Лекции УМФ (ММФ) 2008 (1024196), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

u ( x)  C ( D).Каждый из интегралов в (***) –непрерывная по x функция.u2.  ( x)dS  0.nS  2u ( x)  0, x  D, u n ( x)  f ( x), x  S .Следует из (*) или (**) при v( x)  1- задача Неймана, разрешима только при условии f ( x)dSSx 0 – отсутствие источниковполя в D.3. Теорема о среднем.x  D, U a  шар радиуса a с центров в точке x, U a  D. 1 u12S (** *)  u ( x) ( y )  a u ( y )  dS y , ay4nnySa aUa xD1u ( x) u ( y )dS y .2 4 a Sa4.

Принцип максимума.Если u ( x)  const - гармоническая функция в ограниченнойобласти D и непрерывна в D, то она не может приниматьсвои минимальные и максимальные значения внутриобласти D :min u ( x)  u ( x)  max u ( x).xSxS 1u 1S  R ( x, y) ny ( y)  u ( y) ny R ( x, y)  dS y 4 u ( x), x  D, 2 u ( x), x  S ,0,x  D.SnyxDСвойства гармонических функций1. u ( x)  C ( D).Каждый из интегралов в (***) –непрерывная по x функция.u2.

 ( x)dS  0.nS  2u ( x)  0, x  D, u n ( x)  f ( x), x  S .Следует из (*) или (**) при v( x)  1- задача Неймана, разрешима только при условии f ( x)dSSx 0 – отсутствие источниковполя в D.3. Теорема о среднем.x  D, U a  шар радиуса a с центром в точке x, U a  D. 1 u12S (** *)  u ( x) ( y )  a u ( y )  dS y , ay4nnySa aUa xD1u ( x) u ( y )dS y .2 4 a Sa4. Принцип максимума.Если u ( x)  const - гармоническая функция в ограниченнойобласти D и непрерывна в D, то она не может приниматьсвои минимальные и максимальные значения внутриобласти D :min u ( x)  u ( x)  max u ( x).xSxSФункция Грина внутренней задачи Дирихле1 1R ( x, y )  v( x, y ) - функция Грина4v( x, y )  функция гармоническая по x в D и непрерывная по x в D,y  D, x  S , G ( x, y )  0  граничное условиеx  D,Sxy  D, G ( x, y ) yDnСвойства функции Грина1.

G ( x, y )  гармоническая D \{ y},непрерывная в D \{ y},G ( x, y )  0, x  S ,G ( x, y )  , x  y,1 12. 0  G ( x, y ) R ( x, y ) , (следствие принципа максимума),41 1v ( x, y )  R ( x, y ), x  S ,43. (Физический смысл) G ( x, y )  потенциал (с точностьюдо множителя) поля точечного заряда (в точке y  D ) внутризаземленой замкнутой проводящей поверхности S .2 x G ( x, y )   ( x  y )  G ( x, y )  отклик на точечныйисточник (G  "функция источника").Sn1 1QG ( x, y ) R ( x, y )  v ( x, y )4xy потенциал поля точечногоDзаряда + потенциал поля индуцированногозаряда на S .4. (Свойство симметрии) G ( x, y )  G ( y, x)  принципвзаимности.5. v( x, y )  функция гармоническая по y и имеетvнормальную производную( x, y ) на S .nyРешение внутренней задачи Дирихле1  1u 1(***)  u ( x) ( y)  u( y)R ( x, y )  dS y , R ( x, y )4 S nynySn1222  12yR ( x, y )  (( y1  x1 )  ( y2  x2 )  ( y3  x3 ) ) ,x R ( x, y )x  D, y  S .Du(**)  0    v( x, y )( y)  u( y)v( x, y )  dS xnynySuu ( x )    G ( x, y )( y)  u( y)G ( x, y )  dS y ,nynySG ( x, y )  G ( y, x)  0, y  S2 u ( x)  0, x  D u ( x )    u0 ( y )G ( x, y )dS yn yu ( x)  u0 ( x), x  SS- решение задачи1 1 v( x, y )  0, x  D, v( x, y )  R ( x, y ), x  S42x- специальное граничноеусловиеПостроение функций Грина1.

D  шар радиуса aSy  точка симметричная точке yотносительно S :2aR ( x, y )yi  yi 2, i  1, 2, 3R (0, y )Dy0R ( x, y )x22aa222 122R(0, y )  ( y  y  y )  2( y1  y2  y3 ) .R(0, y )R (0, y )2122231R (0, y )a.aR (0, y )SD0yaxxSy1 R 1 ( x, y )   R 1 ( x, y  ) G ( x, y ) 4   const  ???11x  S  R ( x, y )   R ( x, y )R (0, y )a  0 xy   0 xyaR (0, y )R ( x, y  )aR(0, y ) 11 R ( x, y ) R ( x, y ), x  S ,R( x, y ) R(0, y )a  aR 1 (0, y ).1 R 1 ( x, y )  aR 1 (0, y ) R 1 ( x, y  )  , x  D, y  DG ( x, y ) 4 - функция Грина для шараВ сферических координатахx1   cos sin , x2   sin  sin , x3   cos ,y1  r cos  sin  , y2  r sin  sin  , y3  r cos .R ( x, y )  (( y1  x1 )  ( y2  x2 )  ( y3  x3 ) )  ( r  2r   ) 2 ,2221222  cos cos  sin  sin cos(   ),222R(0, y )  r , R( x, y )  (( y1  x1 )  ( y2  x2 )  ( y3  x3 ) ) 11  a2  a2  a2    y1 2  x1    y2 2  x1    y3 2  x1   rrr122 2ar2R( x, y )   a  2r  2  .ra G ( x, y )  G ( , , ; r , ,  )  12221 21r  22  2 r  2r    a  2r  2  4 a  222221Решение внутренней задачи Дирихле для шараR (0, x)  a 3G ( x, y ) R ( x, y ),ny4 a22y  S, a 22 32G(r  2r   ) .r r a04 a22a  R (0, x)3u ( x) u(y)R( x, y ) dS y04 aS222- интеграл Пуассона(решение внутреннейзадачи Дирихле для шара)32 21    u ( , , ) 1  2   d  u0 ( , ) 1    2  sin  d ,4  a  0aa 0  cos cos  sin  sin cos(   ).- интеграл Пуассона в22сферических координатахa2 32 1, (1   )(1  2    )2  (2k  1)  Pk (  )kk 02 (2k1)   d  u0 ( ,  ) Pk (cos cos a 0k 00 sin  sin cos(   ))sin  d ,1u ( , , ) 4kPk (cos cos  sin  sin cos(   ))  Pk (cos ) Pk (cos ) k(k  m)! mmn02P(cos)PX3kk (cos )cos m(   )m1 ( k  m)!n- теорема сложения для полиномов ЛежандраX1X2u0 ( , )  u0 ( )  u ( , , )  u ( , )X3u0  constaX2X1u0 ,   (0,  / 2)u0 ( )   0,   ( / 2, )u0  1 ( 12)kku ( , )  1   (1) (4k  3)2  2 k 0(2) kX3  a2 k 1P2 k 1 (cos ) u0  constu0 ( )  u0 ,   (0, )aX2X1Примеры u ( , )  u0     k 0  u0k 0  a k2.

D  полупространство x3  0X3Дополнительное условие:xDG ( x, y )  0, R (0, x)  .yy  точка симметричнаяотносительно плоскости S .0XS n2y1 222  12G ( x, y ) (( y1  x1 )  ( y2  x2 )  ( y3  x3 ) ) 4222  12(( y1  x1 )  ( y2  x2 )  ( y3  x3 ) ) G ( x, y )  G ( x, y ), y  S G ( x, y ) n yy3n yx3x3 3222 32(( y1  x1 )  ( y2  x2 )  x3 )  R ( x, y ).22x33u ( x) u(y)R( x, y )dS y - решение внутренней задачи02 SДирихле для полупространстваx3222 32dy1  u0 ( y1 , y2 )(( y1  x1 )  ( y2  x2 )  x3 ) dy22  3. D  полушарX3Dxy1 R 1 ( x, y )  aR 1 (0, y ) R 1 ( x, y  ) G ( x, y ) 4 111R(x,y)aR(0,y)R(x,y) Xy0yR(0, y )  R(0, y ),2 y4.

D  четверть пространстваy y X3xDy y X21 R 1 ( x, y )  R 1 ( x, y ) G ( x, y ) 4 11 R ( x, y)  R ( x, y) .

Характеристики

Список файлов лекций