного случайного процесса х(ш, л] через лннейную снгтему авда (163), то выходная АКП гю[й, 1] и входная АКП г [)г, 1] связабы соотношением гш[й, 1]=Л[й, 1];*й'[ — !г, — 1]*г„„[й, (], (16.30) Если двумерное «-преобразование двумерной АКП г,„)й, равно Р„(гт, га)= ~ ~ г,„[й, 1)г,'з.' н еслп Р„„(хь а,) — авалогпчное а-преобразовапзе для г„„[й,!], то х-преобразование выражения (1630) свяжет Р,„(г,, з,) и Рз,( ь «т) слелуюшнм образом: Р„(хь а)=Н(ап г)Н'(1!г„'1)т)Р„„(гп х), (1631) где Н(хь ат) — а-преобразование (163), являющееся системной Функцией. Следовательно, соотпошенае между двумерными спектралы!ымп плотностями моюнастн входного н выходного процессов запнсывается в ниде Р„ (Д, ),) = Т,ТР„„ ( о ,)99 .„,О,„...
= ) )( ([ь ).)]* О..()ь [.). (16.32) Еслн вход»ой процесс — белый шуч с АКП, оппсывэемой выр». жением (16.29), п фильтр имеет двумерную перелаточнуюфункцию, выражаемую рациональной функцией (16.9), содержашей бз! двумерные иолвномы, то выходной процесс представляет собой двумерный процесс оеторегрессии н скользящего среднего (дву. мерный ЛРСС) с СПМ вида !эбь РА ! р,, П, ц = Т, Т,р Гл (1 ' 1 1) ) (РО 33) в которой у~а[т, л]ехр( — 12л[1 тТ,+(,пТ]), ()=«,'ц'б[т, п]ехр( — !2я[(,туз+(,лТ]) определены в некоторой произвольной онарнав области. Если В((г )з) =1, то СПМ соответствует двумерному авторегресснонмому процессу (двумерному АР) Если А()ь (,)=1, то СПМ соответшвует деунерпону процессу спатзяшего среднего (двумерному СС).
Двумерные процессы допускают также различные представления процесса в каждоы измерении. Есля, например, числитель является функцией только от (ь т, е. В((ь )х) = =В((,), та двумерный процесс — это процесс АРСС а измере. нип, соответствующем (ь и ЛР в измерении, соответствую. шеи (з.
!4В. Классическое двумерное епентрвньнон оцнниавннн Двумерные версии процедур классического спеитрального оценивания пецосредственно вытекают из одномерных представлений периодагранмного и каррелограммного методов. Для удобства будем считать, чта дзнные имеют опорную область типа квадранта пшскости, а именно МУ отсчетов данник х[т, п) доступны в прямоугольной области ОштщМ вЂ” 1 и О п(Л' — 1. Возможны другие, непрямоугольные опорнме области, однако онн здесь не рассматриваются, так как редна встречаются на практике. Несмещенная оцеикз двумерной автокарреляцновпой функ. цни прн сдвиге [й, 1] имеет следующий вид: г„„[(г, 1] „! «„д х[гп-~-д, л+(]х'[т,л), -е «=о 5~0, (т01 и-г-з и-з (16.34) х[т+й, л+1]з'[т, л], 1 е Л~О, ((01 г' [ — й, — 1), й<0, для всех 1, в диапазоне сдвигов )Д) Щлг н )1) ШРх.
Максимальные значенна сдвига ограничены соотношениями р,щМ вЂ” 1 н рхдд' — !. Сые. гцеиную оценку двумерной ЛКП г [й, Ц можно вычислить, просто заменив делитель (М вЂ” Д) (ги — 1) в формуле (16.34) на ММ, Процедура оценки СПМ на основе норрелограммного ыетода для двумерных отсчетов данных имеет внд ш Ркое,((о ()=Т Т, д,' м ш[й, 1]г[й, 1]ехр( — (2их х=-е г= г , [(,йТ, ф (х( Т.]), (16.35) где м[й, (] — коррелшгионная взвешивающая последавательносЫг (последовательность коррелвцианного окна), используемая, нак и в одномерном случае, для достижения разуьзного компромисса между разрешением, уровнем бонавых лепестков и дисперсией оценки В литературе имеется не много сведений а двумерных функциях окна для спектрального оценивания.
Двучериые анна часто стремятся сформировать в виде произведения адномернмх онов. Так, например, настроена двумерное окно Хзмьгинга ю[й, (] =[0 54+0 46соз(кй(рд][0 54-1-0 46соэ(ий(р)], для ))й](р, п )()~рз. Хуанг 18) уделил большее внимание исследованию двумерных окон с круговой симметрией, чем прямоугольным окнам. Если испальзавзть смещевную оценку ЛКП г [й,(] (т. е. ш[й,() записывают для треугольного окна), тогда альтернативное выражение матрично-венторного произведения для СПМ, вычисляемой на основе каррелограммного метода, имеет вид Ркош(( ° 1) Пел((ь ()йе((ь (), (! 6.36) блочной где блинна-теплицева автокорреляцнониая матрица разчераасти (ргц-1) Х (рг + 1) й= й [О] й [1] ..
й [рз] й[ Ц й[О] й[р,— 1]~ (16.37) й[ — р,] й[ — р, ьП ... й[0] ( Ч т Р" х р р зг т еззхшнзанн тре.шг нннх фгннниа об ле г аоб о э нбмг зззешэзанхш зр нных фгнтнй.— пр р е, 34 в гэбэ имеет тепднцевы матрнчныеэлеме~гты размера [Ры!.1) Х (Рг л 1) г„„[Д, О] г„[й, !] ... г„„'[й, р,] д [й] = ** „„[й, †!] „„[й, О] . „„[й, Р, — 1] (] [й, — Р,] г „(Д, — Рг-!.1] г„[!г, О] / (16 38) Двумерный блочный вектор е(/ь /э) комплексных сннусонд определяется следуюшнм образом; Ге,(1а /,) 1 е:(/,", /'.) ехр Ц2а/,Тг1 е (/о /,) =, ел (/о /,) = сх р И2 н/,й ТД Лег,(/о /,), ех р(/йа/,рлТД) г (! 6.39) Заметим, что каждый нз векторов ел(/ь /г) имеет [ргф)) эле.
ментов. Выражение двумерной пернохограммы повторяет по форме одномерную пернадограмму: ргяя (/а /,) = !м-~ л-~ Š— ль3(~ д ю[лд п]л[т, л]ехр( — 12п[/ттул Е/,лТ,])], -э =г (!6.40) где и[т, л] — соответствующее окна наблюдаемых данных. Можно уменьшить дисперсию двумерной пераадаграммной процедуры апенин, если разбить данные на меньшве двумерные массивы, которые могут перекрываться, записать двумераую пернодаграмму для каждого подмассава н усредвнть дериодограммы подмасснвов. Последовательности значений данных нэ пространственно времевнйх Массзаов часто тан огранпчены в пространственной области, что усреднение но подмасснвам можно осуществить только во временном измеренкн, так кзк обычно нельзя допускать потеря в спектральном разрешении нз.зз ус.
редвенвя по подмасснваги з пространственном языеренин Есдн отдельные падмасснаы статнстачесьн неэавнснны, то Лчсперсня уменьшится в число раз, соответствующее числу усрехняемых нопмасснвов. Если они не являются незавкснмымн, та уменьшение дисперсии будет меньпге В прнложенни 16Л содержится подпрограмма ТРРЕЕ!ОП, по которой вычисляется двумерная пернодограмма, использующая алгоритм олномерного ВПФ. Складывается впечатление, что статистические характернстн«и двуыерных класснческял процедур оценки весьма схожи с характернстньачн одномерных класснгюскнх спектральных процедур оценки, несмотря на то, что а галнткческне результа.
ты получать затруднительно. Раэрешенве в каждом нзмереннн заваснт от протяженности пнтервала данных н каждом измерении н а общем случае будет раэлнчным, если МТ,РДТэОдномерное разрешенпе, праанэлнзированное в гл 5, в основном сохраняется в лвумерном случае для спектральных «оппонент, соответствующих одному кз двух частотных нзмереннй. эб.б.
Мадмфицнраванныв процедуры кпасснческаго двумерного спентравьнога аценмвання В равд. 16.3 была показааа, что двумерное днскретна.времен. нее нреобрзэоаание Фурье (ДВПФ), нспользуемое для вычнсденпя периодограммы, мажет быть вычислено сначала как последовательность одномерных ДВПФ столбцов, а затем кан паследанзтельность одномерных ДВПФ строк. Можно постраьть процедуру гибридного двумерного снектральяого ацгниеанля, применяя н ДВПФ строк любой нз методов одномерного спектрального онениеання с высокнч разрешеннем, предсмвлен гх в гл 6 — 13 (рнс.
16.4). Промежуточный массяв, абразаван~~г ДВПФ столбцов, состоят щ велпчга, полученнмх в реэудьтате камплексноэначнога преобразования, поэтому еле. дует попользовать компчексную форму процедуры высокого разрешения 1нбркдная схема предназначена для улучшення разрешения в том кзыереннн, гпе протяженность записи данных мажет быть ограничена. Это часта нронсходнг с пространственно-временна)мн массивами данных, где пространственное разрешение лгожет быть недостаточным вследствие малого числа пространственных датчиков при относительно ббльшем числе времсннйх отсчетов, получземых ат каждого датчика. Завяжем математически две стаднн гнбрнднага подхода н двумерному спектральному оценнванию: л-~ Х„„„, м[т, /]=Т, 3 х[т, л]ехр( — /2п/пТ), (1541) Р„ы, [/ь /,) олнамернан СП3! нысокого разрешения для Х„,„„, ,[т, /,], (16 42) вычисляемой на каждой частоте /э с помощью уравнения (16 41).
Джойс (12] описывает одну такую процедуру гкбрнпнага лвумеуного спектрального оценивання, основанную на одномерном БЙФ н ояномернач комплексном ад~приеме Берга. Гибридные Ээ 525 524 п~ б~ ~дэне! спм . п т Р с. 15.4. Гиариднмэ атал д умериа и спек ра ь» он схемы имени тевденцию, как правило, давать лучшие результаты, когда з измерении с ограниченной прогал еинастью записи отношение сигнал!шум достаточно высоко.
Другой подход, с помощью котарога стремятся улучшить разрешение, достижимое на основе процедур хласснческого двумерного спектрального опенивания, — это использование методов линейного предсказания для того, чтобы экстраполировать нсхопный двумерный массив данных расширенным массивом. Затем расширенный массне данных обрабатывают обычным обрааам, с помощью какой. либо из двух процедур «лзссического спектрального оцеиивання. Фраст [7], Фрей [6],Пендрел [25] н Ульрих и Уолкер (28] исслеловалн процедуры днумерного линейного предсказания в случае квадранта пласиости (КП) для одновременного расширения массива данных но обоим измерениям. По-видимому, процедура экстраполяции данных обеспечивает ограниченное улучшение рззрешеная, возможна, до двух раз прн высоком отношении сигнал!шум 15.7. Двумерная авторегресснпннан епектрапьное нцвннваннн Параметрические модели двумерных случайных процессов, как и в адномериоьг случае, применяют в надежде улучшить хара»- теристики саектрального оценмввния по сравненйю с достижи.
мыми прн классических двуьгерных периодограммном н каррелограммном методак, Наибольшее внимание в литературе уделена двумерной авторегресснонной (АР) модели, и зто будет единственная параметричесяая двумерная ьгодель, рагсыатриваемая в данной главе. Двумерное спектральное оценизание на основе скользяшего среднего, насколько известно автору, не описано в литературе. Метод двумерного спектрального оцениванвя на основе авторегресснн — скользяшего среднего был предложен Кадэау и Огггно'[!], 15.7Д. Дву ерный азторегресснонный процесс Двумерная автарсгрессиоивая последовательность .т[т,п] ге~грируется двумерным .чннейным ииварнантным к сдвнгуфильтоам, вазбуждаемыи двумерной последовательностью белого шума ю[т, и]: х[г, 1]=- — ~Яп[т, п]х[г — лц ! — п)-г-ю[г, !], (16АО) гле интервалы изменения индексов т я л зависят от о~гарной области, прпвятой для массива АР-параметров. Соответств)чогцэя лвумериая ЛР.спектральнав плотность мошности, как показано в разх. !ОЛ, имеет вид ~ 2," и(ги, 1 «р ( — Гг Д тТ -1 ! Т 1 ~ ' ' где ри — дисперсия двумерного белого шума При лвумерном ЛР.моделировании вопрос первостепенного значения — выбор опорной области [26] Здесь будут исследоеатьсв толыго каузалыгые двумерные Лр-процессы, хотя требование устойчивости п каузальностн автарегрессиониого процесса не абяаательно обеспечивает луча)ча двумерную спектральную оке~ну, чем та, которая могла бы быть получена прн полукауза ьныхо али ггекзузальиыт авторегресспонных процессах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
