Диссертация (1025659), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Эти критерии дают только относительную оценку качественных характеристик компонент конкретного вектора состояния исследуемой системы и не позволяют проводить сравнение компонент векторов состояния различных систем.Поэтому они неудобны для использования при сравнении качества наблюдения вобщем случае.42Обычно в практических приложениях необходимо знать возможность эффективного наблюдения каждой конкретной компонентой вектора состояния. Дляэтого введено понятие меры или степени наблюдаемости [37,102] каждой конкретной переменной состояния.

При проведении параметрической идентификациитакже целесообразно знать качественные характеристики этого процесса, которыеопределяются степенью идентифицируемости каждого исследуемого параметраматрицы модели [31].Вопрос о том, что «не только наблюдаемы, а как наблюдаемы», т.е. степеньнаблюдаемости, впервые рассмотрен Р.Г. Брауном в 1966 году [82]. После этогобыло предложено несколько критериев степени наблюдаемости.

Х.Л. Аблин определил критерий степени наблюдаемости с помощью взаимного значения ошибокоценивания переменных вектора состояния и ошибок наблюдения (измерения)[79]. Ф.М. Хамм и Р.Г. Браун доказали, что собственные числа и собственные векторы ковариационной матрицы ошибок оценивания могут предоставить полезнуюинформацию о наблюдаемости системы [89]. Критерии определения качества процесса управления были предложены Н.Т. Кузовковым [24,25] и Фам Суан Фангом[57], а критерий меры наблюдаемости разработали Н.А. Парусников и В.М. Морозов [38]. Эти критерии отличаются сложными предварительными вычислениями.Простой критерий степени наблюдаемости, предложенный О.С.

Салычевым,предполагает анализ приведенного измерительного шума [52]. С точки зренияточности оценивания степень наблюдаемости исследовали В.Н. Афанасьев и К.А.Неусыпин [39,46], которые определяли соотношением дисперсии произвольнойкомпоненты вектора состояния и дисперсии непосредственно измеряемого векторасостояния, а также с учетом дисперсии шума, приведенного к исследуемой компоненте вектора состояния (аналогично определялась степень идентифицируемостипараметров матрицы модели динамического объекта [31]). Все упомянутые критерии степени наблюдаемости и степени идентифицируемости разработаны для линейных стационарных систем.43Критерии наблюдаемости и идентифицируемости.Наблюдаемости и идентифицируемости играют важную роль при синтезесистем управления динамическими объектами, оценивании состояния и идентификации их параметров.Понятие наблюдаемости и управляемости дуальны [15], т.е.

если системаполностью наблюдаема, то построенная для этой системы сопряженная системабудет полностью управляема. Справедливо и обратное утверждение. Следовательно, для определения наблюдаемости можно построить сопряженную систему, которую затем исследовать ее с помощью какого-либо критерия управляемости, что существенно расширяет методологический аппарат для исследования этих характеристик.Заметим, что критерий полной управляемости не связан как-либо сустойчивостью системы.

Поэтому неустойчивая система может быть полностью управляемой и наоборот. Полная управляемость означает стабилизируемость системы, т.е. возможность путем присоединения регулятора создать замкнутую систему с желаемым распределением собственных значений.Одним из популярных критериев является критерий Калмана [94], который отличается простотой и широко используется в практических приложениях.Пусть объект описывается уравнениями вида:x(t )  Ax(t )  Bu(t )  Gw(t ),(2.1)z(t )  Hx(t )  v(t ),(2.2)где x ‒ n -вектор состояния; u ‒ l -вектор управления; w ‒ r -вектор возмущения; z ‒ m -вектор измерений; v ‒ m -вектор измерительный шум; A ‒  n  n  матрица системы; B ‒  n  l  -матрица управления; G ‒  n  r  -матрица входного возмущения; H ‒  m  n  -матрица измерений.Система (2.1) и (2.2) называется полностью наблюдаемой на интервалевремени t0 , t1  , если вектор состояния x0  x  t0  можно определить по известному вектору измерений z(t ) .44Проверку наблюдаемости и управляемости можно осуществить, воспользовавшись критерием полной наблюдаемости и управляемости Калмана.Система (2.1) и (2.2) является полностью наблюдаемой, если ранг матрицы наблюдаемости O равен порядку системы n , т.е.

если измерения z(t ) содержат достаточную информацию для определения x  t0  .Матрица наблюдаемости O имеет вид [23,24,85] H  HA .On1  HA (2.3)В случае, если ранг матрицы наблюдаемости меньше порядка системы, топо измерениям z(t ) можно оценить лишь часть вектора состояния x(t ) .Соответственно, матрица управляемости C имеет вид [15]C  B ABABn1  .(2.4)Критерий Калмана гласит, что система является полностью управляемой,если ранг матрицы управляемости равен порядку системы n .Известны различные критерии определения степени идентифицируемости или условия определимости [77].

Критерий, предложенный Н.А. Балониным [11], позволяет определить принципиальную возможность осуществленияпроцедуры идентификации.Линейная система называется полностью идентифицируемой по векторусостояния, если при заданном векторе начальных условиях x0  x  t0  матрицапараметров A может быть однозначно восстановлена за конечный отрезок времени идентификации по одной временной последовательности x  x(t ) .Иначе, пара  A, x 0  полностью идентифицируема или идентифицируемавполне, когда множество пар  A, x 0  , объединенных общностью интегральнойкривой x  x(t ) , вырождается в точку A .

В противном случае пара неидентифицируема.45Необходимое и достаточное условие полной идентифицируемости пары A, x0  имеет видrank  U0   rank x0 , Ax0 , A2x0 ,..., A n1x0   n,(2.5)где U 0 – матрица идентифицируемости.Данный критерий предполагает определение фундаментальной возможности идентификации параметров динамической системы. Известен критерий,предложенный А.В. Балакришнаным [10], основанный на конкретном критерииидентифицируемости.Анализируется линейная модель сигнала с известной и наблюдаемой дисперсией. Исследован процесс оценивания матрицы B по наблюдаемым последовательно данным, а не по всей выборке, при известном векторе управления uи предположении, что матрица A устойчива.Для получения оценки безусловного максимума правдоподобия нужноиспользовать все имеющиеся данные, и, кроме того, дополнительная трудностьсостоит в необходимости оценивания начального состояния.

При построенииоценки, которая является последовательной или «текущей», и не использует какую-либо оценку состояния необходимо предположить, что выполнено «условие определимости», которое накладывает ограничение на входную последовательность, то есть при выполнении условия определимости (и устойчивостиматрицы A ) ковариационная матрица погрешностиTˆ BBˆ   0 при n   .E BB(2.6)Вычисление критерия идентифицируемости по данной методике предполагает сложные математические вычисления, поэтому в практическом применении применять его затруднительно.Другой известный критерий идентифицируемости предложен С.А. Айвазяным [2].

Исследуется система одновременных уравнений в структурнойформе, определяющих связь между экзогенными и эндогенными переменными.На практике часто применяется критерий идентифицируемости в алгебраиче-46ской форме, полученный на основе метода матричных делителей нуля. Представленные критерии идентифицируемости не позволяют проводить сравнениекачества идентификации параметров различных моделей и не всегда удобны вприменении на практике.Таким образом, все упомянутые критерии определения степеней наблюдаемости и идентифицируемости неудобны для использования при сравнениикачественных характеристик в общем случае.Критерии степени наблюдаемости и идентифицируемости.В [37,38] представлен критерий степени наблюдаемости, который позволяет выделить слабонаблюдаемые компоненты вектора состояния и сформировать эффективно оцениваемый вектор состояния.

Другой известный критерий[89], позволяющий определить качество оценивания переменных состояния,предполагает проведение предварительных преобразований, включающих триэтапа: вычисление ковариационной матрицы ошибок оценивания; нормализация ковариационной матрицы ошибок оценивания; вычисление собственныхчисел нормализованной ковариационной матрицы ошибок оценивания. Критерий степени наблюдаемости формулируется следующим образом: чем меньшесобственное число, тем лучше наблюдаема компонента вектора состояния.Представленные критерии чрезвычайно неудобны в практическом применении,так как требуют проведение большого объема предварительных вычислений.В различных практических приложениях нашел широкое применениекритерий степени наблюдаемости, позволяющий определять степень наблюдаемости в виде скалярной величины [52,70].

Рассмотрим этот критерий подробнее.При исследовании наблюдаемости объект описывается уравнением дискретного вида [46,52]xk  Φxk 1  Γw k 1,(2.7)где x k ‒ n -вектор состояния; w k 1 ‒ r -вектор входного шума, который являет-47ся дискретным аналогом белого гауссовского шума с нулевым математическиможиданием; Φ ‒  n  n  -матрица системы; Γ ‒  n  r  -входная матрица.Часть вектора состояния измеряется:z k  Hxk  v k ,(2.8)где z k ‒ m -вектор измерений; H ‒  m  n  -матрица измерений; v k ‒ m -векторизмерительного шума, который является дискретным аналогом белого гауссовского шума с нулевым математическим ожиданием, причем v j и w k некоррелированы между собой, т.е. E  v j wTk   0 при любых j и k .Используем скалярный подход [52]: не теряя общности постановки задачи, предположим, что измеряется одна компонента вектора состояния, т.е.H  1 00 .Разобьем каждый шаг измерений на n подтактов и выразим эти измерения через вектор состояния на первом подтакте измерений:z1  Hx1  v1 ,z 2  HΦx1  HΓw1  v 2 ,z n  HΦ n1x1  HΦ n2 Γw1 (2.9) HΓw n1  v n .В матричной формеz  Ox1  v ,(2.10)v1 v1   z1  H   z  HΦ HΓw1  v 2v2**2., v где z    , O   ...

  z  HΦn1 n2 n v n   HΦ Γw1   HΓw n1  v n Выразим из уравнения объекта вектор состояния в первом подтакте измерения:x1  O1z  O1v.(2.11)Введем обозначение y  O1z и запишем уравнения в скалярном видеyi  1z1   2 z2   n zn ,(2.12)48где y i ‒ i -й элемент вектора y , i  i  1,, n  ‒ i -я строка матрицы O1 .Для остальных компонент вектора состояния уравнения измерений формулируются в соответствии с уравнением (2.12).Введем понятие приведенного измерительного шума. Для произвольнойкомпоненты вектора состояния приведенный измерительный шум, в соответствии с уравнением (2.12), имеет вид i  1v1   2v2   nvn .(2.13)Дисперсия приведенного к i -ой компоненте измерительного шума определяется коэффициентами i  i  1,, n  , т.е.2Ri  E  i    12   22   n2  R0 ,(2.14)где R0  E v 2  ‒ дисперсия исходного измерительного шума v .Численный критерий степени наблюдаемости.

Характеристики

Список файлов диссертации