Лекции УМФ (ММФ) 2008 (1024196), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

 Am1 m1,m  Am mm  Am1 m1,m  ...  Am ,Am   u0 ( x ) X m ( x )dx GAk   u0 ( x ) X k ( x )dxGПостановка смешанной задачи для однородноговолнового уравненияX3SxGX1u2 2(x,t)a u ( x , t ),2tu ( x ,0)  u0 ( x ),u( x ,0)  u1 ( x ),tu ( x , t )  0, x  S .2nX2x GРешение методом Фурьеu ( x, t )   ( Ak cos k t  Bk sin k t ) X k ( x )k 1 2 X k ( x )  k X k ( x )  0, x  GX k ( x )  0, x  SXkGk  a k , Ak   u0 ( x ) X k ( x )dx, Bk G( x ) X m ( x )dx   km ,1k u ( x) X1Gk( x )dxСвободные колебания (конечной) струны22T0uu2( x, t )  a( x, t ), a ,22txu ( x,0)  u0 ( x),u( x,0)  u1 ( x),l x tu (0, t )  u (l , t )  0.u ( x, t )0Решение задачи методом Фурье (методом разделения переменных)u ( x, t )  T (t ) X ( x),T (t )X ( x)  ,2a T (t ) X ( x)T (t )  a T (t )  02 X ( x)   X ( x)  0, x  (0, l ) X (0)  X (l )  0Задача Штурма-ЛиувилляРешение задачи Штурма-Лиувилля(1)   0  X ( x) |  | X ( x)  0, X ( x)  C1eX (0)  0  C1  C2  0, C2  C1 ,| | l|| x C2eСуществует только тривиальное решение,4 || lX (l )  0  C1 (e  e)  0,2C1sh |  | l  0  C1  C2  0, X ( x)  0. || xshx200x12(2)   0  X ( x)  0, X ( x)  C1 x  C2 ,X (0)  0  C2  0,X (l )  0  C1l  0,  C1  C2  0, X ( x)  0.Снова тривиальное решение(3)   0  X ( x)   X ( x)  0, X ( x)  C1eX (0)  0  C1  C2  0, C2  C1 ,i lX (l )  0  C1 (e2iC1sin  l  0 ei  li x)  0,k l   k , k  1, 2,...Нетривиальное решение C2 ei  x,1sinx 2010510x15 X k( x)  k X k ( x)  0, x  (0, l )Задача Штурма-Лиувилля X k (0)  X k (l )  02k kxk     0, X k ( x)  Ck sin, k  1, 2,...l l Каждому собственному значению соответствуеттолько одна собственная функцияlXk( x) X m ( x)dx  0, k  m0lXl2k( x)dx  1, C2k00k k    , l 2lX0k sin2Свойство ортогональности kx2dx  1  Ck .ll2  kxX k ( x) sin, k  1, 2,...ll( x) X m ( x)dx   km .Решение задачи Штурма-ЛиувилляTk(t )  a k Tk (t )  0,2Tk (t )  Ak cos  k t  Bk sin  k t , k T0 k  a k .lk 1k 1Уравнение гармоническогоосциллятора, общее решениеуравнения и частота колебанийкак функция параметров струныu ( x, t )   Tk (t ) X k ( x)   ( Ak cos  k t  Bk sin  k t ) X k ( x)ТеоремаСтекловаОстается найти коэффициенты ряда Фурье из начальных условий исвойства ортогональности собственных функций:lAk   u0 ( x) X k ( x)dx, Bk 01kl u ( x) X10k( x)dx.Постановка задачи о свободных колебаниях конечной струны22T0uu2( x, t )  a( x, t ), a ,22txu ( x,0)  u0 ( x),u( x,0)  u1 ( x),l x tu (0, t )  u (l , t )  0.u ( x, t )0Формальное решение задачи методом Фурьеk 1k 1u ( x, t )   uk ( x, t )   ( Ak cos  k t  Bk sin  k t ) X k ( x), k T0k ,l2  kxsin,  X k ( x) X m ( x)dx   km ,ll0ll1Ak   u0 ( x) X k ( x )dx, Bk  u1 ( x) X k ( x)dx.0lX k ( x) k0Физический смысл решенияМалое поперечное колебание струны (описывается функцией u ( x, t ))представляет собой суперпозицию стоячих волн u1 ( x, t ), u2 ( x, t ), ...Пространственная структура стоячей волны uk ( x, t )характеризуетсясобственной функцией задачи Штурма-Лиувилля X k ( x), а ее временноеизменение происходит по гармоническому закону с частотой  k .

Спектрколебаний конечной струны – дискретный.Примерыu1 ( x)  0  Bk  0Струна возбуждается тольконачальным отколнениемk 1k 1u ( x, t )   uk ( x, t )   Ak X k ( x) cos  k t2xu1 ( x, t )  A1sincos 1tll0, lузлы0lxпучность T01 l Частота основного тонаl/2u2 ( x, t )  A222 xsincos  2tllузлы0l0, l / 2, lxпучности 2  21l / 4, 3l / 4u3 ( x, t )  A323 xsincos 3tllузлыl00, l / 3, 2l / 3, lxпучности3  31 2 , определяюттембр звука3 , ...l / 6, l / 2, 5l / 6Решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравненияX3u2 2(x,t)a u ( x, t )  g ( x, t ), x  G2tu ( x ,0)  u0 ( x ),Схема решения, котораяиспользовалась в влучаеu( x ,0)  u1 ( x ),однородно уравнения,t«не работает»u ( x , t )  0, x  S .2nSxGX1X2Согласно теореме Стеклова, решение надо искать в виде рядаu ( x, t )   Tm (t ) X m ( x ),m1X m ( x)Tm (t )  ???– собственные функции задачи Штурма – Лиувилля дляоднородного волнового уравнения (предполагаютсяизвестными)– функции времени (коэффицентыряда Фурье) должны быть найденыu22X(x)(x,t)dxaX(x)u ( x , t ) dx   X k ( x ) g ( x , t ) dx ,G k t 2G kG2 22T(t)X(x)X(x)dxaT(t)X(x)X m ( x ) dx kmmk2  mt m1m1GG2  X k ( x ) g ( x, t )dx,GXk( x ) X m ( x )dx   km ,G 2 X m ( x )  m X m ( x )  0, x  G2X m ( x )   m X m ( x ), X m ( x )  0, x  STk(t )  a k Tk (t )  f k (t ),2f k (t )   g ( x, t ) X k ( x)dx,Gуравнение вынужденных колебанийгармонического осциллятораu0 ( x )   Tm (0) X m ( x )  Tk (0)   u0 ( x ) X k ( x ) dx,m1Gm1Gu1 ( x )   Tm (t ) X m ( x ),  Tk(0)   u1 ( x ) X k ( x ) dx.Уравнение и начальные условия для определения функцийвремени (методом вариации произвольных постоянных)f k (t )   g ( x, t ) X k ( x ) dx,Tk(t )   k Tk (t )  f k (t ),  k  a k ,2Tk (0)  ak ,Gak   u 0 ( x ) X k ( x ) d x ,GTk(0)  bk ,bk   u1 ( x ) X k ( x ) dx.GTk (t )  ak cos  k t bkksin  k t 1ktfk( )sin  k (t   )d0Решение этой задачиПостановка смешанной задачи для неоднородного волнового уравненияX3u2 2(x,t)a u ( x, t )  g ( x, t ),2tu ( x ,0)  u0 ( x ),u( x ,0)  u1 ( x ),tu ( x , t )  0, x  S .2nSxGX2X1x GРешениеbk1u ( x , t )    ak cos  k t  sin  k t kkk 1  k  a k ,t0f k ( )sin  k (t   ) d  X k ( x ),f k (t )   g ( x, t ) X k ( x )dx,Gak   u0 ( x ) X k ( x )dx, bk   u1 ( x ) X k ( x )dx.GGЭффект резонансаu0 ( x )  0, u1 ( x )  0  ak  0, bk  0,g ( x , t )  CX m ( x )sin  t f k (t )  C km sin  t , sin  k t   k sin  t,220 sin  sin  k (t   )d   k sin  mt   m sin  tu ( x, t )  CX m ( x ).22 m (   m )t  m sin  mt   mt cos  mtu ( x, t )  CX m ( x )  , t  .22 mПод действием периодического внешнего воздействия с частотой  ,приближающейся к одной из собственных частот m, амплитудаколебаний неограниченно возрастает при t   - эффект резонанса.Решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравненияX3u2 2(x,t)a u ( x, t )  g ( x, t ), x  G2tu ( x ,0)  u0 ( x ),Схема решения, котораяиспользовалась в влучаеu( x ,0)  u1 ( x ),однородно уравнения,t«не работает»u ( x , t )  0, x  S .2nSxGX1X2Согласно теореме Стеклова, решение надо искать в виде рядаu ( x, t )   Tm (t ) X m ( x ),m1X m ( x)Tm (t )  ???– собственные функции задачи Штурма – Лиувилля дляоднородного волнового уравнения (предполагаютсяизвестными)– функции времени (коэффицентыряда Фурье) должны быть найденыu22X(x)(x,t)dxaX(x)u ( x , t ) dx   X k ( x ) g ( x , t ) dx ,G k t 2G kG2 22T(t)X(x)X(x)dxaT(t)X(x)X m ( x ) dx kmmk2  mt m1m1GG2  X k ( x ) g ( x, t )dx,GXk( x ) X m ( x )dx   km ,G 2 X m ( x )  m X m ( x )  0, x  G2X m ( x )   m X m ( x ), X m ( x )  0, x  STk(t )  a k Tk (t )  f k (t ),2f k (t )   g ( x, t ) X k ( x)dx,Gуравнение вынужденных колебанийгармонического осциллятораu0 ( x )   Tm (0) X m ( x )  Tk (0)   u0 ( x ) X k ( x ) dx,m1Gm1Gu1 ( x )   Tm (t ) X m ( x ),  Tk(0)   u1 ( x ) X k ( x ) dx.Уравнение и начальные условия для определения функцийвремени (методом вариации произвольных постоянных)f k (t )   g ( x, t ) X k ( x ) dx,Tk(t )   k Tk (t )  f k (t ),  k  a k ,2Tk (0)  ak ,Gak   u 0 ( x ) X k ( x ) d x ,GTk(0)  bk ,bk   u1 ( x ) X k ( x ) dx.GTk (t )  ak cos  k t bkksin  k t 1ktfk( )sin  k (t   )d0Решение этой задачиПостановка смешанной задачи для неоднородного волнового уравненияX3u2 2(x,t)a u ( x, t )  g ( x, t ),2tu ( x ,0)  u0 ( x ),u( x ,0)  u1 ( x ),tu ( x , t )  0, x  S .2nSxGX2X1x GРешениеbk1u ( x , t )    ak cos  k t  sin  k t kkk 1  k  a k ,t0f k ( )sin  k (t   ) d  X k ( x ),f k (t )   g ( x, t ) X k ( x )dx,Gak   u0 ( x ) X k ( x )dx, bk   u1 ( x ) X k ( x )dx.GGЭффект резонансаu0 ( x )  0, u1 ( x )  0  ak  0, bk  0,g ( x , t )  CX m ( x )sin  t f k (t )  C km sin  t , sin  k t   k sin  t,220 sin  sin  k (t   )d   k sin  mt   m sin  tu ( x, t )  CX m ( x ).22 m (   m )t  m sin  mt   mt cos  mtu ( x, t )  CX m ( x )  , t  .22 mПод действием периодического внешнего воздействия с частотой  ,приближающейся к одной из собственных частот m, амплитудаколебаний неограниченно возрастает при t   - эффект резонанса.Вынужденные колебания струныu ( x, t )F (t )  F0 sin  t0Решение задачиu ( x, t )   Tk (t ) X k ( x),k 12 2uu2( x, t )  a( x, t )  g (t ),22txu ( x,0)  0,u( x,0)  0,tl x u (0, t )  u (l , t )  0,T0F0a, g (t )  g 0 sin  t , g 0 – разложение в ряд Фурье по собственнымфункциям задачи Штурма – Лиувилля2  kxk X k ( x) sin, k   ,ll l 2 X k( x)  k X k ( x)  0, x  (0, l ) X k (0)  X k (l )  0lX0k( x) X m ( x) dx   kmУравнение и начальные условия для определения функций времени k T0Tk(t )   T (t )  f k (t ),  k  a k ,l2k kf k (t )  g (t )  X k ( x)dx,Tk (0)  0, Tk(0)  0.ll0 X k ( x)dx   kt0t21  (1) k  ,lglf k ( )sin  k (t   ) d  0k sin  sin  k (t   )d 0lg 0lf k (t ) kt021  ( 1) k  sin  tl21  ( 1) k   sin  sin  k (t   ) d ,l0 sin  k t   k sin  t,22  k2k  sin  k t   k sin  tTk (t )  g 0 a1  (1) l k2 ( 2   k2 )2 g 0 a kk  sin  k t   k sin  tu ( x, t ) (1  (1) )sinx222l k 1 k (   k )l4 g 0 a   sin  2 k 1t   2 k 1 sin  t2k  1 u ( x, y ) sin x,222l k 0 2 k 1 (   2 k 1 )la 2 k 1  (2k  1)lВ случае резонанса sin  2 m1t   2 m1 sin  t sin  2 m1t   2 m1t cos  2 m1tlim22    2 m12 2 m12 m 14 g 0 a    sin  2 k 1t   2 k 1 sin  t2k  1u ( x, y ) sinx 222l  k 0, k m 2 k 1 (   2 k 1 )lsin  2 m1t   2 m1t cos  2 m1t2m  1 sin x32 2 k 1lСвободные колебания прямоугольной мембраныМембрана возбуждаетсяударом молоточка, которыйсообщает ей импульс I вточке ( x0 , y0.)yl2y00Ix0l1 x222uuu2 a  2  2  , x  (0, l1 ), y  (0, l2 ),2ty  xu ( x, y,0)  u0 ( x, y )  0,uI( x, y,0)   ( x  x0 ) ( y  y0 ),tu ( x,0, t )  u ( x, l2 , t )  0,u (0, y, t )  u (l1 , y, t )  0Происхождение второго начального условияuII    dx  ( x, y,0)dy  u1 ( x, y )   ( x  x0 ) ( y  y0 )t00b f ( x0 ), x0  (a, b) (x  x0 ) a f ( x) (x  x0 )dx   0, x0  (a, b)дельта-функция Диракаl1l2Решение задачи методом Фурьеu ( x, y, t )  T (t )V ( x, y ),T (t )1   2V 2V 2 ( x, y )  2 ( x, y )    2a T (t ) V ( x, y )  xyT (t )  a T (t )  022  2VV 2 ( x, y )  2 ( x, y )  V ( x, y )  0,y xV (0, y )  V (l1 , y )  0,V ( x,0)  V ( x, l2 )  0задача Штурма-ЛиувилляX ( x) Y ( y )V ( x, y )  X ( x)Y ( y )   ,X ( x) Y ( y )X ( x)Y ( y )  ,  ,     X ( x)Y ( y) X ( x)   X ( x)  0, x  (0, l1 ) X (0)  X (l1 )  0Y ( y )  Y ( y )  0,Y (0)  Y (l2 )  02k 2  kx k    , X k ( x) sin, k  1, 2,...l1l1 l1 2m 2  mym  sin, m  1, 2,... , Ym ( y ) l2l2 l2 km   k   m ,Vkm ( x, y )  X k ( x)Ym ( y )l1Xky  (0, l2 )( x) X k ( x) dx   kk0l2Ym0( y )Ym ( y ) dy   mm (t )  a kmTkm (t )  0,Tkm2Уравнение гармоническогоосциллятора, общее решениеуравнения и частота колебаний какфункция параметров мембраныTkm (t )  Akm cos  kmt  Bkm sin  kmt ,2 km  a kmk  ma     l1   l2  2u ( x, y, t )   Tkm (t )Vkm ( x, y ) k 1 m1 (Ak ,m1kmTk ,m1km(t ) X k ( x)Ym ( y ) cos  kmt  Bkm sin  kmt ) X k ( x)Ym ( y )ТеоремаСтекловаКоэффициенты ряда Фурье из начальных условий и свойстваортогональности собственных функций:l1l200Akm   X k ( x)dx  u0 ( x, y )Ym ( y )dy  0,Bkm 1 kml1X kmk( x)dx  u1 ( x, y )Ym ( y )dy 00l1Il2Xl2k( x) ( x  x0 )dx  Ym ( y ) ( y  y0 )dy 00I kmX k ( x0 )Ym ( y0 )Формальное решение задачи методом Фурьеu ( x, y , t ) uk ,m 14I l1l2km1k ,m 1km( x, y , t ) Bkmk ,m 1sin kx0l12 km  a kmsinX k ( x)Ym ( y )sin  kmt  my0l2k  ma     l1   l2 2sin kxl1sin myl2sin  kmt ,Физический смысл решенияМалое поперечное колебание мембраны (описывается функциейu ( x, y, t ) )представляет собой суперпозицию стоячих волнu11 ( x, t ), u12 ( x, t ), ..., u21 ( x, t ), u22 ( x, t ), ...Пространственная структура стоячей волны ukm ( x, y, t )характеризуетсясобственной функцией задачи Штурма-Лиувилля Vkm ( x, y,) а еевременное изменение происходит по гармоническому закону с частотой kmСпектр колебаний – дискретный.Примеры стоячих волн для квадратной мембраныl1  l1  l  u ( x, y, t ) uk ,m 1km( x, y , t )  kx0 my04 I  1 kx  my 2 sinsinsinsinsin  kmt ,llll l k ,m1  kma 22 km k ml x0 y04Ix yu11 ( x, y, t )  2 sinsinsinsinsin 11t ,llll l 1111 2 al- частота основноготонаu11 ( x, y, t )yxG1пучностьузловые линииG14Iu12 ( x, y, t )  u21 ( x, y, t )  2 l 122 y0x2 y  x0sin l sin l sin l sin l 2 x0 y02 x y sinsinsinsinsin 12t ,llll u12  u21x0  0.1ly0  0.1lF5 a12   21 lxузловые линииFu12 ( x, y, t )  u21 ( x, y, t )F1x0  0.3l , y0  0.1lF1x0  0.1l , y0  0.5lF1x0  0.5l , y0  0.1lОдной частоте(собственному значению)соответствуют дверазные моды колебаний –случай вырожденияF1x0  0.3l , y0  0.9lF1x0  0.1l , y0  0.9l2 x02 y04I2 x2 yu22 ( x, y, t )  2sinsinsinsinsin  22t ,llll l  222 2 a 22 lu22 ( x, y )yxGGФункции Бесселя222x y  xy  ( x  ) y  0,   const ,- уравнение БесселяРешение ищется в виде степенного рядаy ( x)   a k x kk 0 (   k )(   k  1)ak xk 0Friedrich Wilhelm Bessel1784 - 1846, a0  0. k  (   k ) ak x kk 022  [(   k )(   k  1)    k   ]ak xk 22 kk 0[  (   1)     ]a0 x  [(   1)     1   ]a1 x2 ( x   )  ak x2 k 1  ak  2 xk 2 k 0, 0,(    )a0 x  ((   1)   )a1 x2222 1 [((   k )   )ak  ak 2 ]x22 k0k 2Коэффициенты при различных степенях x должны быть равны нулю: 2  2  01   ,  2   ,((   1)   ) a1  02 a1  0,2((   k )  )ak  ak 2  022 a2 k 1  0, k  0, 1, 2, ... ak ak 2k (2  k )a0a0 a0, a6  6,a2  2, a4  42 2(  1)(  2)2 2  3(  1)(  2)(  3)2 (  1)(1) a0a2 k  2 k, k  1, 2, ...2 k !(  1)(  2)  (  k )kГамма-функция Эйлера( x)  t e dtx 1  t5- интеграл Эйлера0( x)4(1)  (2)  13210( 1 2 )  x12( x  1)  x( x)34(n  1)  n!(n – целое число)5321012(  k  1)  (  k )(  k  1)  (  1)(  1)(2 x) 22 x 1 ( x ) ( x  1 2 )- формула удвоения аргумента34y ( x)   a k x kk 0, a0  0,    ,a2 k 1  0, k  0, 1, ...(1) a0a2 k  2 k, k  1, 2, ...2 k !(  1)(  2)  (  k )k1(1)a0  , a2 k  2 k .2 (  1)2 (k  1)(  k  1)ky ( x)   a 2 k xk 02 k  J ( x)2 k (1) ( x 2)J ( x)  k 0  ( k  1) ( k    1)k-функция Бесселя первого рода,порядка (частноерешениеуравнения Бесселя)Ряд сходится равномерноВторое частное решение  Если2 k (1) ( x 2)J  ( x)  k 0  ( k  1) ( k    1)kне целое число,y ( x)  C1 J ( x)  C2 J  ( x)число, -целоеnЕслиJ nи( x)- общее решение уравнения Бесселя.J линейнозависимы:n ( x)k  0, 1, ..., n  1  k  n  1  0  ( k  n  1)  2 k k n2 k n(1) ( x 2)( 1) ( x 2)J  n ( x)  k  n  ( k  1) ( k    1)k 0  ( k  n  1) ( k  1)kJ  n ( x)  (1) J n ( x).J n ( x), J  n ( x)nне могут составлять фундаментальную систему решенийJ ( x)cos   J  ( x)Y ( x) sin J ( x), Y ( x)-функция Бесселя второго рода,порядка (или функцияНеймана) N ( x)- линейно независимы и составляют фундаментальнуюсистему решений:y ( x)  C1 J ( x)  C2Y ( x)- общее решение уравнения Бесселя1J 0 ( x)J1 ( x )0.5Y0 ( x)0.5J 7 ( x)00xxY1 ( x )0.50.50510152005Y7 ( x)101520Функции Бесселя полуцелого порядка2 k  12(1) ( x 2), (k  1)(k  3 2 )  2 k 1 (2k  2) 32k 0  ( k  1) ( k  2 )k 2 k 12  (1) x2 2 k 1 (2k  1)!J 1 2 ( x) ,  J 1 2 ( x) sin x x k 0 (2k  1)!x2J 12 ( x)  k2 k  12(1) ( x 2),1k 0  ( k  1) ( k  2 )(k  1)(k  1 2 )  k (k )(k  1 2 ) J  12 ( x)  2k (2k ) 2 k 1k2k(2k  1) 2k 2k2  ( 1) xJ  12 ( x) , x k 0 (2k )!22kJ 12 ( x)0.6Y1 2 ( x )0.4(2k )!2J  12 ( x) cos x, Y12 ( x)   J  12 ( x)x0.20x0.220.4053101520Рекуррентные формулы2 k (1) ( x 2)(k    1)J ( x)  k 0  ( k  1) ( k    1) ( k    1)k2 k 2 k (1) ( x 2)( 1) ( x 2) k (  1)k 0  ( k  1) ( k    2)k 1  ( k  1) ( k    2)k2 k  1kk 12 k   22(  1)  (1) ( x 2)( 1) ( x 2)( k  1)x k 0 (k  1)(k    2) k 0 (k  2)(k    3)k2(  1)J 1 ( x)  J 2 ( x)xJ 1 ( x) 2J ( x)  J 1 ( x)xJ 1 ( x) cos  (  1)  J  1 ( x)sin  (  1) 2 2J(x)J(x)cos(1)J(x)J(x) 1 1xxsin  (  1)2 J ( x) cos   J  ( x)  J 1 ( x) cos  (  1)  J  1 ( x)xsin sin  (  1)2 Y ( x)  Y 1 ( x)xY 1 ( x) 2Y 1 ( x)  Y ( x)  Y 1 ( x)xJ ( x) xПроизводные функций БесселяJ ( x)  J 1 ( x),J ( x)   J ( x)  J 1 ( x)xY( x)  Y ( x)  Y 1 ( x),xY( x)   Y ( x)  Y 1 ( x)xАсимптотическое поведение функций Бесселяx  02 xln ,   01  x  2J ( x)   , Y ( x)  (  1)  2  ( )  x  ,   0   2 x  2  32J ( x) cos  x    O( x ),x2 42  32Y ( x) sin  x    O( x ).x 2 4Ортогональность функций Бесселяx y  xy  ( x   ) y  0  y ( x)  J ( x)2d2 d2 22xJ(x)xJ(x)(x) J ( x)  0,2 dxdx2222 d2 2 2 d x 2 J ( x)  J ( x)    x   J ( x)  0J (  x )dxxdxумножение и вычитание22 2  d dJ ( x ) x dx 2 J (  x)  dx J (  x)    x  x  J (  x)  0d  dd(   ) xJ ( x) J (  x)   x  J ( x) J (  x)  J (  x) J ( x)  dx  dxdx22x  0,   1 l...  0.22(   )  xJ ( x) J (  x)dx  l[  J ( l ) J (  l )   J (  l ) J ( l )]0 lJ ( l ) J (  l )   lJ (  l ) J ( l ),   1220 xJ ( x) J (  x)dx  lштрих означает производнуюпо всему аргументуi ,  j– два различныхположительных корня уравненияJ ( x)1J ( x)  0ji ,  ,ll ixJ0   ll  jx  J   l2345x  dx  0, i  jlii J (  l ) J ( i ) i   ,    ,  xJ  x  J (  x)dx  22l( i / l )   l 01 21 2 22 l  J ( i )   l J 1 ( i ).22J ( i )  J ( i )  J 1 ( i )   J 1 ( i )ix1 2 2 i    j 0 xJ  l x  J  l x  dx  2 l J 1 (i ) ij  1, J ( i )  0, i  1, 2, ...l– свойство ортогональностифункций Бесселя (один извариантов)Разложение функции в ряд Фурье-Бесселя2 kf ( x)   ak J  x  , ak  2 2xf ( x) J l J 1 (  k ) 0 l  lk 1  1, J ( k )  0, x  (0, l ).lx  dx, k   m ak  xJ  x  J x  dx,0 xf ( x) J  l x  dx   l   l k 101 2 1 222...

Характеристики

Список файлов лекций