Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Дах)е при допушении каузальности двуыерный АР-процесс определяется неоднознзчна, так как возмолгны две опорные обла. сти: НСПП н КП. Массив автарегрегснонных параметров он[т, и] НСПП.области, соответствующих верхней цолуплоско. сти, н массне авторегрессиовных параметров а (т, л] НСПП.области, соответствуюших нижней полуплоскастн, ножка определить следуюшии образом; .вц. Л ' аа[т, и], — р, "т р„если 1,(л(р, илн 1(т,'(р„если н=б; — р,(гл( — 1, если п=.б, (1бд5) лл» положительных истых чисел р~ и рт.
Полное число АР- параметров вслучае нспп, следовательно, равно др р ч у~жри На рис. 16.5 паказанз опорная область для этик двух эвторегрессианных НСПП-массввов Массивы авторегресснонных пара. метров первого, второго. третьего и четвертого «вадрантов в " Оизидю е олгкау л а м разх 15.5. — Прим. Рид. .
г-.—..--~" ° ), .ч ' (а, в '! ' Е,пт. вг (16.46) г Рнс. (В.б. т в т оп вине нспп. б ч т» дву ерим*, а»вов Ар-пв. у етр вату вр;Звал Зг а — НСПП.об встьв вертнеа п.у.ескт в, б — НСПП-ебалс» б втлпг, шчс н цчучае КП а,[т, л], аз[т, л], а,[т, л] н ал[т, л] можно апре. делить следуюшим образом: а[т, л]= (а,[т,п], 0<т."ро если 1<л<р, или ! <т<рь если л-0; а,[т, л], — р,<т<0, если ! <л<р, или — Рл т< — 1, если л=О; а,[т,л], — р,<т<О,если — р,<п< — ! илн — р,<т< — 1, если п=О; а,[т, л], 0<т<рпесли — р,".а< —;! илн 1"-:т<рп если л=О.
Полное число Ар.параметров в случае КП для любого пз четырех квадрантов равно ргрз.)-р,+рв На рис. !6.6 показаны опорные области авторегрессиоввыл массивов дзя этих четырех КП. 16.7.2. Двумерное линейное предсказание гжеина на основе двумеряого линейного прелсказання по массиву отсчетов данных «[гп, л] принимает следующий вид: х[т, л]= — ~,~а[1, !]«[т — г, л — !], (16.47) г где а[г, !] — двумерный коэффициент динейнпго предсназаипя. Р с. )бл, Тт чне перине КП-вбаастп на нт д даунер * м с АР-параметров слу ве р;р, 3, распоповы е первом ( ), торо (С). регьем ( ) че мртО» (е) «внраатвх.
Если выбрана каузальная опорная область для массива коэ(- фицяентав линейного предсказания, то кпэффицнепты двуыериого линейного предсказания, которые мипилгизируют днспе, сию ошибки «[т, л] — «(,т, и] ° р =4)Ц«[т, п] — х[т, л]ГЬ креврашают ошибку линейного прелсназани» в двумерный бг лый шум. Это авалопшно интерпретации одномерного фильтрв ОШИбКи линейного предсказания как отбелипаюшего шум (сн. гл 7).
Нормальные уравнения, мз катормх определнются дву- Гш э 1Э мерные коэффициенты .швейного предсказания по известным двумерным АКП, вденюшиы двумерным уравнениям Юла— Уолкера дли каузального двумерного АР-процесса, описывае. иым в рээд 16.7.3. Коэффициенты юрая ения п случае двух измерений здесь не рассматриваются, оин обсуждаются в работе (20]. Испочьзование двумерных фильтров линейного предсказании с полукаучальнммв и некаузальными опорныма областями изу. чалось в работах (1О, 11, 23, 25] с целью применения в двумер.
ном спектральном оценлвании. По.видимому, полукаузальные процедуры двумерного спектрального оцениваиня пз основе линейного предсказания несколько более точны в опрелелеиии расположения пиков, чем каузальные процедуры в случае КП и.1и НСПП. [10]. Можно покааать [10], что дисперсия ошибки в случае полукаузального лииейиога предсказания соответствует спектральной плотности белого шума в каузальном измерении п процесса скользящего среднего в иекаузальном иэмере.
нин, имеющего «спектральную плотность» Рэс.р, выражаемую в виде з.преобразования. А( ь гйя*(114„1Ы!) ' где А(эг, г) определяется нак А(зь з,)=1-)-ЕХо(0 !]а,-'э, Это больше ие двумерный АР-, а двумерный АРСС.процесс. Подобно этому можно показать, что дисперсия ошибки лннейного предсказания в некэузальном случае соответствует спектрзльной плотности процесса скользящего среднего в обоих иэ. мереииях. Эта «спектральная плотность, Рпсьз выражевиая через э-преобразование, имеет впд Рпс,я Пь 1,) = „ (16.49) В (1649) выполиево сокращение на член Л'(1( П, !)гт*), содержащейся в числителе н знаменателе. Процедуры полукау. эальиого и иекаузвльнаго спектрального оцекиваиия на основе лннейнога предсказания ие гарантируют неотрицательной С~41, когда параметры мопели оцеииваютсв по заппси данных конечной протяженности, тогда как процедуры каузального сяектрального оценнванив на основе лаиейнаго предсказаппя всегда гзрантируки неотрнпательиасть СПМ Юза — Уолкера'1 для каузального двумерного ЛР-арцесса: [ р„, [й, !] = [О, 0]; ! О в остальных пучаях.
Пределы суммирования можно выбрать в соответстви с любой из шести опорных обвастей в (1645) илп (16.46) узким образом. саотиошенае между дв>мерными ЛР-иараметрмн и двумерной АКП >станавл14ваетсв системой линейных урэнений. Наибольшее внимание в литературе уделено дучерному АР-процессу с опорной областью в КП, что в поповн и обусловлено тесной связью между лвумериыч АР-пропессо1 и много канальиыи ЛР-процессом. описзииым а гл 15.
Это оответствне позволяет искать способы разрэботнэ лвучериога алгоритма эевинсоновского типа. осковааного на многокаиальиы алгоритме Левинсона, для решения двумерных уравненнй Ола — Уол. кера относительно массива двумернмх Ар.парапетов Лвумервые уравнения Юла — Уолкера для спорых областей в КП можяо привести к двум удобным блочиачатричпын формам, упорядочивающим двуыервые ЛР-параыетш либо во строкам, либо по столбцам. В краткой записи упоядоченные по строкам двумерные АР-уравнения Юла — Уолкер для опор. иой области в первом квадранте можно выразить ледующиьг об!газом; [1 й 'а', = рй (16.50) где блочная матрица Ю вЂ”вЂ” Ю[0] й" [1] ... й'[Р,] > й'[ — 1] й'[0] ...
Ю[р,— ] (16.51) Ю[-Р,] йу[--р,о1] ... й [О] определяется матричными элементами г,„[1, 0] г„„[1, 1] ... г„„[1, р Ю[1] =- к„„[1, — 1] г„„[1,0] ... г, [г,р,— 1] г„„[1, — Р,] г „[1, — Р„-с(] . г „[1, О )) (16.62) 1А.У.З. Дэу ериые урэеиеиия Юла — Уолкера Уыножая обе частя уравнеаия (16ДЗ) иа к*[из — й, л — !] и беря математическое ожидание, получим двумерные уравнения Ь Дэ» д чпгп ушзааппх ур а «эй Ю з — Уодяера зада ас т трзз.
К " (>зэз> в де 1, !.—.— 22«Р, й*( —, — 1!+ 'Р, Аг *эх«4 г 11 у ем ь а *'(м а, а-О я усэеднвть яо .— па э. рэ зз! а блочные векторы Га',[0) ! Гр(! а;[!] О ! (а', [р,]! ( О ! (16.56) ч блочвые векторы Га([О] ! р(! а', [1] 0 (а',[р,]! ( 0 ! а,[г', 0)! Гр \ ( ( а,[Г, 1] о[ а[ [1= ', р[= (а,[Г, р.]! ! 0 ! (16 63' (!654! где блочная матрица й'а; = р'„ й'а,'= р,', й'а,'=р,', (1б 58) (16.59) (16,60) определяются через вектор-элементы Каждый элеиснт, обозначенный жирным 0,-- этовектор-столбе из рг-1-1 нулей и, по определению,а,[О,О]=-!.Влочнантеплицс ва матрица Р' составлена из (р,-1-1) х (р,ч-!) автакорреляцнон. ных матриц й"(г], которые сами являются теплнпевыми Поэтому саворят, что матрица й' дважды теплицева илн блочно теплицева-теплицева. Верлний ннлекс г указывает гнтателю,что используется упорядагенне па строкам.
Каждая матрица й"[г) имеет РазмеР (Рг 1-1) Х(дгф)). Ьлочный вектоР ар изРгз-!ав. торегрессионных параметров, имеющий нижний индекс 1 для обозначения прнналлсжностп к множеству АР-параметров из первого квадранта, составлен из р,ш1 векторов ау[г], кажды~ размера ргф ! У блочного вектора рг' нсе компоненты нулевые. зз псключевнем верхней — днсперсии шума рг, Упорядоченные па столбцам двумерные АР-уравнения Юла — Уолкера для опорной области в первом квадранте имеют енл й' = й' [0] й' [!] ..
й' [в,] й'[ — !] й'[0] ... й'[р,— !] (16 55! й'[ — р ] й' [ — р,ф !] ... й' [о] Г определена матричнмми элекентами г..[0 Л ..[1, Л ..[~„ Л й [(]= — ... ~..Ъг-о), Г]'~ г„,[ — р„(] г„,[ — р,-(-1, Г] ... г„„[0, Г) / определены через вектор-элеяенты Га,[0,)]! Гр а,[1, Г] 0 а', [Г] р (16.57) (а,[рп Щ ( 0 В этан слу гас размер блочной матрицы й* равен (рг .
1) Х К (ргф(), размер обоих блочных векторов ар н ру равен ГГ»-(-1), размер матрицы Р'[Г] — (р, ' 1) х (р,-ь!); размер обоих вектоРов ар[)] н Рг' — (Рг+1)! 0 — вектоР.столбец из Рг-. '1 нулей. ((вумерные уравнения Юла — Уолкера дл» опорных областей ве втором, третьем и четвертом квадрантах также можно выразить в форме либо упорндоченная на строкам блочной мат. рицы й; либо упорядоченной по столбцам блочной матрицы йц Например, строчна-упорядоченные формы имена еид ~де (а[[0] 1 Га Г,,! Гр) ГО! [ а," [1] а,'=, а([Г] =- а,[Г, 1] а,'[р,] (а,[Г, 0] Га([Р,]) Гз,[Л Р.]1 Г О 1 Г 0 1 ( 1 1 1 а([!] о,[Г, !] О ~ О а( [О] Г (а,[г, 0] Г (р(Г (р 3 Здесь использован тпт факт, что р =р ., так как дисперсия р., — величина действительная.
Сравнавая выражения (16 64) с (1658) и (15.65) с (16.59), можно слелать вывод, гто а', = (За()*, (16.66) а( = (За()ч (16. 67) Следовательно, ЛР-параметры третьего квадранта являются комплексно-сонряженными с ЛР-параметрами первого авадранта: и, [т, и] = а,' [м, и], (16.68) а АР-параметры четвертого квадранта «омнлексно сопряжены с ЛР-параметрзмн второго квадранта: а,гм, и].=а„'[гг, и]. (16.69) Га( [Р,] ! Га,[г, 0]1 Г 01 ГР„,Ъ )а,[Г, 1] ' 0 а(=-, а,'[Г] —.-, ', р,' — --,, р(=, а[!] . ( . о (а( [о] Г (о,[г, Рг]Г (р(Г 1 О Г Автакорреляцнонные матрицы й'[1 ае зрмитовы, иоудовлегворяют соотиапгению й'[ — Г] = (9'[г]".
Этого, о,!пако, достаточно, чтобы сделать блочную ьгатргггу К' эрмитовой, длн яоторой К'= (К') ч Матрнца К' такхге обллает свойствен 3 К "3 = (К')' (1б 61) где 3 — (Р~ 1) (Рг ' !) К (Р~ 1 !) (Рт.!') — матРнца отРаженна. Это свойство следует нз эриитова и евлицева свойств йч По. скольку П~1, где 1 — единичная жтрица, згажеь~ записать уравнения (1659) и (1660) в след)юхем валс 3(9')*33а(=М, (16.62) 3 (К')'33а(=3у(. (16 65) Учитывая, что Зрз"-рр и Зр '=рг' з аьже используя свойство (16.61), для уравнений (1662) н (16 6) получаем К" (За()' =- (р()' = р'„ К" (За!)'=-(р()*= рь Равенства (1668) и (16,69) аналогичны саотцошенига комплек. спой сопряженности коэффициентов линейного предскззания вперед и назад, полученаому при одномерном Лр.анализе В гл 7 было показава, что сушествует однозначное соответствие между последовательностью из Р4 ! значений АКП н послеловатсльностью из р одномерных звторегрессиоиных парзмегрое и аисперснен шума р ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
