Диссертация (1025634), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Исследовать схемы алгоритмическойкомпенсации погрешностейИНС ЛА в различных режимах функционирования внешнего источникаинформации СНС.2. Разработать алгоритм оценивания в схеме коррекции ИНС в условияханомальных измерений.3. Разработать критерий оценки эффективности алгоритмов обработкинавигационной информации КОИ в полете.4. РазработатьалгоритмыкомпенсациипогрешностейИНСвавтономном режиме для случаев пропадания сигналов СНС на интервалахразличной длительности.39Выводы по главе 1РассмотреныпогрешностиИНС,модельпогрешностейИНС.Исследованы алгоритмы функционирования СНС и факторы, обуславливающиевозникновенияпогрешностейСНС.Представленысхемыкоррекциинавигационных систем.
Сформулирована постановка задачи диссертационногоисследования.40ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ КОРРЕКЦИИ НАВИГАЦИОННОЙИНФОРМАЦИИ В ВЫХОДНОМ СИГНАЛЕ СИСТЕМ2.1. Алгоритмы оцениванияОптимальный фильтр Калмана.Прежде чем рассмотреть построение оптимального фильтра Калмананапомним постановку и решение задачи оптимальной фильтрации Н.Винера[36].Многомерная система определяется как система с l – входами и n –выходами, которые связаны посредством матричной импульсной переходнойфункции (МИПФ)– l-мерный вектор входа фильтра, ̂.
Пустьn-мерный вектор выхода. Тогда связь между векторами̂–иопределяется интегралом:̂∫(2.1)̂Пусть–действительныйслучайныйпроцессматематическим ожиданием и корреляционной функциейнорму производной квадратной матрицыснулевым. Обозначимчерез ‖ ‖ и определим ееследующим образом:‖ ‖√(2.2)Пусть на вход многомерного фильтра поступает искаженный сигнал каксумма полезного сигналаи помехи, т.е.(2.3)гдефункциямии– l-мерные векторы с известными корреляционнымииИдеальный выход.некоторой системы, который определяетжелаемый выход и связан с полезным сигналом следующим соотношением:∫где– МИПФ идеальной системы.(2.4)41Рассмотрим вектор ошибок оценивания или невязку̂(2.5)Необходимо выбрать такую физическую реализуемую МИПФ,чтобы математическое ожидание квадрата нормы ошибок было минимальным{‖где=0 для‖ }(2.6), а норма имеет вид ‖ ‖.В зависимости от того, какая задача стоит: прогнозирования, фильтрацииили сглаживания, определяется МИПФ идеальной системы.
В задачефильтрации, т.е.. При такой постановкезадачи минимум среднеквадратичной ошибки определяется МИПФ,получаемой из обобщенного уравнения Винера-Хопфа для многомерныхсистем:∫(2.7)Известно, что если на вход системы поступает случайный сигнал Y(t),являющийся стационарным случайным процессом, оптимальную матричнуюпередаточною функциюмногомерного фильтра можно получитьфакторизацией рациональной матрицы спектральных плотностей [4].Приведем постановку задачи фильтрации по Колмогорову-Винеру.Заданы взаимно не коррелированные случайные процессы в видефункций временииc корреляционными функциямиспектральные плотностии,и,,– стационарные,эргодические, центрированные случайные функции.Необходимо определить импульсную переходную функцию (ИФП)фильтра, оптимальным образом выделяющего реализацию случайного процессав виде некоторого сигналааддитивная смесьв условиях, когда на его вход поступает.Критерием оптимальности является минимум среднеквадратическогоотклонения, т.е.[]̅̅̅̅ = min(2.8)42∫при(2.9), т.к., причем RYY(τ) – корреляционнаяфункция сигнала, определяется по формуле:(2.10)где– взаимная корреляционная функция сигнала на входеполезного входного сигналаи.Применяя преобразования Фурье получим:|где|(2.11)– оптимальная переходная функция,– оптимальная импульсная переходная функция.∫ВслучаеженестационарногоинтегральногоуравненияМодификацияпостановкислучайногопредставляетзадачипроцессасущественныемногомернойрешениетрудности.фильтрацииВинерасформулирована Калманом в терминах пространства состояния.
В результатерешения задачи в новой постановке получен фильтр Калмана. Оптимальныйфильтр Калмана осуществляет процедуру рекурсивного оценивания, когдаподлежащий оцениванию сигнал является выходным сигналом линейнойнестационарной динамической системы.Входной случайный процесс фильтраявляется зашумленнымвыходом формирующего фильтра, описываемого следующим уравнением:(2.12)где– случайный вектор начальных условий,–гауссовский белый шум со статистическими характеристиками:{где–}(2.13)положительноопределеннаясимметричнаяматрицаинтенсивности.
Отсюда{}Дисперсия начального состояния вектора X(t) известна:(2.14)43̅{̅} ̅{}Уравнением выхода или измерений имеет вид:(2.15)где– Гауссовский белый шум с характеристиками:{Сигналы}и, а такжеи– некоррелированны.Предполагаем по-прежнему, что шум моделии измерительный шумявляются некоррелированными белыми гауссовыми. Решение задачиоптимальнойфильтрациисреднеквадратичнойснесмещеннойошибкойполучаетсяоценкойпутемиминимальнойвыбораматрицыкоэффициентов.(2.16)Уравнение модели оптимального фильтра имеет вид:̂] ̂[(2.17)с начальным условием:̂а̅– решение матричного уравнения Риккати:(2.18)с начальным условием:44Рис.
2.1. Фильтр КалманаРассмотримдискретноелинейноеуравнение,описывающеединамический объект, например, изменение погрешностей ИНС.(2.19)где– n-вектор состояния;– (n × n)-матрица объекта;– r-вектор входного возмущения;– (n × r)-матрица входа.Входные возмущения предполагаются r-мерным дискретным аналогомгауссового белого шума с нулевым математическим ожиданием и известнойковариационной матрицей:[где](2.20)– неотрицательно определенная матрица размерности (r × r);символ Кронекера, означающий–{Часть вектора состояния измеряется:(2.21)Здесь– m-вектор измерений;– m-вектор ошибок измерения;– (m × n)-матрица измерений. Ошибки измерений предполагаются m-45мерным дискретным аналогом гауссового белого шума, для которого0,[[]=]где:– неотрицательно определенная матрица размерности (m × m).Ошибки измерения (иначе измерительный шум) и входные возмущения(иначе входной шум) некоррелированны:[при любых j и k.]Начальное значение вектора состояния полагаем гауссовым случайнымвектором с нулевым математическим ожиданием, независящим от входныхвозмущений ошибок измерений:Ковариационная[]матрица[;[для любого k.]представляет]собойнеотрицательно определенную матрицу размерности (n × n).На основе математического ожидания объекта и априорной информациио статистических характеристиках входных и измерительных шумов и,осуществляя измерения части вектора состояния, требуется оценить векторсостояния так, чтобы функционал принимал минимальное значение.[̂̂] min(2.22)Здесь ̂ – оценка вектора состояния.Оптимальная оценка вектора состояния определяется следующимобразом:̂где:̂(2.23)– (n × m) - матрица усиления фильтра,̂ – обновляемая последовательность.Это уравнение имеет следующий физический смысл.
На основе оценкивектора состояния и матрицы объекта производится прогноз для следующегошага вычисления оценки. Одновременно производится коррекция этогопрогнозапосредствомиспользованияобновляемойпоследовательности.Обновляемая последовательность представляет собой сумму ошибки прогнозаи измерительного шума.46Матрицаусиленияфильтраопределяетвес,скоторымвходитобновляемая последовательность в оценку вектора состояния. В случаепроведения идеальных измерений, т.е.
когда измерительный шум отсутствует,матрица усиления выбирается максимальной. Чем больше измерительный шум,тем с меньшим весом учитывается обновляемая последовательность приформировании оценки вектора состояния.Фильтр Калмана имеет вид:̂̂(2.24)[Здесь⁄⁄]– априорная ковариационная матрица ошибок оценивания;– апостериорная ковариационная матрица ошибок оценивания.
Припомощи фильтра Калмана осуществляется не только восстановление всеговектора состояния системы, но и подавляется влияние измерительного шума.Начальными условиями на каждом новом цикле алгоритма служат оценкасостояния системы и величина, характеризующая ее погрешность. В случаескалярной переменной такой характеристикой является дисперсия, которая тембольше, чем сильнее разброс индивидуальных значений относительноистинного.
Распространенная оценка дисперсии – среднеквадратическоеотклонение, то есть квадрат стандартного отклонения, – выражает степеньразброса величины относительно среднего. Обобщением дисперсии длявектора, то есть совокупности скалярных величин, служит ковариационнаяматрица. Ее диагональные элементы являются дисперсиями соответствующихсоставляющих вектора, а недиагональные – ковариациями, характеризующимивзаимосвязь между парой составляющих. Совокупность измерений, отнесенныхк каждому из моментов времени, обобщает вектор измерений.
Алгоритмпоследовательно обрабатывает вновь поступающие измерения, учитывая приэтом значения, вычисленные на предшествующем цикле. Эта особенность47отличает алгоритм фильтра Калмана от нерекуррентных алгоритмов, которымдля работы требуется хранить весь массив обрабатываемых данных. Наследующем шаге с помощью обрабатываемых на данном цикле измеренийуточняются начальные условия. Для этого алгоритм вычисляет вес поправок кним на основе ковариационных матриц оценки состояния и измерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
