Лекции УМФ (ММФ) 2008 (1024196), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

 22m  1k 0 2 k  1Разложение функции в ряд Фурье по полиномам Лежандра1k 01f ( x)   ak Pk ( x), ak  (k  1 2)  f ( x) Pk ( x)dx, x  [ 1, 1]11 f ( x) P ( x)dx   a  P ( x) P ( x)dx,m1k 0kk1mak  km2am...  22m  1k 0 2 k  1X3x0 QR( x0 , x)xРазложение потенциала поля точечногозаряда в ряд по полиномам Лежандраu ( x) X2X1Q4 01R ( x0 , x),R( x0 , x)  (( x1  x01 )  ( x2  x02 )  ( x3  x03 ) ) 2 ,222x1  r cos  sin  , x2  r sin  sin  , x3  r cos ,x01   cos sin  , x02   sin  sin  , x01   cos  ,2  2k Q r r Q  rP (  ), r  1  2  2  k 1 k  4 0 k 0  4 0 u ( x)  12  2kQQ 4 r 1  2  r  r 2   4  r k 1 Pk (  ), r  0 0 k 0  cos cos   sin  sin  cos(   ), |  | 111Решение уравнения Лапласа в сферических координатах u (r , ,  )  0,21   2 u 1 u 1u 0,r 2 sin  2 222  r sin  r r  r  r sin   Предположение: функция u не зависит от 2  2 u 1  u r sin 0r  r  sin    Решение методом Фурьеu (r , )  Z (r ) ( ),d  2 dZ Z d d r sin dr  dr  sin  d d01 d  2 dZ1d dr(r)sin()  Z (r ) dr  drd  ( )sin  d 1 d d( )    ( )  0, sin sin  d dd d dxdddx  cos ,  sin ,  sin  ,ddx ddxddxd d2   sin ( x)    ( x)  0,dx dxd 2 d(1x)(x)   ( x)  0dx dx- уравнение Лежандра,x  [1, 1], k  k (k  1), k  0, 1, 2, ...

  k ( x)  Pk ( x)d  2 dZ kr(r)  k (k  1) Z k (r )  0,dr  drZ k (r )  r   (  1)r  k (k  1)r  0, (  1)  k (k  1)  1  k ,  2  (k  1)C kk- общее решениеZ k (r )  Ck r  k 1rC k ku (r , )   Z k (r ) k ( )    Ck r  k 1  Pk (cos )r k 0k 0 - решение уравнения ЛапласаВнутренняя задача Дирихле для шараНайтигармоническуюфункцию(функциюудовлетворяющую уравнению Лапласа) внутришара, если она известна на границе шара (насфере).Частный случай: эта функция не зависит от :X3raX2X1 u (r , )  0, r  [0, a],2u (a, )  f ( ),| u (r , ) | u (r , )   Ck r Pk (cos ),k 0kf ( )   Ck a Pk (cos ),kk 02 km0 Pk (cos ) Pm (cos )sin d  2k  1 ,1 k Ck  2 k  f ( ) Pk (cos )sin  da 0- свойство ортогональностиполиномов ЛежандраВнешняя задача Дирихле для шараX3Найтигармоническуюфункцию(функциюудовлетворяющую уравнению Лапласа) вне шара,если она известна на границе шара (на сфере).rЧастный случай: эта функция не зависит отX2aX1: u (r , )  0, r  a,2u (a, )  F ( ),| u ( r , ) |  C kCu (r , )   k 1 Pk (cos ), F ( )   k k1 Pk (cos ),k 0 rk 0 a2 km- свойство ортогональностиP(cos)P(cos)sind,km0полиномов Лежандра2k  1k 1C k   1 2  k  a  F ( ) Pk (cos )sin  d0Найти поверхностную плотность заряда индуцированногона проводящей заземленной сфере полем точечногозаряда, который находится внутри шара.X3b  Q a r u (r , )  0, r  b,2X2X1   u (a, )  0u (r , )  u0 (r , )  U (r , )u0 (r , ), U (r , )- принцип суперпозиции- потенциалы полей точечного и индуцированного заряда U (r , )  0, r  (b, a)2U (a, )  u0 (a, )- внутренняя задача ДирихлеU (r , )   Ck r Pk (cos ), u0 (r , ) kk 0Q bb 1  2 cos    4 0 r rr 2 12Q4 02  12( r  2br cos  b )2kb  Pk (cos )4 0 r k 0  r QkkQbQbkCaP (cos )  0  Ck   k k 1  k2 k 14a4ak 0 00 bk bk r k u ( r , )  k 1  2 k 1  Pk (cos ), r  (b, a)4 0 k 0  raQ U (r , )  0, r  a2U (a, )  u0 (a, )- внешняя задача ДирихлеkC kQ   b U (r , )   k 1 Pk (cos ), u0 (r , )   Pk (cos ),4 0 r k 0  r k 0 rkk  CkQb QbP (cos )  0  C k  , k 1 k 1  k4 04 0 a k 0  au (r , )  0, r  au1 uE(r , )  u (r , )   er err uu ( ) (a  0, )  (a  0, ) rr0 ( )- напряженностьэлектрического поля- граничное условие, следуетиз уравнения Максвелла- поверхностная плотность индуцированного зарядаdivE   S0kQb ( )  (2k  1)   Pk (cos )2 4 a k 0a2Q b2q  a  d   ( )d    (2k  1)  2 k 0a00k  P (cos )sin  d k0kb Q     k 0   Qk 0  a - суммарный индуцированный зарядS   (2k  1)  Pk ( x)  2 kk 012 (k k 012)k  12Pk ( x) 111kk2222 2 Pk ( x)  2    Pk ( x)  , k 0  k 01  Pk ( x)  (1  2 x    )2  12kk 0- производящая функция дляполиномов Лежандра  122  1222 32S  2 (1  2 x    )   (1   )(1  2 x    ) ,12 (2k  1) k 0k2 32Pk ( x)  (1   )(1  2 x    )  (0,1), x  [1,1]2kQ b ( )  (2k  1)   Pk (cos ) 2 4 a k 0aQ  b bb 1  2 1  2 cos  2 2 a4 a  a a 2 / 02- решение задачи60.50.44Q0  24 a320.220b/a  00123Присоединенные функции Лежандра2d dym2y  0 () (1  x )    k (k  1) 2 dx dx  1 x x  [1, 1], k  0, 1, ...; m  0, 1, ...y ( x)  Pk ( x)m- присоединенная функция Лежандраd 2 dy m  0   (1  x )   k (k  1) y  0 ()dx dx 0Pk ( x)  Pk ( x)- уравнение Лежандра,частное решение полином Лежандраy ( x)  (1  x ) 2 z ( x)2dzdz2(1  x ) 2  2(m  1) x  (k  m)(k  m  1) z  0dxdxЗамена в (*):2mДифференцирование (**) m раз:m2dPkd2(1  x ) 2  mdx  dxmd  d Pk  2(m  1) x  mdx  dxmd Pk  (k  m)(k  m  1) m  0dxmm2 2 dPk ( x)  (1  x )P ( x), m  km kdxmЕсли m нечетное число, присоединеннаяфункция Лежандра не полиномm  k  Pk ( x )  0mmmm2 2m dk m2 m2 dPk ( x)  (1  x ) (1)P ( x)  (1) (1  x )P ( x)m km kdxdxmPk ( x)  (1)mk mmPk ( x)k1 d2kPk ( x)  k(x1)k2 k ! dx(1  x )mPk ( x) k2 k!2m2- формула Родригаk md2k(x1)k mdx- дифференциальная формуладля функции Лежандраmm2 2 dPk ( x)  (1  x )P ( x)m kdx1123P1 ( x)  x, P2 ( x)  (3 x  1), P3 ( x)  (5 x  3 x)22mPk ( x)  Pk ( x)12 12P1 ( x)  (1  x )12 12P2 ( x)  3 x(1  x )22P2 ( x)  3(1  x )3122 12P3 ( x)  (5 x  1)(1  x )222P3 ( x)  15 x(1  x )32 32P3 ( x)  15(1  x )032P221P110x1P211P3210.500.51Ортогональность присоединенных функций Лежандра(n  m)! 2 nk1 P ( x) P ( x)dx  (n  m)! 2n  11mkmn- свойство ортогональностиприсоединенных функций Лежандра(n  m)! 2 nkx  cos ,  P (cos ) P (cos )sin  d (n  m)! 2n  10mkmnТеорема сложения для полиномов ЛежандраPk (cos cos   sin  sin  cos(   ))  Pk (cos ) Pk (cos  ) k(k  m)! mmn0X3 2Pk (cos )Pk (cos  )cos m(   )nm1 ( k  m)!(n, n0 )  cos cos   sin  sin  cos(   )X 2 - скалярное произведение единичных векторовX1ортогональных сфере с центром в начале системы координатРешение уравнения Лапласа в сферических координатах u (r , ,  )  0,2  2 u 1  u 1 u0r sin  22r  r  sin     sin  2Решение методом Фурьеu (r , )  Z (r )Y ( , )1 d  2 dZ 1 Y 1Y r sin 22Z dr  dr  Y sin     Y sin  2d  2 dZ r  Z  0dr  dr 1  Y 1 Y Y  0 sin  22sin     sin  2Y ( , )   ( )( )d d d 2 sin sinsin 02d d d2sin  d d 1 d 2 sin    sin   2   d d  d21 d d   sin   2sin  d d  sin d  02d2  0 d 2 2 ( )    ( )  0,   [0, 2 ] d- задача Штурма-Лиувилля с ( )   (  2 )условием периодичности(1)   0, ( )  A exp( |  | )  B exp( |  | ),( )  (  2 )  A  B  0(2)   0, ( )  A  B,A  B  A(  2 )  B  A  0, ( )  const(3)   0,  ( )  A cos   B sin  , ( )   (  2 )   m, m  1, ... m  m 2 ,  m ( )  Am cos m  Bm sin m , m  0, 1, ...2d m1 d m  ( )      m ( )  0 sin 2sin  d dsin   2dd m2mx  cos ( x)      ( x)  0 (1  x )2  mdx dx1 x  Ограниченные решения этого уравнения существуют только в том случае, еслиk  k (k  1), k  0, 1, ...2dd m2km( x)    k (k  1)  ( x)  0, (1  x )2  kmdx dx1 x   km ( x)  Ckm Pkm ( x)k  k (k  1),  km ( )  Ckm Pkm (cos ), k  0, 1, 2, ...Yk1  1  Yk( , )   2( ,  )  k ( k  1)Yk ( ,  )  0 sin 2sin    sin  2km 0m 0Yk ( , )   km ( ) m ( )   ( Akm cos m  Bkm sin m ) Pk (cos )mYk ( , )  Pk (cos ) cos m ,mmYk ( , )  Pk (cos )sin m ,m  0, 1, ..., km- сферическая функция порядка kmk- фундаментальныесферические функцииYk ( , )   ( AkmYk ( , )  BkmYk ( ,  ))m 0mmОртогональность сферических функций (на единиченой сфере)2 cos m cos m  d   (1   sin m cos m  d  0,m0) mm ,202 sin m sin m  d  mm,002 d  Yk ( , )Yk ( , )sin  d mm020 cos m cos m  d  Pk (cos ) Pk (cos )sin d mm00  (1   m 0 ) mm  Pk (cos ) Pk (cos )sin  d m0m2 (1   m 0 ) (k  m)! kk mm2k  1 (k  m)!2 d  Yk ( , )Yk ( , )sin d  2m00200200200 d  Ymk d  Ymkm mk( , )Y1   m 0 (k  m)! kk mm2k  1 (k  m)!2 (k  m)!( ,  )sin  d  kk mm2k  1 (k  m)!( , )Y ( , )sin  d  0mkdY(,)Y(,)sind0,kkk kd  2 dZ k(r )   k Z k (r )  0rdr  drC kkZ k (r )  Ck r  k 1 - общее решениеru (r , , )   rkk 0k 0k ( AkmYk ( , ) BkmYk ( , )) mm 01rmk Y m ( ,  ) B Y  m ( ,  ))(Akm kkm kk 1 m 0- решение уравнения ЛапласаВнутренняя задача Дирихле для шараX3 u (r , ,  )  0, r  [0, a ],u (a, ,  )  f ( ,  ),| u ( r , ,  ) | 2raX2u (r , ,  )   rX1kk 0f ( , )   ak 0200kkk ( AkmYk ( , ) BkmYk ( , ))mmm 0 ( AkmYk ( , ) BkmYk ( , ))mmm 0 d  f ( , )Yk ( , )sin  d  ak 0mkk2 Akm  d  Yk ( , )Yk ( , )sin  d ,m 0mm001   m 0(k  m )! a Akm...

Характеристики

Список файлов лекций