Диссертация (1025659), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

z k n1 (2.33)55O LkHkH k 1Φk 1,k,H k n1Φk n1,k n2 Φk 1,k  v k     v*v k   k 1    ...      v k n1   Hk n1Φk n1,k n2. Hk n1Γk n2 w k n2  v k n1 vkHk 1Γk w k  v k 1Φk 2,k 1Γk w k Матрица O Lk является матрицей наблюдаемости. Нестационарная система (2.30) и (2.31) наблюдаема в интервале tk , tk n1  , если ранг матрицы O Lk равен порядку системы n , т.е. rank O Lk   n [83].Следовательно, выразим из уравнения объекта вектор состояния вначальном подтакте измерения:xk  O†Lk zk  O†Lk vk ,(2.34)1где O†Lk = OTLk O Lk  OTLk ‒ псевдообратная матрица O Lk [81].В соответствии с уравнением (2.34) введем обозначениеy k  O†Lk zk .(2.35)Предполагаем, что вычислить степени наблюдаемости компонент векторасостояния системы, учитывая только одно измерение.

Значит, сначала при одном измерении вычисляем степени наблюдаемости переменных системы, потомпри других.Например, в случае когда Hk  1 00 , запишем уравнения (2.35) вскалярном видеyki  1,i k zk   2,i k zk 1 где yki ‒ i -й элемент вектора y k ;  ij ,k ( j  1,  ni ,k zk n1,(2.36), n) ‒ это i -я строка матрицы O†Lk .Для остальных компонент вектора состояния уравнения измерений формулируются в соответствии с уравнением (2.36).56Для произвольной компоненты вектора состояния запишем вектор приведенного измерительного шума ςk  O†Lk vk , в соответствии с уравнением (2.36), вскалярном виде k*i  1,i k vk   2,i k vk1   ni ,k vkn1,(2.37)где  k*i ‒ i -й элемент вектора ς *k .Дисперсия приведенного к i -ой компоненте измерительного шума  k*iможет быть определяться коэффициентами  ij ,k ( j  1,*iRLk 1,i k    2,i k  22, n) , т.е.2  ni ,k   Rk0 ,(2.38)где Rk0 ‒ дисперсия исходного измерительного шума vk .Учитывая, что мера ‒ категория, выражающая диалектическое единствокачественных и количественных характеристик объекта [70,104], судить о меренаблюдаемости можно по двум характеристикам: точности оценивания и времени сходимости.Критерий, по которому определяется степень наблюдаемости, имеет вид[69]2E  xki   Rk0iDoLk ,i 2  *iE  yk  RLk(2.39)2где E  xki   ‒ дисперсия произвольной i -ой компоненты вектора состояния;2E  yki   ‒ дисперсия непосредственно измеряемого вектора состояния.Окончательно, получим модифицированный критерий степени наблюдаемости для нестационарных систем вида2E  xki  iDoLk.n2i 2iE  y k    j , k  j 1(2.40)57В критерии степени наблюдаемости (2.40) мерой наблюдаемости являетсяскаляр.

Эта особенность выгодно отличает этот критерий от известных, так какпозволяет проводить сравнение степеней наблюдаемости компонент различныхвекторов состояния. В отличие от известных критериев численный критерийудобен в практическом применении.Степени наблюдаемости погрешностей инерциальных навигационных систем.Погрешности автономной ИНС с течением времени функционированиямогут достигать неприемлемых величин, поэтому их необходимо компенсировать [4,38]. Представлен способ коррекции автономной ИНС с использованиемалгоритма оценивания [30].Одной из качественных характеристик при оценивании переменных состояния является степень наблюдаемости. Численный критерий степенинаблюдаемости компонент вектора состояния, определяющий степень наблюдаемости в виде скаляра, позволяет сравнивать степени наблюдаемости различных векторов состояния.

Численный критерий удобен в практическом применении и использован для исследования погрешностей ИНС.Рассмотрим степень наблюдаемости ошибок ИНС. Помимо различия вовременных интервалах, необходимых для удовлетворительного оцениванияошибок ИНС, различны и относительные погрешности оценивания по отношению к оцениваемому номиналу. В связи с этим встает вопрос о степени наблюдаемости различных ошибок ИНС.Уравнения ошибок ИНС имеют вид (1.10), а уравнение непосредственного измерения – вид (2.31) и Hk  1 0 0 .

В этом случае, матрица наблюдаемости O Lk имеет вид [70,73]581O Lk  1 g T21  k 1R0 0 .2 g k 1T 0 g kT g kT  g k 1T(2.41)Следовательно, получим11O†Lk  O Lk1  g kT 112R g kT01g kT112g kTg k 1T 20 0 .1 g k 1T 2 (2.42)Поэтому, в соответствии с уравнением (2.35), для непосредственного измерения компонент вектора состояния уравнения имеют следующий видz ( Vk )  zk ,z (Фk ) z ( k )  11zk zk 1 ,g kTg kT(2.43)11111z  zk z z zk  2 .2 k2 k 12 k 1g kTRg kTg k 1Tg k 1T 2В соответствии с выражением (2.38), определим дисперсию приведенногок углу отклонения гиростабилизированной платформы относительно сопровождающего трехгранника измерительного шума:2RLk2Rk0 ,2gT(2.44)2kгде Rk0 – дисперсия ошибки в измерении скорости, которая подлежит непосредственному измерению с помощью внешней информации.Следовательно, определим степень наблюдаемости угла отклонения гиростабилизированной платформы относительно сопровождающего трехгранника:Do 2Lkg k2T 2  E Фˆ k2 2  E  Vk2 .(2.45)59Определим дисперсию приведенного к скорости дрейфа ГСП относительно сопровождающего трехгранника измерительного шума: 22221 3RLk 2 4  2 4  2  Rk0 .42g k 1Tg k g k 1Tg k RTR  gk T(2.46)Степень наблюдаемости скорости дрейфа ГСП определяется аналогично:Do 3LkE ˆk2  22221  E  Vk2  2 424422 g k 1Tg k g k 1Tg k RTR  gk T.(2.47)Метод выбора коэффициентов позволяет повысить степень наблюдаемости оцениваемых переменных вектора состояния, а также выбрать оптимальныехарактеристики систем.Известный способ повышения точности наблюдения заключается в выборе модели с меньшими элементами матрица O†Lk , т.е.

с большими степеняминаблюдаемости (уменьшение шума приводит к повышению качества наблюдения). В соответствии с выражениями (2.45) и (2.47), повышение степенинаблюдаемости с помощью критерия (2.40) осуществляется путем, например,увеличения периода дискретизации T .Предложенный способ повышения точности оценивания ошибок ИНСпредполагает уменьшение коэффициентов при формировании приведенных измерений в уравнении (2.44) и (2.46).2.3. Разработка критерия степени идентифицируемости параметровмодели нестационарных системКритерии степени идентифицируемости (2.25) предполагают анализ объектов, описываемых стационарными уравнениями вида (2.7) и (2.8).

Однако часто встречаются случаи, когда уравнения объекта имеют явно выраженный нестационарный характер. Для определения степеней идентифицируемости параметров модель динамических нестационарных систем критерии необходимомодифицировать [71].60Пусть уравнение объекта описывается в следующем дискретном видеxk  Φk ,k 1xk 1  Γk 1w k 1,(2.48)где x k – вектор состояния; w k 1 – вектор входного возмущения; Φk ,k1 – матрицаобъекта; Γk 1 – матрица входа.Уравнение измерений имеет видz k  H k xk  v k ,(2.49)где z k – вектор измерений; v k – вектор ошибок измерения; H k – матрица измерений.В этом случае, вектор состояния x k n можно выразить через его значениев начальный момент времени x k следующим образом:xk n = Φk n1Φk xk + Φk n1Φk 1Γk wk  Γk n1wk n1.(2.50)Подставив выражение для x k n в уравнение измерений z k n , получимz k n = H k nΦk n1Φk xk + H k nΦk n1Φk 1Γk w k H k n Γk n1w k n1  v k n .(2.51)Подставив в это уравнение выражение x k , получимz k n = H k nΦk n1Φk O†k zk  H k nΦk n1Φk O†k vk H k n Γk n1w k n1  v k n ,где zk z *z k   k 1  , ...

z k n1 O†LkHkH k 1Φ k‒ псевдообратная матрица O k   H k  n1Φ k  n2,Φk (2.52)61*vk   H k n1Φk n2. H k n1Γ k n2 w k n2  v k n1 vkH k 1Γ k w k  v k 1Φk 1Γ k w k Введем обозначения1,k2,kn,k   Hk nΦk n1 Φk O†k ,v 0k   1,k w k   2,k w k 1 1,k v k  2,k v k 1  H k nΦk n1(2.53)  n,k w k n1 n,k v k n1  v k nΦk O†k vk (2.54) H k n Γk n1w k n1  v k n .Тогда постановка задачи сводится к определению неизвестных нестационарных элементов вектора-столбца 1,k2,kTn,k  по вновь сформиро-ванным измерениям, т.е.1,k  f1,k  zk , , zk 2 n1   vk00 ,2,k  f 2,k  zk , , zk 2 n1   vk001 ,(2.55)n,k  f n ,k  zk , , zk 2 n1   vk00n1 ,где f1,k  zk , , zk 2 n1    zk  f 2,k  zk , , zk 2 n1     zk 1   f n,k  zk , , zk 2 n1    zk n1 vk00   zk 00   vk 1    zk 1  00  vk n1   zk  n1zk 1zk  2zk  n1zk n1   zk n zk n   zk n1  ,  zk  2 n2   zk  2 n1 zk 1zk  2zk  n1zk  n1   vk0 zk n   vk01 .  zk  2 n2  vk0n1 Поэтому критерий степень идентифицируемости параметров модель динамических нестационарных систем имеет вид [68, 71]622E  i ,k   Rk0 ,Diki  2E  zi ,k   Rˆ ki(2.56)где2E  i ,k   ‒ дисперсия произвольной i -ой компоненты вектора параметров  ;2E  zi ,k   ‒ дисперсия непосредственно измеряемого вектора состояния;Rk0 – дисперсия исходного измерительного шума;Rˆki  rˆki ‒ дисперсия приведенного измерительного шума, полученная спомощью адаптивного модификации фильтра Калмана.Таким образом, формализованная зависимость (2.56) используется дляопределения степени идентифицируемости параметров матрицы Φk ,k1 .Дисперсия исходного измерительного шума определяется из практических соображений в соответствие с режимом работы измерительной системыили принимается значение из паспорта измерительного прибора.Определенные сложности возникают при вычислении приведенного измерительного шума.

Однако при использовании скалярного адаптивного алгоритма оценивания дисперсия приведенного измерительного шума вычисляетсяна каждом шаге функционирования алгоритма.Качество идентификации или эффективности идентификации определяется максимально достижимой точностью идентификации и необходимым временем достижения заданной точности идентификации.Разработанные численные критерии степени идентифицируемости имеютясный физический смысл, отличаются простотой, универсальностью, и позволяют вычислять качество идентификации параметров в виде скаляра.

Критерийотличается простотой и удобен в практических приложениях.Интуитивно ясно, что имеется связь [68,69,71] между степенью наблюдаемости и степенью идентифицируемости, но для получения формализованных63зависимостей в явном виде требуются дополнительные исследования. Систематизация результатов подобных исследований существенно дополнят теориюкачественного анализа систем [18,71,78].2.4. Качественные оценки наблюдаемости нелинейных системИзвестные критерии степени наблюдаемости переменных состояния рассмотрены в линейной постановке задачи [69,104].

Для определения степенинаблюдаемости конкретных переменных состояния нелинейных систем необходимо разработать новый численный критерий степени наблюдаемости.Критерии наблюдаемости нелинейных систем.Пусть нелинейная модель погрешностей инерциальной навигационнойсистемы описывается векторным дифференциальным уравнением:dx (t )  f (t , x )  g (t , x ) w(t ), x(t0 )  x0 ,dtz (t )  h(t , x )  v (t ).(2.57)f , g : T  x  R , h : T  x  R ,nm(t , x )  f (t , x ), g (t , x ), h(t , x ).здесь T − интервал [t0 , t1 ] ; x(t )  Ω x , где Ω x − область (открытое связанноемножество) R n , содержащая начало; x  R n − состояние системы; x0  Ω x ;w  R n − входное возмущение; z  R m , m  n − измерение системы; v  R m − из-мерительное возмущение; матрицы f (t, x), g (t, x), h(t, x) действительны и непрерывны.Представим систему (2.57) в эквивалентном виде: модель имеет структурулинейных дифференциальных уравнений с параметрами, которые зависят отсостояния.

Характеристики

Список файлов диссертации