Лекции УМФ (ММФ) 2008 (1024196)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УРАВНЕНИЯМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИКубраков Николай ФедоровичКафедра «Моделирование радиофизических процессов» (ИОФ РАН,Теоретический отдел). Зав. Кафедрой - Лубашевский Игорь АлексеевичПримеры задач математической физикиI. Колебания струныYF  f ( x, t ) lT( x   x )u ( x, t )T( x )0xl Xlxx  x1. Струна – бесконечно тонкая упругая нить длиной l .Колебания происходят в вертикальной плоскости.m const , l  0.2. Однородность: линейная плотность струны  l3. Струна абсолютно гибкая (не сопротивляется изгибу).  силанатяжения T направлена по касательной.x x4. Колебания малые: l xкак-бы не1  (u / x) 2 dx  xСтруна.растягивается.  | T |  T0  const(Закон Гука).5. Действует внешняя сила, которая направлена вверх. f ( x, t ) - линейнаяплотность силы (известная функция).Продольные колебания?Постановка смешанной задачи овынужденных колебанияхограниченной струныu ( x, t )0l xu2  u( x, t )  a( x, t )  g ( x, t ),22tx22u ( x,0)  u0 ( x),u( x,0)  u1 ( x),tu (0, t )  u (l , t )  0aT0Одномерное волновое уравнениедля вынужденных поперечныхколебаний струны (уравнение вчастных производных второгопорядка, неоднородное)Начальные условия (отклонение и скорость точки струны сu0 ( x), u1 (- xизвестные)координатой x [0, lприt ).0]функции определяющие каким образом струнавозбуждается.Граничные условия, g ( x, t ) f ( x, t ), [ a ]  м / с, [ g ]  м / с 2II.

Колебания мембраны1. Мембрана – бесконечноu ( x, y , t )тонкая пленка равномернонатянутая на плоскийконтур .В состоянии покоя онаXYпредставляетсобой областьвSy плоскости декартовой системыкоординат. 2. Мембранаоднородна: поверхностнаяплотностьmx const , S  0.F  p ( x, y, t )SS3. Мембрана абсолютно гибкая(не сопротивляется изгибу).M4. Колебания малые: нормаль к поверхности почти ортогональна плоскости.Линейная плотность силы натяжения T  const.5.

Внешняя сила направлена вверх. p( x, y, t )- давление (известная функция).u ( x, y , t )Постановка смешанной задачи овынужденных колебаниях мембраныxyF  p ( x, y, t )SДвумерное волновое уравнение описывающеевынужденные поперечные колебаниямембраны (уравнение в частных производныхвторого порядка, неоднородное)22u u2  u a  2  2   g ( x, y, t ), ( x, y )  S2ty  x2Начальные условия (отклонение и скорость точки мембраны с координатой ( x, y )при t  0). u0 ( x, y), u1 ( x, y- )известные функции возбуждения.u ( x, y,0)  u0 ( x, y ),Граничные условияu( x, y,0)  u1 ( x, y ), ( x, y )  Stu ( x, y, t )  0, ( x, y )  aT, g ( x, y , t ) p ( x, y , t ),[T ]  н / м, [a]  м / с, [ g ]  м / с2E ( x, t )X3xIII.

Электромагнитное поле в вакуумеУравнения Максвелла (в СИ)H (x, t )X1EHrotH   0, rotE   0,ttdivE  0, divH  0.X2x  ( x1 , x2 , x3 )2EEE2rotH   0 2 ,  rotrotE   0 2 , divE   E   0 0 20tttt2 221 0  8.85 1012 Ф / м, 0  4 107 Гн / м - оператор222x1 x2 x3 Лапласа222E2 2сE2tc2 3 10 м / с - скорость света 0 0в вакууме8Трехмерное волновое уравнениеE  exp(i t )   E  k E  0212Уравнение Гельмгольца(появляется в задачах дифракции).k   / c – волновое число.IV. Изменение температуры твердого телаSX3GX1X2Если некоторые области тела находятся при разнойтемперетуре в начальный момент времени, то современем температура становится одинаковой.

Чтобыопределить как меняется температура u (x, t ) в точке ,необходимыпредположения: (1) Тело однородное иxGизотропное, (2) Внутри него нет источников тепла, (3)Распределение температуры в начаьлный моментвремени известно, (4) Темперетура на поверхностиопределена.Уравнение теплопроводностиu2 2(x, t )  a  u (x, t ), x  Gta 2Начальное условиеu (x,0)   ( x), x  GГраничное условиеu (x, t )   ( x, t ), x  Sk - коэффиент температуропроводностиck - коэф. теплопроводностиc - теплоемкость - плотность телаV. Квантовая частица в потенциалином полеSX3GX1X2Частица массы m находятся в области G , котораяограничена гладкой поверхностью S .Потенциал поля V (x)  , x  (наS частицу действуетбесконечно большая сила, отталкивающая ее от ).

ВSобластипотенциал– некая гладкая функцияGкоординаты x .Состояние частицы описывается волновой функцией  .(x, t )Уравнение Шредингера 2i(x, t )    (x, t )  V ( x) ( x, t ), x  Gt2m34  1.054 10 Дж  с2Начальное условие (x,0)   0 ( x), x  GГраничное условие (x, t )  0, x  S- постоянная ПланкаVI. Экранирование поля статического зарядаSX3Точечный заряд Q находится вне бесконечно тонкойпроводящей поверхности S , которая являетсяграницей области G .

Каким будет потенциал u ( x) инапряженность электрического поля E(x) вне G ?GX1x QX20Внешяя задача ДирихлеУравнение Лапласа u (x)  0, x   \ G, x  x 023Граничное условиеu (x)  u0  const , x  SКлассификацияуравнений второго порядкаu (1 ,..., n ) удовлетворяет каноническому уравнению2uuu Ck 2  F  1 ,...,  n , u ,,...,  0,1 n  kk 1n()Ck  1,  1, 0, k  1,..., n (n  4)Уравнениеназывается уравнением()(a) Эллиптического типа, если все коэф-ты Ck одинаковы (1 или –1)(b) Гиперболического типа, если n  1 коэф-тов равны 1 и один –1.(c) Параболического типа, если один из коэф-тов равен нулю, аостальные равны 1.Приведение к каноническому виду осуществляется путем замены переменныхПримерыu2  ua g ( x, t ) 22tx22u u 2  F (1 , 2 )  0,21  22n  2, x  a1 , t   2u2 2(x, t )  a  u (x, t ), tуравнение колебаний струныгиперболического типа u u02 4k 1  k32n  4, xk  a k , k  1, 2,3, t   4u2 u ( x)  0   2  0k 1  k32n  3, xk   k , k  1, 2,32уравнениетеплопроводностипараболического типауравнение Лапласаэллиптического типаКлассификацияуравнений второго порядкаu (1 ,..., n ) удовлетворяет каноническому уравнению2uuu Ck 2  F  1 ,...,  n , u ,,...,  0,1 n  kk 1n()Ck  1,  1, 0, k  1,..., n (n  4)Уравнениеназывается уравнением()(a) Эллиптического типа, если все коэф-ты Ck одинаковы (1 или –1)(b) Гиперболического типа, если n  1 коэф-тов равны 1 и один –1.(c) Параболического типа, если один из коэф-тов равен нулю, аостальные равны 1.Приведение к каноническому виду осуществляется путем замены переменныхПримерыu2  ua g ( x, t ) 22tx22n  2, x  a1 , t   2u2 2( x, t )  a  u ( x, t ), tu u 2  F (1 , 2 )  0,21  22уравнение колебаний струныгиперболического типа u u02 4k 1  k32n  4, xk  a k , k  1, 2,3, t   4u2 u( x)  0   2  0k 1  k32n  3, xk   k , k  1, 2,32уравнениетеплопроводностипараболического типауравнение Лапласаэллиптического типаМетод Фурье (метод разделения переменных)Решение смешанной задачи для однородноговолнового уравненияX3u2 2(x,t)a u ( x , t ),2tu ( x ,0)  u0 ( x ),u( x ,0)  u1 ( x ),tu ( x , t )  0, x  S .2nSxGX1X2u ( x, t )  T (t ) X ( x ), T (t ) X ( x )  a 2T (t ) 2 X ( x ),2T (t )  X ( x )– константа разделения  ,2X ( x)a T (t )T (t )  a T (t )  0,2x GЗадача Штурма – Лиувилля (Sturm – Liouville) 2 X ( x )   X ( x )  0, x  G()X ( x )  0, x  SJacques Charles François Sturm1803 - 1855Joseph Liouville1809-1882Те значения  (1 , 2 , ...), при которых решение задачи (*)является нетривиальным, назавыются собственнымизначениями, а соответствующии им функции X1 ( x), X 2 ( x), -...собственными функциями.Свойства собственных значений и собственных функций1.

Существует бесконечное число собственных значений1 , 2 , ..., k ,...Каждому собственному значению k соответствует собственнаяфункция X k ( x ) - решение задачи (*).2. Собственные функции ортогональны в области G :Xk( x ) X m ( x )dx  0, k  m.G3. Собственные значения положительны:k  0 k  1, 2, ...4. (Теорема Стеклова) Любая функция f ( x )  C 2 (G, )удовлетворяющаяоднородным граничным условиям может быть разложена в абсолютнои равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциямf ( x )   f k X k ( x ),k 1f k   f ( x ) X k ( x )dx  0.GДоказательство свойства 2.Вторая формулы Гринаv  u22(vuuv)dxvuGS  n n  dS x . 2 X k ( x )  k X k ( x )  0, x  G  2 X m ( x )  m X m ( x )  0, x  GX(x)0,xSX m ( x )  0, x  Skv( x ), u ( x )  C 2 (G ) 22(XXX m k k X m )dx  (k  m )  X k X m dx  0GGX kX m XXS  m n k n  dS x  0  X k ( x ) X m ( x ) dx  0u ( x )  X m ( x ), v( x )  X k ( x ),k  mGСобственные функции удобно нормировать так, чтобы выполнялосьусловиеXk( x ) X m ( x )dx   km ,  kmG1, k  m0, k  m- символ КронекераДоказательство свойства 3.Первая формулы Гринаv( x ), u ( x )  C 2 (G ) 2v udx   vG 2 X k ( x )  k X k ( x )  0, x  GX k ( x )  0, x  S Xku ( x )  v( x )  X k ( x ),S X k ( x ) dxGXG2k( x )dx X k  X k dx  k  X k dx  02G2GX kdS x   (X k , X k )dx  k  X k2 dx  0nGG2 k SudS x   (v, u )dx.nG0Уравнение для функцииT (t )Tk(t )  a k Tk (t )  0, (k  1, 2, ...)Уравнение гармоническогоосциллятораTk (t )  Ak cos k t  Bk sin k tОбщее решение2k  a kЧастота колебанийРешение смешанной задачи представляется в виде ряда Фурье(суперпозиция нормальных мод)k 1k 1u ( x, t )   Tk (t ) X k ( x )   ( Ak cos k t  Bk sin k t ) X k ( x )ТеоремаСтекловаиAk находятсяиз начальных условий.Bku0 ( x )   Ak X k ( x ) k 1Ak   u0 ( x ) X k ( x ) dx,Gu1 ( x )   k Bk X k ( x )  Bk k 11k u ( x) X1Gk( x ) dx.u0 ( x )   Ak X k ( x ),k 1u0 ( x ) X m ( x )   Ak X k ( x )X m ( x ),k 1 u ( x) X0GXk( x )dx   Ak  X k ( x ) X m ( x )dx ,k 1G( x ) X m ( x )dx   km ,GAk 1mkkm A11m  A2 2 m  ...

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций