Лекции УМФ (ММФ) 2008 (1024196), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

 l  ak J 1 ( k ) km  l am J 1 ( m )2 k 12l m  k lОртогональность функций Бесселяx y  xy  ( x   ) y  0  y ( x)  J ( x)2d2 d2 22xJ(x)xJ(x)(x) J ( x)  0,2 dxdx2222 d2 2 2 d x 2 J ( x)  J ( x)    x   J ( x)  0J (  x )dxxdxумножение и вычитание22 2  d dJ ( x ) x dx 2 J (  x)  dx J (  x)    x  x  J (  x)  0d  dd(   ) xJ ( x) J (  x)   x  J ( x) J (  x)  J (  x) J ( x)  dx  dxdx22x  0,   1 l...  0.22(   )  xJ ( x) J (  x)dx  l[  J ( l ) J (  l )   J (  l ) J ( l )]0 lJ ( l ) J (  l )   lJ (  l ) J ( l ),   1220 xJ ( x) J (  x)dx  lштрих означает производнуюпо всему аргументуi ,  j– два различныхположительных корня уравненияJ ( x)1J ( x)  0ji ,  ,ll ixJ0   ll  jx  J   l2345x  dx  0, i  jlii J (  l ) J ( i ) i   ,    ,  xJ  x  J (  x)dx  22l( i / l )   l 01 21 2 22 l  J ( i )   l J 1 ( i ).22J ( i )  J ( i )  J 1 ( i )   J 1 ( i )ix1 2 2 i    j 0 xJ  l x  J  l x  dx  2 l J 1 (i ) ij  1, J ( i )  0, i  1, 2, ...l– свойство ортогональностифункций Бесселя (один извариантов)Разложение функции в ряд Фурье-Бесселя2 kf ( x)   ak J  x  , ak  2 2xf ( x) J l J 1 (  k ) 0 l  lk 1  1, J ( k )  0, x  (0, l ).lx  dx, k   m ak  xJ  x  J x  dx,0 xf ( x) J  l x  dx   l   l k 101 2 1 222...

 l  ak J 1 ( k ) km  l am J 1 ( m )2 k 12l m  k lСвободные (радиальные) колебания круглой мембраны222uuu2 a  2  2 ,2ty  xu ( x, y,0)  u0 ( x, y ),u( x, y,0)  u1 ( x, y ),tu ( x, y, t )  0, ( x, y )  u ( x, y , t )lyxx  r cos  ,Радиальные колебания – функциязависит от y  r sin  u  u  u 1 u 1  u  u 1 u 2  2 2 222r r r r rx yrr22222u (r , t ) неПостановка задачиu (r , t )lyx22uu 1 u 2a  2 ,2r r t ru (r ,0)  u0 (r ),u(r ,0)  u1 (r ),tu (l , t )  0Решение методом Фурье1u (r , t )  T (t ) R(r ),T (t ) R(r )  a T (t )  R(r )  R(r ) r1 1T (t )2R(r)R(r),T(t)aT (t )  02R(r ) r a T (t )2r 2 R(r )  rR(r )   r 2 R(r )  0,- задача Штурма-ЛиувилляR(l )  0, | R(r ) | - общее решение  0, R(r )  C1 J 0 (  r )  C2Y0 (  r )уравнения Бесселя1Y0 ( x)    C2  0J 0 ( x)R (l )  0  C1 J 0 (  l )  0k l   k , k  1, 2, ...1  2.4048,  2  5.5201,3  8.6537,  4  11.79150.520x10.50Y0 ( x)510 k  kk    , Rk (r )  Ck J 0  l  l215201 2 2 k   m 0 rJ 0  l r  J 0  l r  dr  2 l J1 (k ) kmJ 0 (  k )  0, k  1, 2, ...lr ,– свойство ортогональностифункций Бесселяl rR (r ) Rkm(r )dr   km01 2 22 C l J 1 (  k )  1  Ck 2lJ1 ( k )2k kRk (r ) J0 lJ1 (  k )  l2rTk(t )  a k Tk (t )  0,2akTk (t )  Ak cos  k t  Bk sin  k t ,  k  a k lk 1k 1u (r , t )   Tk (t ) Rk (r )   ( Ak cos  k t  Bk sin  k t ) Rk (r )u0 (r )   Ak Rk (r ) k 1lAk   ru0 (r ) Rk (r )dr ,0u1 (r )   k Bk Rk (r )  Bk k 11kl ru (r ) R (r )dr10kk 1k 1u (r , t )   uk (r , t )   ( Ak cos  k t  Bk sin  k t ) Rk (r )- Суперпозиция стоячих волнJ0  klJ1 (  k )  lr  , J 0 (  k )  0, k  1, 2, ...la k  k T00 rRk (r ) Rm (r )dr   km , k  l  l  ,ll1Ak   ru0 (r ) Rk (r )dr , Bk  ru1 (r ) Rk (r )drRk (r ) 02k0uk (r , t )  ( Ak cos  k t  Bk sin  k t ) Rk (r )ПримерКруглая мембрана возбуждается ударом маленького молоточка в центр.

Приэтом сообщается импульс I. Определить нормальные моды колебаний.2lI    d  ru1 (r )dr  u1 (r ) 00u0 (r )  0  Ak  0,l1Bk  ru1 (r ) Rk (r )dr II2 r (r )- дельта-функция ДиракаI 2Rk (0) k 02 k2 k lJ1 (  k ) k J0  r  k T0Il u ( r , t )   uk ( r , t ) sin  k t ,  k 2 2l  l k 1  k J1 (  k )k 1 k J0  r Il uk ( r , t ) sin  k t22 l  k J1 (  k ) 1 J0  r I l  sin  tu1 (r , t ) 1 l 2 1 J12 ( 1 )1J 0 ( x)0.5пучность100.51 01lx51015201  2.4048T0- частота основного тонаузловая линия 2 J0  r I l  sin  tu2 ( r , t ) 2 l 2  2 J12 (  2 )1J 0 ( x)0.5200.505x1015201r1 l , r2  l22  5.5201r1  1 l - радиус линии пучностей:2- радиусы узловых линийJ1 ( 1 )  0,  1  3.8317 3 J0  r Il u3 (r , t ) sin  3t22 l  3 J1 ( 3 )1J 0 ( x)0.5300.5053  8.6537x10152012r1  l , r2  l , r3  l - радиусы узловых линий3312r1  l , r2  l - радиусы линий пучностей 2  7.015633Модифицированные функции Бесселя222x y  xy  ( x  ) y  0,   const ,y ( x)  J ( x)222x y  xy  ( x   ) y  0y ( x)  J (ix),222(ix) J(ix)  ixJ (ix )  ((ix )   ) J (ix )  02 k ( x 2)I ( x)  i J (ix )  k 0  ( k  1) ( k    1)Еслине целое число,y ( x)  C1I ( x)  C2 I  ( x)- уравнение Бесселя ифункция Бесселя первогорода (частное решение)- модифицированноеуравнение Бесселя, частноерешение - функция Бесселячисто мнимого аргумента- модифицированная функцияБесселя первого рода, порядка (функция Инфельда)- общее решение модифицированногоуравнения Бесселя.Есличисло, -целоеnI nи( x)зависимы:I линейноn ( x)I  n ( x)  i J  n (ix)  i (1) J n (ix)  i (1) I n ( x)nnn2nn I  n ( x)  I n ( x).K ( x) 2sin I ( x), K ( x) I  ( x)  I ( x)- модифицированная функцияБесселя второго рода, порядка (функция Макдональда)- линейно независимы и составляют фундаментальнуюсистему решений.222x y  xy  ( x   ) y  0,y ( x)  C1I ( x)  C2 K ( x)- общее решение модифицированногоуравнения БесселяАсимптотическое поведение2x0I1 ( x) I 7 ( x)1.51 xI ( x)   ,(  1)  2 K 7 ( x)I 0 ( x)1K 0 ( x)0.5K1 ( x)002x4x  6xln,  02K ( x)  ()x ,  0 2  2 e x11I ( x) 1O(x),K(x)e1O(x)  .2x2 xxМодифицированные функции Бесселя полуцелого порядкаI 12 ( x)  i 12J 1 2 (ix)  i221sin ix  iishxi xx 122 I 12 ( x) sh xx2I  12 ( x)  i J  12 (ix)  i1212cos ixi x22 I  12 ( x) ch xxK 12 ( x) I  ( x)  I ( x)  211222(chx  shx)2 x K 12 ( x) 2xI 12 ( x)1.5I  12 ( x)10.5K 12 ( x)0ex0123x4Рекуррентные формулы2 k ( x 2)(k    1)I ( x)  k 0  ( k  1) ( k    1) ( k    1)2 k 2 k ( x 2)( x 2) k (  1)k 0  ( k  1) ( k    2)k 1  ( k  1) ( k    2)2 k  12 k   22(  1) ( x 2)( x 2)(k  1)x k 0 (k  1)(k    2) k 0 (k  2)(k    3)2(  1)I 1 ( x)  I 2 ( x)xI 1 ( x)  2I ( x)  I 1 ( x)xI 1 ( x)  i 1J 1 (ix )  i 12 2J(ix)J(ix)I ( x)  I 1 ( x) 1 ix x2J ( x)  J 1 ( x)x2I 1 ( x)   I ( x)  I 1 ( x)xK 1 ( x)  I  1 ( x)  I 1 ( x) 2sin  (  1) 22I(x)I(x)I(x)I(x) 1 12sin  xx2 I  ( x)  I ( x)  I  1 ( x)  I 1 ( x) x 2sin 2sin  (  1)2K ( x)  K 1 ( x )xJ 1 ( x) 2J 1 ( x) J ( x)  J 1 ( x)x2Y 1 ( x)  Y ( x)  Y 1 ( x)x2I 1 ( x)   I ( x)  I 1 ( x)x2K 1 ( x) K ( x)  K 1 ( x)xПроизводные функций БесселяJ ( x) xJ ( x)  J 1 ( x)J ( x)   J ( x )  J 1 ( x )xY( x)  Y ( x)  Y 1 ( x),xY( x)   Y ( x)  Y 1 ( x)xI ( x) I ( x)  I 1 ( x)xI ( x)   I ( x)  I 1 ( x)xK ( x)   K ( x)  K 1 ( x )xK ( x) xK ( x)  K 1 ( x )Определить температуру однородного кругового цилиндрического стержня(длина h, радиус a), если его основания поддерживаются при нулевойтемпературе, а боковая поверхность при температуре u0 ( z ).X3u0Уравнение теплопроводностиu2 2(x, t )    u (x, t ), x  GthGzX1ru0u  u0 ( z )Стационарный процессa2u(x,t)u(x)u ( x)  0X2Задача решается в цилиндрических координатахx1  r cos  , x2  r sin  , x3  z1   u  1  u  u u (r , , z )  2r  22r r  r  r z222u (r , , z )  u (r , z )Распределение температурыимеет аксиальную симметриюПостановка задачиX3u0hGzX1ru0 u 1 u  u 2  0, r  [0, a ), z  (0, h)2r r zru (r ,0)  u (r , h)  0,22u  u0 ( z ) u (a, z )  u0 ( z ),a| u (a, z ) | X2- граничные условияРешение задачи методом Фурье  1  u (r , z )  R(r ) Z ( z ),  R  R  Z  RZ   0,r 1 1Z ( z )  R(r )  R(r )  R(r ) r Z ( z)2 Z ( z )   Z ( z )  0k2kk    , Z k ( z ) sinz,Z(0)Z(h)0hh h h- задача Штурма-ЛиувилляZ0k( z ) Z m ( z )dz   km122Rk(r )  Rk (r )  k Rk (r )  0  r Rk(r )  rRk (r )  k r Rk (r )  0r- модифицированное уравнениеБесселя.Rk (r )  Ak I 0 ( k r )  Bk K 0 ( k r ) 0- общее решениеK 0 ( x)  , x  0, | Rk (r ) |   Bk  0,k Rk (r )  Ak I 0 r h k u (r , z )   Rk (r ) Z k ( z )   Ak I 0  r  Z k ( z ) h k 1k 1u ( a , z )  u0 ( z )k  u0 ( z )   Ak I 0 a  Zk ( z) h k 1Коэффициенты определяютсяиз граничного условия набоковой поверхностиk Ak I 0 a   Z k ( z ) Z m ( z )dz ,0 u0 ( z )Z m ( z )dz   h 0k 1k ...

  Ak I 0 a   km , h k 1h1m ...  Am I 0 a  ,  Ak u0 ( z ) Z m ( z )dzk  0 h I0 a h hhk Irh 0 2kkhu (r , z )  sinz  u0 ( )sin  dh k 1   k h 0hI0 a h - формальное решение zu0 ( z )  Az 1   , hkh22 Ahku()sind(1(1))30 0h( k ) 2k  1 Ir08 Ah2k  1 hu (r , z )  3 sinzh k 0 (2k  1)3 I  2k  1 a 0hu (r , z )u (r , z )ah/4h /10a/20r0zz  h/2h0raa  h 1Определить температуру бесконечной однородной пластины (толщиной h) скруговым цилиндрическим отверстием (радиуса a), если плоские поверхностиподдерживаются при нулевой температуре, а цилиндрическая поверхность притемпературе u0 ( z ).k K0 rh2kkh u (r , z )  sinz  u0 ( )sin  dh k 1   k h 0hK0 a h Полиномы Лежандра2  12 (  , x)  (1  2  x   )  (0, 1), x  [1, 1]Pk ( x)  Pk ( x) kk 0- производящая функция дляполиномов Лежандра- полином Лежандра степени k1 Pk ( x) (0, x)  P0 ( x)  1, P1 ( x)  xkk ! k (  ,1)  (1   )    k1k 0 Pk (1)  1Adrien-Marie Legendre1752 - 1833Дифференциальная формула для полиномов Лежандраk1  ( z , x)1 dz - интеграл КошиPk ( x) (0, x),  ( , x) k2 i C z  k ! kIm zk !  ( z , x)( , x) dzkk 12 i C ( z   ).kk !  ( z , x)0(0, x) dzRe z   0 kk 12 i C zC1  ( z , x)Pk ( x) dzk 12 i C z2(  x)2 12(1  2 xz  z )  1  z  z  2Замена 1переменной: 1 12 (  x) z 2(1  z )dz  2  2 2d  2  2 2 d d2 2 1   1 (  1)   1   1dz2d2 2  ( z , x)dz  2 d1  z   1 1 ( z , x)zk 1(  1)dz  kdk 12 (  x)2(  1) Pk ( x)  k 1 dk 12  i L (  x)kIm k- формула Шлефли (Schläfli)L021xdk ! (  1)2(x1)dkk 12 i L (  x)dxk1 Re 2kk1 d2k- формула Родрига (Rodrigues)Pk ( x)  k(x1)k2 k ! dxPk (  x)  (1) Pk ( x)kPk ( 1)  ( 1) Pk (1)  ( 1)kkP2 k 1 (0)   P2 k 1 (0)  P2 k 1 (0)  0P0 ( x)  1, P1 ( x)  xИнтегральное представление полинома Лежандра(  1)Pk ( x)  k 1 dk 12  i L (  x)21Im r01Re r  1 x1Pk ( x) 21Pk ( x) 2z  z ekk  x  1  x 2 ei , d  i 1  x 2 ei d ,Lx20ik arg z(  x)22k 11 x2k 1ei ( k 1), 2  1  2 1  x 2 ei ( x  i 1  x 2 sin  )2 ( x  i 1  x sin  ) d2k0( x  i 1  x sin  ) d , z  x  i 1  x sin  ,2, z  z ekk (x 1 x ) 2  1 2k1ik arg zk2 z , z  ( x  (1  x )sin  ) 2 kzk  1 222Pk ( x)  1, x  [1, 1]1Вычисление(1)P2 k (0) 2P2 k (0)с помощью интегрального представленияk 2 sin  d , I k 2k022 sin  d    sin2k0 (2k  1)  cos  sin222 k 22 k 1 d cos  0 d  (2k  1)( I k 1  I k ),0k  12Ik I k 1 ,kk  32I k 1 I k 2 ,k 1...I2 3I1 12221( 12)kP2 k (0)  (1),(1) kk( a  k )(a) k  a(a  1)  (a  k  1) (a )I1 ,I0 (k  1 2 )(k  3 2 )  3 2  12( k  1 2 )I k  2 2k (k  1)  2 1( 1 2)( k  1)1212- символ Похгаммера,Рекуррентные формулы2  12 (  , x)  (1  2 x    ) ,2 32(  , x)  ( x   )(1  2 x    ) ,(1  2 x    ) (   x)  0,kk 1 (  , x)   Pk ( x)  ,(  , x)   kPk ( x)  ,k 0k 02 kPk k 0k 1 2 x kPk    kPk kk 0k 0P1   (k  2) Pk 2 k 0  (k  1) Pk k 0k 1k 1k 1  Pk k 1k 0 2 x  (k  1) Pk 1 k 0 xP0  x  Pk 1 k 0k 1 x Pk   0,k 0k 10k[(k  2) Pk 2  (2k  3) xPk 1  (k  1) Pk ]k 0k 10(k  2) Pk 2  (2k  3) xPk 1  (k  1) Pk  0(k  1) Pk 1 ( x)  (2k  1) xPk ( x)  kPk 1 ( x)  0 (1)- рекуррентная формула для полиномов ЛежандраP0 ( x)  1P1 ( x)  x12P2 ( x)  (3x  1)213P3 ( x)  (5 x  3 x)2142P4 ( x)  (35 x  30 x  3)81P0 ( x)P3 ( x)0.50x0.5P1 ( x) P2 ( x) P4 ( x)110.500.51ВычислениеP2 k (0)с помощью рекуррентной формулы(k  1) Pk 1 ( x)  (2k  1) xPk ( x)  kPk 1 ( x)  02kP2 k (0)  (2k  1) P2 k 2 (0)  0k  12P2 k (0)  P2 k 2 (0),kk  32P2 k 2 (0)  P2 k 4 (0),k 1...P4 (0)  3P2 (0)  1222P2 (0),P0 (0)  12,1113311( k  1 2 )k ( k  2 )( k  2 )  2  2kk ( 2)kP2 k (0)  (1) (1) (1)1k (k  1)  2 1( 2)(k  1)(1) kПроизводные полиномов Лежандра2 32 (  , x)  (1  2 x    ) ,(  , x)   (1  2 x    ) ,x2 (1  2 x    )   0, умножение иxвычитание2 (1  2 x    ) (   x)  0,x(   x) 0,x2  12(   x) Pk( x)    kPk ( x)   0,k 0 Pkk 0k 1kk 0 xP0  x  (k  1) Pk1 k 0kk 1  (k  1) Pk 1 k 0k 1 0,[ Pk  xPk1  (k  1) Pk 1 ]k 0k 10Pk  xPk1  (k  1) Pk 1  0Pk1 ( x)  xPk( x)  kPk ( x)  0 (2)(1)  (k  1) Pk1  (2k  1) Pk  (2k  1) xPk  kPk1  0,(2)  Pk1  xPk  kPk , Pk1  (k  1) Pk  xPk  0.Pk( x)  xPk1 ( x)  kPk 1 ( x)  0 (3)Pk 1 ( x)  xPk ( x)- производная полинома(2), (3)  Pk( x)  k()2Лежандраx 1(3)  Pk1 ( x)  xPk( x)  (k  1) Pk ( x)  0 (4)Pk1 ( x)  Pk1 ( x)(2), (4)  Pk ( x) ()2k  1- представлениеполинома черезпроизводныеУравнение Лежандра()  (1  x ) Pk( x)  k ( xPk ( x)  Pk 1 ( x))  0,22((1  x ) Pk( x))  k ( Pk ( x )  xPk( x )  Pk1 ( x ))  0,(2)  Pk1 ( x)  xPk( x)  kPk ( x)2((1  x ) Pk( x))  k (k  1) Pk ( x)  0d 2 dy - уравнение Лежандра, (1  x )    y  0dx dx x  [1, 1],   k (k  1)  y ( x)  C1Pk ( x)  C2Qk ( x) - общее решение4Qk ( x)- функция Лежандра второгорода (не полином)1 1 xx 1 xQ0 ( x)  ln, Q1 ( x)  ln12 1 x2 1 x2Q0 ( x)02xQ1 ( x)00.51Ортогональность полиномов Лежандра((1  x ) Pk( x))  k (k  1) Pk ( x)  0,Pm ( x)((1  x ) Pm ( x))  m(m  1) Pm ( x)  0,Pk ( x)22умножение и вычитаниеPm ( x)((1  x ) Pk( x))  Pk ( x)((1  x ) Pm ( x)) 22 (m(m  1)  k (k  1)) Pk ( x) Pm ( x),d(1  x 2 )( Pm ( x) Pk( x)  Pk ( x) Pm ( x))   (m  k )(k  m  1) Pk ( x) Pm ( x)dx 1 P ( x) P ( x)dx  0,k1mkm2k  1k 11 Pk ( x) Pk ( x)dx  k 1 xPk 1 ( x) Pk ( x)dx  k 1 Pk 2 ( x) Pk ( x)dx 111(k  1) Pk 1 ( x)  (2k  1) xPk ( x)  kPk 1 ( x)  0,2k  1k 1Pk ( x) xPk 1 ( x) Pk 2 ( x),kkk 1kxPk ( x) Pk 1 ( x) Pk 1 ( x),2k  12k  1(2k  1)(k  1)2k  1P(x)P(x)dxPk 1 ( x) Pk 1 ( x)dxk 1k 1k (2k  1) 12k  1 1112k  1- рекуррентная формулаP(x)P(x)dxP(x)P(x)dxk 1k 11 k kдля вычисления интеграла2k  1 1112k  31 Pk 1 ( x) Pk 1 ( x)dx  2k  1 1 Pk 2 ( x) Pk 2 ( x)dx...11113P(x)P(x)dxP1 ( x) P1 ( x)dx1 2 25 11 P1 ( x) P1 ( x)dx 1111P(x)P(x)dx2003 132 km1 Pk ( x) Pm ( x)dx  2k  11- свойство ортогональностиполиномов Лежандра2 kmx  cos ,  Pk (cos ) Pm (cos )sin  d 2k  10Разложение функции в ряд Фурье по полиномам Лежандра2k  1f ( x)   ak Pk ( x), ak f ( x) Pk ( x)dx, x  [ 1, 1]2 1k 0111 f ( x) P ( x)dx   a  P ( x) P ( x)dx,m1k 0kk1mak  km2am...

Характеристики

Список файлов лекций