Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 49

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 49)

Преобразование Радона функция [' можно представить как р, $) = Яу = Я [~! К 7>) = )' г(х [' г>уу! (у)у, (к — у) й (р — Д, х)) = = ) дуу! (у) [ г(х~, (к — у) 3 (р —, (й, х)). делаем замену переменных в=х — у, тогда 1(Р,$) =(~7уИЬ) ~ (Л(к)й(Р— ($.у) — ($.к))=. - ~~(йЛ (у)А(Р-(Ф. у)> Ф) Введем новую переменную г и представим функцию гз в виде свертки с дель>а-функцией: >О [(Р.$) =[ ~М(У) [ ИР— У $)й(г — И У))Ш вЂ” >> ) Щз(р г >)1ауЛ(у)о(4 (> у)) 00 >> = ~ Л(Р-4.$0>(~Ъа.

Таким образом, мы получаем очень важное свойство: преобразование Радона свертки двух функций есть свертка преобразований Радона этих функцяй. Это существенно отличается от свойства фурье-образа свертки„ который представляется в виде проязведений фурье-образов исходных функций.

Обратное преобразование Радона позволяет восстановить яз функции 1(р, $ ) непосредственно свертку функций )! и !ь Таким образом, для двумерного случая вновь мы видим, что использование преобразования Радона позволяет определять двумерную функцию свертки 1(х,у), обрабатывая одномерные сигналы 1>(р) и 7з(Р) Рассмотрим схему оптико-электронного процессора, позволяю, щего вычяслять функцию свертки двумерных сигналов в реальном времени. На вход процессора одновременно подаются два изображения 1>(к) и [т(к).

Онн параллельно обрабатываются в устройствах, выполняющих преобразование Радона. Подробное описание таких устройств приведено в $7.3.1. Затем одномерные сягналы )>(р) я [т(р) поступают в конвольвер, в котором вычисляется функция свертки. Примером такого устройства может служить ПАВ-структура, выполняющая операцию свертки одномерных сигналов в реальном времени. На выходе устройства формируется !4> 2!1 одномерный сигнал, являющийся радоновским образом свертки исходных функций, Обратное преобразование Радона в случае не. обходимостя позволяет видуализировать непосредственно функ цяю свертка, Подобная схема позволяет в реальном времени вычислять дву мерную функцию свертки, что очень перспективно при решении целого ряда задач обработки изображений 1131.

7.3.3. Кодирование и распознавание изображений Преобразование Радона может быть использовано для решения таких конкретных задач, как эффективное кодирование изображений, распознавание образов, выделение особенностей и т. п. Остановимся подробнее на методах решения указанных задач и укажем те преимущества, которые возникают при яспользованли преобразования Радона.

Во многих случаях для передачи я запоминания изображения необходимо использовать канал с широкой полосой пропускания и память с большой емкостью. Для уменьшения требований к указанным характеристякам системы необходимо использовать эффективное кодирование изображения или сжатие данных.

Если определигь, что изображение задано в ЮХЖ отсчетах, каждый из которых соответствует Л1-му уровню квантования по яркости, то под сжатием в области объектов понимают сокращение числа отсчетов и(или сокращение числа уровней квантования. Однако возможно другое сжатие информации, которое заключается в преобразовании изображения, например, с использованием операторов Фурье, Адамара, Хаара, затем квантовании полученных коэффяциентов разложения и/или их исключении по какому-либо правилу.

Для того чтобы восстановить изображение, выполняется обратное преобразование по «сжатым» коэффициентам. Аналогичную операцию можно выполнить с использованяем преобразования Радона. Схема сжатая при этом выглядит следующим образом. Сначала вычисляется преобразование Радона ясходного изображения 1(х,у) под различнымя, заранее выбранными углами ~Г. Затем из полученных проекций 1 (р) с использованием одномерного преобразованяя Фурье получают функцию г".„(т), представляющую собой набор значений двумерного фурье- образа изображения.

Сжатие выполняется дискретизацией и квантованием, полученных значений коэффяциентов Фурье отдельно вдоль каждой линии. Так как проекцяя 1,. (р) — действительная функцяя, то ее фурье-преобразование Р (т) обладает свойством эрмитовости, т. е. действительная часть — четная функция, мнимая — нечетная. Поэтому должна быть передана или запомнена только положительная часть (н>0) каждой линии в частотной плоскости.

При сжатии вдоль каждой линни отбрасываются значения спектра после некоторой граничной частоты С которая изменяется от проекцяи к проекции, т. е. зависит от гу. В [18) для определеняя значения С было предложено следующее правило: 212 ) чЕ„(ч) ~ г)э=5,, ~ — э та ах ~ где Я вЂ”:= ( ~ тР (э) ! йэ; 5 '„— наибольшее значеняе в диапазоне о 0<гр<я; Т вЂ” параметр, характеризующий степень сжатия, Заметам, что спектр проекции, для которой 5е =З.„„, не уменьша-, ется, и пря Т вЂ” 0 получаем С х, т. е. сжатие не происходит.

Предложенный метод носит, конечно, эмпиряческий характер, и возможно использование других алгоритмов. После сокращения полосы частот осуществляется квантование действительной и мнимой частей спектра, При этом учитывается динамический диапазон после фильтрация нулевых частот множителем ~~ ~. Какие же преимущества имеет сжатяе информации преобразованием Радона? Во-первых, возникает возможность выполнения сжатия информации в реальном времени.

Действительно, в й 7.3.1 была опясаны устройства, позволяющие выполнять преобразование Радона, одномерное преобразование Фурье и фильтрацию в темпе поступления видеосигнала. Нетрудно заметить, чго кодирование я квантованяе одномерного сигнала также можно выполнить по мере его посгупления. После выполнения этих операций требуется только обратное двумерное фурье-преобразование для восстановления изображения из уменьшенного количества информации. Во-вторых, динамический диапазон спектра изображеняя вдоль каждой линия, на которой он задан, существенно уменьшается после умножения на фильтр ~т~. Это вызвано в первую очередь тем, что низкие частоты в спектре изображения, как правило, велики, а фильтр в этой области равен нулю. Таким образом, сама особенность формулы обращения преобразования Радона упрощает требованяя к шагу квантования.

Третье достоинство преобразования Радона в данных задачах обусловлено тем, что одномерный анализ сигнала позволяет кодировать непосредственно двумерное изображение. Этим объясняется хорошая адаптация алгоритма к конкретному вяду изображения. Действительно, В тех изображениях, которые имеют резкие края, периодические и квазлперяодические структуры, ориентированные в некотором направлении, одномерный спектральный аналяз вдоль одной из линий, проходящих через начало координат, позволяет выделить эти направления. Дальнейшее адаптивное сжатие информации позволяет лучше передать наиболее характерные деталя изображения (160). Последняя особенность преобразования Радона может быть использована в задачах выделения информативных фрагментов иэображения и при распознавании образов. Напрямер„преобразованяе Хоу уже достаточно давно яспользуется в системах распознавания образов (!58] для выделения и 21з распознавания вытянутых линий в язображении, регистрацн„ движущихся объектов и т.

д. Суть его состоит в том, что некото. рым кривым, например синусоядам, в пространстве объектов ста. вится в соответствие некоторое число в преобразованном простран. стве, координаты которого соответствуют характеристикам кривой, а значение — интегралу вдоль нее. Нетрудно показать, что такое преобразование эквивалентно преобразованию Радона при заданных, но криволинейных лучах интегрированяя. Возможность реализация формулы обращеняя для ряда случаев делает такую интерпретацию преобразования Хоу очень удобной.

Другим примером может служить вычисление моментов изображения. Известно [158), что распознавание образов с использо. ванием моментов функции, определяемых.по формуле т, = ) ~ хаут) (х, у) ЫхЫу, очень перспективно, особенно для случаев, когда необходимо обеспечить иивариантность к повороту изображений. При этом, как правило, хватает первых б — 8 моментов.

Нетрудно заметить, что моменты изображений могут быть определены из их проекций. Действятельно, учитывая определения моментов, можно записать т„"= ~у"У(р, т) Ф или вобщем случае тт = ( ( (Х СОЗ ~+ У Згн Ч)" / (Х, У) 4(ХдУ = О1 — „) соз" ' р з1п' вт -и ~ У,~,) !=0 Это выражение позволяет связать значение моментов проекций с моментами изображений т 4. Дальнейшее его преобразование позволяет получить прямые выражения для значений моментов изображений: т„=тат дЛя ЛЮбЫХ ~у, т, =та для р 1...3, то — т!2 для у= ! ...

Характеристики

Список файлов книги