Глава 2 (1026184), страница 2
Текст из файла (страница 2)
.. У, , координаты параксиального луча в плоскости перпендикулярной оптической оси и проходящей через вершину последней поверхности оптической системы; с'. . . а', , — углы параксиальногс луча 2(В) У(В) в пространстве изображений. Козф$ициенты А,В,С,Э зависят только от конструктиишх параметров оптической системы [19,28~. В работе [19~ доказано, что матрицу М можно представить в виде: где Ь,,„ — матрица, описывающая преломление параксиального луча на поверхности ~; Я,,„ — матрица, описывающая перенос параксиального луча в среде ~.
Для поверхности, Форма которой описывается уравнением (2.12), матрица Ь имеет вид [1 9~: р(п'-и,) Лля среды с радиальным распределением показателя преломления (2.7) из формул (2.8)-(2.11) следует: где й — осевая толщина градиентной среды. При ~=0 матрица (2.86) имеет вид: что соответствует матрице, описывающей перенос параксиального луча в однородной среде. Переднее ~ и заднее ~' Фокусные расстояния, передний з, и задний з', фокальные отрезки определяются через козф$ициенты А,В,С,В как [28~ соз(р1) и Кззп(у1) 1 — й/и Я о 0 1 — аз.п (Кй) l (п,д) соз Яй) Пусть плоскость У перпендикулярна оптической оси и находится в пространстве предметов на расстоянии з от первой поверхности; плоскость У' перпендикулярна оптической оси и находится в пространстве изображений на расстоянии з' от последней поверхности.
Если плоскости У и У' оптически сопряжены, то выполняются равенства [28): з' А(з/и„,) + 3 о(з/и„, ) + В 1 ~л (2.38) л С(з/и ) ФЭ где р — линейное увеличение в плоскостях У и У'. ГП- 1 + Б хкхр~~~ (2.40) где Ьу' — линейный хроматизм увеличения для линейного поля в пространстве изображений у'; Б. .., , Б. .., , Б„ Б„ ... — козф$ициенты (сумьн) параксиальных хроматических 2.3. Параксиальные хроматические аберрации осесжчметричных градиентных оптических систем Параксиальные хроматические аберрации осесимметричных градиентных оптических систем рассмотрены в работах [21,87]. Продольный хроматизм положения Лз' и относительный хроматизм увеличения Ьу'/у' в параксиальной области оптической системы определяются как [21~: — 41 аберраций. коэФФициенты Б.
.., , Бхх ... характеризуют вклад в аберрацию, обусловленный преломлением луча на ( поверхности, а коэФФициенты Б. .., , Б„ ... характеризуют вклад в аберрацию, обусловленный прохождением луча через среду ((+1), ограниченную поверхностяии ( и (( + 1). Для хроматических коэФФициентов Б. ..,, Бхх ... в работах ~21,87) получены выражения: Б . = ~ . ( а'. -а . Хх))(Х) хр(() ' (Х) (()) Б ХХхр().) хр(() ' ' (() ' (() ) где О(Х) О(Х) п„,, и'...
— показатели преломления ( и (+1 среди в вершине поверхности ( для основной длины всыпь; бп„ величины изменений показателей преломления п„ ... рабочем спектральном диапазоне. Для среды, в которой квадрат распределения показателя преломления описывается Функцией (2.7), хроматические коэФФициенты Б, , Б„ (индекс х опущен) определяются по Формулам ~21,25,62,881: Б, = -бкП (Ь' и, — аО' и,/К' — Яй а,и,/К) Б„ = -бяп,(й,Н,и, — а,~,и,Я' — (Н,а, Ь ~, )и,Я~) , (2.44) где и,=созЯй)з1п4~6)+~6; и =соз~яй)з1п~яй)-~й; и,=з1п Щ) б~ — величина изменения силового параметра среды ж для крайних длин волн рабочего спектрального диапазона.
2.4. Аберрации оптических систем с малыми нарушениями осевой си~иетрии На этапе изготовлены и сборки практически любая осесимметричная оптическая система перестает быть осесимметричной. Для неградиентж~х оптических систем это выражается в смещении вершин поверхностей с единой прямой— оптической оси и/или развороте осей симметрии таких поверхностей относительно друг друга. В градиентных оптических системах нарушение осевой сиьпнетрии может выражаться в принципиально новом явлены [83~ — смещении осей симметрии градиентных сред относительно прямой, соединяющей вершины ограничивающих их поверхностей.
Следствием нарушения осевой симметрии оптической системы является появление в ней новых видов аберраций, несвойственных первоначальной осесимметричной оптической системе ~2б,27,57,59,бб1. Наиболее полный обзор исследований в области неградиентных оптических систем с малыми нарушениями осевой с~иметрии дан Н.Н.Губелем в ~27~. В этой же работе Н.Н.Губель приводит полученные им аналитические Формулы для расчета поперечных аберраций второго порядка в оптических системах, состоящих из сферических поверхностей и однородных сред, с малыми нарушениями осевой симметрии. центра изображения Ау„' с оси сисмметрии всех поверхностей (кроме й) и поперечные геометрические аберрации второго порядка в такой системе определяются по формулам и,' ,а,' ,Ау„' = Ь(п'-п)ра 2АВ,п,„,а,„,= Я,(БЛ„' + Л,') + 2РЯ,+Н,)В,В,+ И"„'(БЯ,+Я,) + Э х х х~ 5 б) 2М,' и,',а,',= 2Я,й й + 2(Я,+Н,)й У + 2й У В, ~ + 26 У Я~; (2.47) а П) у ~ Й, й — ~~п Б - апБ 1 - А ~ Б.
в в ) в,, ; ~г.~в~ В Б. ; ~2.49) 3=~(~1  — ауйпБ ВУ Б. (2. 50) 1ак+1 С 3В т В = — — (~пБ — йп Б 1 — А 1 Б. — В ~ Б.; ~2.51) ~с, Э 3=1'" ~ ,1 =)С~ Рассмотрим предложенные Н.Н.Губелем Формулы ~26,27). Оптическая система с малыми нарушениями осевой симметрии отлхчается от исходной осесимметричной оптической системы тем, что вершина поверхности й смещена с общей оси симметрии всех остальных поверхностей на вели пну а.
Вектор смещения вершины поверхности к принадлежит меридиональной плоскости. Апертурная диафрагма предшествует поверхности к . Смещение где А =-Н(п'-п)ра/Ч; В= Ь(п'-п)ра/Ч; о — кривизна поверхности к; п=п,„,; и'=и,"„, =и„ „; Ь~,', Ь6,' — меридиональная и сагиттальная составляющие геометрической аберрации второго порядка; и — число поверхностей в оптической системе; Ь=Ь„,,Н=Н„,-высоты первого и второго вспомогательных лучей на поверхности к ; а=а,„,, р=р„„, — углы вспомогателынх лучей; У- инвариант Лагранжа — Гельмгольца; Б, , — коэффициенты аберраций третьего порядка исходной осесимметричной системы, которые рассчитываются по Формулам (2.28)-(2.32); й , й„, 6,, К„ нормированные координаты. Вектор смещения центра изображений принадлежит меридиональной плоскости.
Использование формул (2.45)-(2.52) для градиентных оптических систем не представляется возможным. 2.5. Аберрации второго порядка осесимметричных оптических систем Впервые на необычные аберрационные свойства таких поверхностей обратил внимание м.М. Русинов в 1 987г. Сн установил, что оптические поверхности, образованные вращением эвольвенты окружности относительно нормали в некоторой точке эвольвенты, обладают необычными аберрационными свойствами (54~. На рис. 2.1 представлена верхняя половина (у>О) меридионального сечения такой поверхности — эвольвента окружности радиуса Н.
Эвольвента окружности является траекторией точки М, принадлежащей прямой МЪ, которая перемещается по окружности радиуса Я. Меридиональный радиус кривизны г в точке М равен [541: г =г,~Я~ где г, — радиус кривизны в вершина звольвенты, ( — угол, образуемый с осью ОЕ нормалью МХ к звольвенте окружности в точке М. Оагиттальный радиус кривизны г поверхности равен отрезку нормали от точки М до точки М, пересе~ения нормали с осью ОЕ : г =ММ = г -В1Я ~/2)=г +В( ~-1~( ~/2) ) Координаты точки М в системе координат ОУЕ равны ". у=г зш Т ; з = г ~-В1ф')'/2)-г соз у В системе координат ОХОТЕ уравнение поверхности, образованной вращением верхней половины (т>0) звольвенты окружности относительно оси ОЕ, имеет вид [39~: х'~у'=(г з1п ~)'; з=г, (1-сов~)+Я (з1п~- ~соз~) "Конкретные вычисления, проведенные для апертурного пучка лучей, позволили определить сферическую аберрацию эвольвентной поверхности; при атом графическое представление сферической аберрации привело к неожиданному результату — кривая продольной сФерической аберрации в начале координат обладала касательной, которая составляла конечные углы с координатными осями.
Таким образом, продольная сферическая аберрация эвольвентной поверхности в окрестности оси оказалась квадратичной Функцией апертурного угла, то есть сФерической аберрацией второго порядка."[54~. М.М.Русинов обнаружил также астигматизм второго порядка и дисторсию второго порядка, которые пропорциональны произведению апертурного и полевого углов или полевому углу в квадрате соответственно. Характерной особенностью симметричного меридионального сечения асФерической поверхности (2.53) является то, что Функции, описывающие меридиональный г и сагиттальный г радиусы поверхности, имеют точку излома в вершине поверхности. Б первом приближении можно считать )=у/г , тогда: г -Яу/г, ; при у<0 г=г+Яу= г,+Ру/г,; при у>О г,=г,+Я(7-~~(7/2)) = г, + В ~у~/ 2г, + (2. 55) Наличие такой точки излома в вершине поверхности, как показал М.М.Русинов в [551, и приводит к появлению в осесимметричной оптической системе аберраций второго порядке.
На основании зависимостей (2.54)-(2.55) М.М.Русиновым были получены Формулы для вычисления аберраций второго порядка в ссесжчметричных оптических системах с асФерическими поверхностями типа (2.53). Независимо от работ М.М.Русинова к выводу о возможности появления в осесимметричной оптической системе аберраций второго порядка пришел ЕЯ. ХагсЬапй. Б своей статье [781 он исследовал аберрации второго и третьего порядке плоско выпуклой асФерической линзы, вторая ( асФеричекая) поверхность которой задана уравнением р(х'+у') Я +а (х+у ) 2 меридиональный г и сагиттальный г радиусы кривизны асферической поверхности Р з = — (у'+х') + а (у'+х')'" + В (у'+х')' + +а,(у +х ) + (2. 56) и показано, что в окрестностях вершиьп~ поверхности (2.5б) радиусы г и г можно представить в виде г = г — ба,г,~у~ + О()у~ ) „ г = г — За,г,'~у~ + О()у~*) , где О(~у~ ) — величины второго и более высоких порядков малости относительно ~у~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
