Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Есле задана одна поспелова. тельнгсть, то другую последовательность можно определить однозначна Это свойство взаимао однозначного соответствия в литературе часто называют сзоисгзом сзгояорреллчионного согласован~я в одномерном авторегрессионном анализе. У двумерного Р-процесса этого свойства автокорреляционного согласования ме сушестзует. Исследование нормальных уравнений (1б 54) н (16 58)--(16 60) выявльет, что требуется 2р~рз— — Р1- Рз зпачезни двумерной ЛКП для однозначного определения Р~рзч-рпурз двумерных АР-параметров и дисперсии р, '. Слеовательно, для однозначного апрелеления значений ЛКП одюгх лицгь Ар-параметров недостаточно, т.
с. не может сушестзоват взаимно однозначно~о соответствия между этими двуми альтернативными представлениями двумерного Ар.процесса. Обратное преобразование функции двумерной спектральной гшотности иошности [формула (!6.44)] порождает двумерную автокоррслндионную последовательность, «аторая в абшемслу- ь Дз зази иах юз зичв З АКП а чии ю ез З йр. Р.
р ххшгрсхз уа сне редю ь веху и и форме: зр,р Р,— Р,= Р !Рз — 0 ! Р ГР— 1) а Р,Р тз !.Р =Р.(Р г.г)тР. зз и ров д о гааш иие аозичтсю.— Прю Ргд. ~ае не согласуется со значениями ЛКП, испольэуемыин для вычисления двумерных АР-параметров пз двумерных уравне. пнй Юла — Уолкера. Однако полученная таким образо» АКП будет иметь теалевяию оппроксимиразагь исходные значеиь АКП. Следуе~ также подчеркнуть, что поло».ательная апреле лен»ость матрицы К' гарантирует однозначность решеаия дву черных уравнений Юла — Уолкера, ио нс обязательна буде гарантировать устойчивость ЛР-модели.
Вопрос об аетокоррг лициопаом согласовании будет иентральным прн обсужденп етоив двумерной максимальной энтропии в равд. 16 8. 16,7.4, Решение двумериы» уравнений Юпа — Уолкера дп» «еадраита ппоспости (КП) Быстрый алгоритм для решения двумерных КП-уравнен1 Юла — Уолкера можно получить, используя сняв~ с многока назьвыми уравнениями Юла — Уолкера (гл.
15)„ для решенг которых имеется многоканальный алгоритм Левинсона [27] Эта процедура позволяет вычислять АР-параметры одновреме но лля всех четырех квадрантов плоскосюг. Представленны здесь алгор~гтэг — это упорялоченный по строкам двунери ю азгорптм Левинсона, в котором порядок по столбцам и фйксо. рован, а решение дл» порвдка по строкам р~ получают рекурснвна, начиная с порядка 1.
Сопутствующий ему двуыерный агюоритм Левинсона. упорялоченный по стотбиам, можно получить, просто ьгеняя ролями р~ и рт Прн рг ьрт нли ргжр, выбор упорядочения с наименьшим рг, г'.—.1,2, по столбцам мажет обеспечить вычислительные преимуществэ, даже если этп упаряда лезги» привалят к одинаковым решениям. Возможны также лрую:е двумерные алгоритмы Левинсона (13], как, например, алгоритм, который работает рекурсавно одновременна по обоим измерениям, пли тот, который работает по каждому измерению попеременно Было показано [уравнение (15 57)], что многоканальные уравнения Юла — Уолкера лля (р, ' 1).канальнога АР-процесса порядка рь солержашего каналы от 0 ло рь аиеют вид с й..[~] й..[ ] ...
й [ ] , 0**[ Ц в**[0] ... Р*.[р, — ц ~~ Ап [ц 1 [ О й** [ — Ш] К [ — у ! ц ... В„„[О],]тдгг [п,у [( О )г (!6.70) для многоканальных АР параметров вперед и Г К [О] ... К [р,— ц й.. [п,]1 (Вп,[рт]1 ( О 1 й.,[ — р,-( Ц ...
Е,„[о] й..[Ц в" [Ц о К..[ — Р,] ... К..[ — Ц й..[О]!, ! Рж (16,7!) для многоканальных АР-параметров назад гле ( -[й] .ю[й] й,„[й] = = К„"„[ — й] (16.72) (гр,[й] ... г , [й]! — многоканальная корреляционна» матрица для сдвага й. Корреляционная матрица, фигурнруюшая в уравнениях (16.70) н П671), зрмитова н имеет о»очно теплицеву структуру. Эти забегав были тактче характерной особенностью дэуьгерхых КП-уравнений Юла — Уолкера. Эта особеаность нрелполагает, что решения двтмерны» уравнений Юла — Уолкера и ынагокаиэльных уравнейий 10»а — Уолкера связаны между собой. Сравнивая уравнения (16.54) и (16.70), види», что можно установить взаимно однозначное соответствие ыежду Кр, и йч если ьпгогаканальаую взаимную корреляцию гч[й] и двумерную авточарреля~ию г„,[й, Ц связать следуюшим образам; го [й] =- г„.
[й, 1 — )], (16.73) ,тля О(С !(рт. Если теперь сравнить уравнения (1654) и (16 70), то становится ясао, что если р,'= Рг„а([0], (16.74) то шсюла следует, что а',[й] = Ар", [й] а[ [0] (16.75) лтя 1кймрь Итак, ппогояопальпмй алгоритм Лезппсопаможио пспольэазать для гголучгпггч решения дзуперим» урпаигпип Ю.га†Уолкера. С этой целью сначала нахолят решения для атрип Ргр, н Аг,(й] для и= 1, , рь а затем используют урав- ш пения (!6.74) и (1675) для получения двуьгерных авторегрессиоинмх параметров и дисперсии.
Аналогично можно вычислить лвумерные ЛР-параметры длн второго квадранта опорной области нз многоканального решения, используя р( =- Р,' а; [0] а, '[й] = А,", [й] а([О] (!6.76) (! 6.77) для 1~4 "р, Теплицеву структуру двумерных автокоррелянианиых матриц Й,[й] можно использовать лля дальнейшего уменьшения вычислительной сложности мвогоканального алгоритма Левинсона. Можно показать (см. Задачи), по лвзжды теплицева структура приводит к соотношению В, [й]=Л,",[л] (16.78) для 1 -Ларь а соотношеняе (! 6.79) становится истинным, что, олнако, в общем многонанальном случае не вмполняется. Этп соотношения упрощают многоканальный алгоритм Девинсона в нрнмененан к двумерному случаю Й [р, -!- !]) Й„„[дг] Лр,—.- [1А [1] ... Ар [р,]) Й„[!] А, „,[П, -1- 1] = — Л, „(Рг )-, (16.80) (16.81) р,„[ ] Аг [й] -! Аггы [!т,-)-1]А",[в,— й], ! (й шр, (16 82) Рэиш=-(1 — Аг,+ [вг4-1]А,",„[р,.(-1])рэг, (1683) с начальным условием Рог=К*,[0].
Это уменьшает объем вы. численяй общего многоканального алгоритма Левинсона почти вдвое [14, 29]. В приложении 16 Б содержится полцрограмма ТПЛЙ, предназначеннап для вы шслевия двумерных Лр.нара- метров в первом и втором ивалрантах, при заданных значениях двумерной ЛКП.
Реш ((г, Л) = ~;1и. е! з( —;г 63 г,((шт,О[ =з -а г,т,с„. Д. гВ ((' (16.4) где еПь (з) — двумерный блочный вектор комплексных снаусод из соотношений (1639) и й; — оценка вектора (!653) автарг. рессионных параметров в первом квадранте (заметим, чо 4 [О, 0]=-1 по определенвю). Процедура двумерной спектрзьиой оценка во втором квадранте имеет вид Рлрз((о(,) = „, ' '" ' „, (165) 2, '~..1,.1-р( гз.(1, т, (,л7,0( гзе о,(0, 0] — "1 В сл)чае одной синусоиды в безом шуие с звестяой АКП эти процедуры дадут асимметрично смешенше спектраггьиые оценки, как показано «а рис.
16.7,а и б, из коооых видво, что спектральные характеристика представляют о. бой зллнпсы, углы наклона которых имеют противоположнзе знаки Джексон и Чен (9] прелложизн комбинированную (Р- продену~у оценки в КП Рхэк(( (з) в виде 1 ! ! пхэь(1,(1 Рээ О,А! Рэг О.!) (16. 6) Комбинированная КП-процедура опенки лает спектральше характеристики с круговой симметрией, показанные на рс. 16.7, а Джексон н Чеи также установили на практике, го применение комбинированной процедуры оценки снижает верятносгь появления ложных ников прн спектральноы оценииннн Это связана с теи, что выражения для оценки в первое и втором квздрантах ие могут обратиться в нуль в одиоьг и пм же месте двумерной частотной плоскости, если в этом меев действительно отсутствует компонента сигнала Заметы, что быстрый алгоритм в приложении 16,5 позволяет одновдменно получить решение лля векторов АР-параметров в дпх квалрантах, необходимое лля вычисления соотношения (16 8).
зз — 1зш 16.7.5. Модифицированная процедура АР-спектральной оцени для квадранта ппосиости Запишем процедуру двумерной авторегресснониой спектра ьной огщнкн в первом квадрзнте 16.6, Двумерное спектрапьное оценнванме на Основе метода мвмсмманьной энтропнм 0.5 ОЛ ол 05 -05 0,5 05 -Ол -О 5 -05 Рас, 76.7 Иээогтр О м р Э КП вЂ” Ар.оаэаки 005 сэу а ада Э с эуюид з бс о у — л у рю АР-Оцеэка СПМ з плрэом «е срщтл; б — х у. р АР. щ СПМ маром «Оэдр О, Π— кояб«- 16.7.6. Сщенивание деумерньп аеторегрессионньж параметроа а основе даннык Ллгорптмпческнй аппарат, прнмепенный в гл.
8 для одномерного опеяиванкя Ар-параметров, можно обобщать и на двумерный случай. Можно использовать данные длн Оценивання аначеняй двумераых ЛКП в конечной опорной области и затем решать двумерные ураанення Юла -- Уолкера относительна массбва авторегрессаонаых параметров в желаемой области, КП ядп НСПП. Можно также применнть лвумерные алгорнтмы линейного предсказання с исппльзованнем метода нааменьшнх квадратов, основааные на коваряацнонпом и моднфацпровзнном ьоварнацнонаам аппарате гл. 8 [22, 28, 28]. Полагая, что отсчетам данных х[пл.
л] соответствует прямоугольная опОрная область 1(гп(М н 1Щл -Л', получаем, 7то полная квэдрапшная ошибка Е, в случае ланейного преднктора в первом нвадранте имеет внд !2 Е=-,л'ы ~ Х. ~Х;~о,[С)]х[ш — Сл ]]],(16.87) где полагаем а,]0, 0]=1. Это выражение мозно минимкзнро. взть, чтобы палучпть снстему двумерных коваряацяонных уравненай линейного предсказання с ноэффнцнентами, выражен. ными через параметры лппейного предсказания а,[г', ]]. Молифипнроаанную систему коварнапионных нормальных уравненай дпнейного предсказания можно также получнть (см Задачи), мннамнзнруя сумму квадратичных ошибок Е,-)-Е, в первом н третьем квадрантах, с учетом соотношения колгплексвого сонряженкя (1668), свяэываюгпе7о двумерные ЛР-параметры в первом я третьем квадрантах.
Процепура двумерной опенкн СПМ на основе метода макса. мальной энтропия РмнзЦь !5) максиынзпрует двумернуюудсльяую згшропкю 5ПГ, ° НОГ. А=] 'и, ] ч, )ПРмлэ(7 Г)б[ б( (1688) Прн этом наложена условие согласованна ее с известными знэченл5ямн двумерной ЛКП: г„,[А, !] = „„' $ 7„'„Р„ллз(]„Д) ехр(!2п [(567,9 Д!Т,]) б[лб]м (16.89) В отл75чне от параметрвлесквх прапсдур двучерной спектраль. Оой оценка, например, АР-процедуры аценнн в КП,для ММЭ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
