Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 81
Текст из файла (страница 81)
1, с 131).— .м ю е! 'ч.. '. ° ч 'о!!' з з; Ь' ц з !о,е!. °,41 ь . '4 !о о!. и .:!е е ' ° ),е Р» 1а.з О «ые з. сгн а. хис рет й гисге.а й леша ыаь и Без потери общностя можно положить а[0, О]-1 тзк чта С тачки зрения двумерного спектрального анализа случай опорной влоскости в виде КП представляет ванбольший инте. рес На рис 16.3, з и г показаны е!це две опорные области для двумерной дискретной импульсной характеристики.
Полукаузальная опорная область аакрывает с лгмегричмую полрпласкос~~ (СПН). Она каузальна в одном измерении и некауззльна в дру!ом. Некаузальная опорная область — зто просто вся полная плоскость (ПП), которой соответствует уравнение (16 3). )(нумерное рекурсивное разностное уравнение, связывающее вмход двумерной системы со входом, имеет вид л м.'а [1, )] х [т — 1, и — [] = Х д, Ь [1, )] и [ш — 1, л- )]. (16 3) 5|5 514 Гла |ь уравненне (!66) можно записать иначе: х[т, л]= — ХХл[1, (]к[т — 1, и — (]+ к. |Фю з| д ХХЬ[1, Пи[т — 1, л — (].
| (16.6) Пределы суммнрованвя определяют порядок двумерного раз. постного уравнения. Напричер, порядок массива а[1, П должен быть равен р, мр|, если его опорная область — прямоугольннк в КП, огрзшиенный 0(1(р, н 0(1(р» Можно показать (6], что выбор опорной НСПП.облагтк для обоих масснвов а1'|, |] и Ь[|, 1], н соответствующих начальных условий дл» к[1, П дает каузальную двумерную выходную послеповательностц т. е.
дискретная импульсная характеристика, опнсываема| ураннениеч (16.3), также имеет опорную НСПП-область (ск Задачи), н. сле|овательно. оно мажет быть решено р*курсивно по описанной выше растровой схеме. Функцяп вада г[т, л] =г, гг" янлнются собственным| функциямн двумерных линейных кнвзрнантнык к сдвигу систем потому что реакция на выходе у[т, л] на г гз" как входное во»действие в свертке (16 3) дает у[и|, п]=Н(гь г)г,гм (16.21 где А (г„г,) = Х Х а [|, 1] г, 'г;|, | В (го г,] = Х Х Ь [1, 1] г г;|, | (! 6.! 0) (16.11) н(гь г)= Х Х й[|, 1]г,'г,|=6(й[1, 1]) (166) — дискретная двумерная гисгемиа «функция, илп дискрегкак двумерная иергдаго«мал функция для последовательности значений двумерной дискретаой импульсной характеристики, апре- деленная в области г| н гь в которой сходится выражение (16.6) Формула (168) является также обшнм определеннем двумерного -преобразования для любой двумерной последовательности Ь[й )].
Двумерная системная функиня, соответствующая рекурсивночу разностному уравнению (!6 6), нак легко показать, равна отношению двумерных полвномов (16.9) где А (гь га) н В (г|, г|) — г.преобразования массивов а[|, (] и Ь[|, 1']: прячем пределы суммирОвания опрелеляются соОтветствующими опорными областями. Каузальная одномерная рациональная системная функция включает н интернал суммнравання го,|»ко положительные значення индексов Двумерная системная функанв (169) для «каузальной» НСПП содержит одну сумму только с паложнтельныын значениямн индексов в обеих форму|ах (1ОЗО) н (!611) и вторую сумму как с положительными, так н с отрицательнымо индексамн Говорят, что Н(гь гз) и |ест двумерный нуль» (, г,), если В(гп г|)=0 н А(гь г,)550 н двумерный «полюс (.ь г|), еслн А(гь гг)=0 н В(гп г»)чьО.
Полюсы н ирли двуыерных рациональных скстемных фун|.зпй в основе своей отан а|отса от соответству|ощих одномерных аналогов Корни оню:ерных полпномов представляют собой изолнраванные то |. з г-плоскости, тогда как корня лвумер ных полвномав а обшсч случае чаше предстгвзают собой не. прерывные крнвые, а не нзолнрованные точки.
Рассмотрим про стой двумернмй полинам А(г|, г,)=1 — аг,'гр', (16.12 который обращается в нуль везле, тле г ш= а. Это яепрерывна| поверхность в двумерном комплексном г пространстве. Нева| можность разложить двумерные полнночы на множктелк с нзо .тнрованными нулями и полюсамн (т.
е свесгн к одномерны пол)(номам) очень аатрудняет исследование устойчнвостп двуййрном случае Для непрерывнога двуыервога сигнала г(1|, ||) существуе чглрарывнога времени преобразование Фурье (двумернс НВПФ) | Хвале((г, ()= ~ ~ х((ь Г,)ехР( — 12п[(,1,+1,1])д(,д(, (16.13 нрк условиях, аналогичных приведенным в гл. 2 для одномерна го НВПФ Если отсчеты непрерывного сигнала берутся чере интервалы Т, па переменной || н через интервалы Тт по пере |еннай 1|, образ>я последовательность отсчетов х[т, л] = — х(тТь лТ,], то соответствующее ей дискретного време» двумерное преобразование Фурье (двумерное ДВПФ) имес внд Хдвпа(|н ()=Т;ГХ(гн г)~м .„ри„гг|= (1614 *..
»|| |,г]| =Т|Т. Х Х к[я|, н]ехр( — (2п[(,ту,тАлТ,]). (16.15 Ес"|н непрерывный двумерный снгнзл во времени нлн в прас» ранстве является снгнало» с ограанченным спектрам, та, чт б17 шб Гл ае 14 деу О аа р » ш» вне прампугольной области ))» ) < П2Т, и [)») <1)2Т» ХиапьПи Д)=.0, (!6.!6) то хдвпи П, ) ) = хнвпе ()о / ) (16.17) только в опорной области ))1(ш1)2Т, и Цг(<1(2Ть ДВПФ является периодическим, Хдвпа ()» + и)2Т„(»Ч-М2 Т») = =Хдвпа([», (») для лгобых целых О н Р.
В этом случае исхолиый непрермвнмй двумерный сигнал может быть восстановлен цо двумерной последовательности отсчетов с помощью двумерной интерполяционной функции х(гь 1,)= у,' д,' х[т, л]Впс[(1,— шТ»))Т]мпс[(Г,— лТ))Т], (16.18) являющейся следствием двумерной теоремы отсчетов Квапрат модуля двумерного ДВПФ можно интерпретировать как двумерную спектральную платность энергии 8(П, Д)=[Хдвпе(Г», Г)[Б (16.19) пс»одя из соотношений для двумерной энергетической георс.
мьш: Энергия=Т,Т мд, 'мл] ]х[ш, и])'.= (16.20) Нижвий индекс ДВПФ в последующих ссылках нз это преобрв»оэание в даннов главе для улобства будет опущен. Полагаем, что дискретная двумерная последоеательность— периодическая с периодом М в одном измерении и с перподом дг — в другом, т. е. х[ш.!.ОМ, и — 0))]=х[л», и] (16.21) для всех целых а и 6, так что и следовател ность полно тью оаре.гезеиз аначеаип»»и МХ в КП-опоркой' плосиости области 0<т<М вЂ” ! и 0<я<А — 1. Для этпй периодической последовательности можно записать двумерный дискретный ео ере»»еии ряд Фурье (ДВРФ): м-»л-» Хдвге [й. 1]=Т,Т, Х мл] х[л», л]елр( — )2п[шй!Мфпа]), -а -а (16 22) '» Пга атнашеаие «эляегсэ сл д г и д т р аа формулы Пара алз егор ый пРедставлЯет пеРиоднческУю фУн киню с пеР»»пламя М а »Л' в соответствУюших измеРенпал.
Дла вьшислсциа вге» ММ зна наченцй, получаемых в резулыате преобразовзаия с помощью дВРФ, потребовалось бы М'д' комплексии» операций (умпо»кеций н сложений). Можно прнмешпь одномерное БПФ пз приложения 2.В, чтобы уменьшить обьеы вы шслений ирлбг»нзп. тедьно до (МЛ)1ой»ММ)(2 комплекслых операций Прп эгон испол спользуется возможность разделения аргумента экспоненты н цыражении (16.22) для первоначально~о оы»ислеиия промежуточного массива, логорый соответствует преобразовэнпю в одном измерения: Х„„.ы.„[, (]=Т, ~ [, ],.Р(. (2 1(ьф).
(Гбуз) Затем вычисляется ДВРФ промемугоч»»ого м.»есина, по соо». аетсгвует нреобразованцю в другом измерении: и — 1 Хдвае[й, (] Тг ~ Х„,„,„,[з, Пехр( — !2п»лй(М). (1624) -а Эти ряди представляют собой стра пю.стозбпевое раз.юл.ение лвумейного ДВРФ на деа множества операций, явзяющптсп одноме9ными ДВРФ. В процессе этих оперз»1ий сначала вышсляется одномерных БПФ по столбцам мзсспвз исходных данных, а затем М БПФ но сгрохав промежугочио»о массива 1О. ° . Теория двумерных спучайньш процессов Понятие двумерной спектральной плотное»и мощное»и (СПМ) требует, как и в одномерном случае, чтобы двумерный кассиа «[ж, л] отсчетов нз двумерного случайно~о процесса был стапйонарным в широком смысле.
Говорят, »то такие двумерные случайные процессы образуют одмородиые послегювательносгн, поскольку двумерное среднее процесса не зависит от расположения иа двумерной плоскости и двумерная автокорреляавои. ная последовате.»ьвость (АКП) является функцией расстояния между лвумя точкамв на двумерной плоскости '1. Дискретное двумерное среднее, авгокоррелнцноиная последовательность, автоковариационлая последоватедьность п взаимно.яорреляци- »О азх би ш 1» а арапы ук аа э шии» дл * и дэтпш в дзгиариаи слг а аэрезяииа фт ха зависит ка ат евк дава Э»таяаия мау чкаии» ас и (см, иэарямар, (эб ! 1я.
2, $ ю, е, 110 114) — пэ л э д, 5Ш ге га 519 онная последовательность для однородных случайных процессов, соотеетственао, пьтенп вид х=8(х[га, и]) =сон 1, г„„[й, 1)=8(х[гл-(-й, л+!]х'[яг, л)), с,„(й, 1]=.8((х[т.,' й, л — !] — х)(х'[гл, «] — х))= (16.26) =г„[й, !] — (х)К г*[й, 1]=8(9[ фй, -.'4 '[, и)) Как правила, с штамм чпт сревнее равно нулю, так что двумер- ные авгоьарреляняанаая в аотокавароацнонвая последователь- настп совпадают Значение антокорреляцпн г„[0, О] лейства. тельно л положительно (сы.
Задача). Можно показать [6], чхо двумерная АКП образует поло «птельно полуопределевную нос. ледозатеэьпость, т. е. Х~]~~а[1, ))п*[й, 1]г„„[г — й, ! — )])О лля всех последовательностей а[1, П. Свойство положнтехьнай определенпостн гарантнр)ет, что двумерное ДВПФ двумерной АКП будет неотрицательным п что ьорреляннонаые матрицы.
образованные нз двумерной АКП, имеют обратные матрнцы. Дадлгерлал . слекгрольаая плотность мои!поста (СПЛ() Р,,((ь ),) определяется аналогично одномерной СПМ как леу.. мерное ДВПФ двумерной автокоррсляцяонаай нос.те,говатетгь. посто Р„„()ь Д)=Т,Т, ~] ~ г„„[ж, л]ехр( — г2я[ДгггТ,-( ДлТ,]) (16.26) на интервале ((~) -"1!2Т, н ))г)(1(2Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
