В.А. Горбаренко - Излучения, атомная и ядерная физика (1022086), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Из условия непрерывности волновой функции следует, что на границах“ямы”ψ (0) = ψ ( l ) = 0 .(4.14)Для частицы в “яме” уравнение (4.11) имеет видд 2ψ 2m+Eψ = 0 ,дx 2 h2д 2ψ2m22E .или(4.15)2 + k ψ = 0 , где k =дxh2Решение уравнения (4.15)ψ(x)=A sin( k x+α) .(4.16)Из граничных условий (4.14) имеем α=0 и sin( kl ) = 0, откуда2mn 2π 2kl = ±nπ (n=1,2,3,…) или 2 E = 2 .
Т.е. получаем, что энерlhгия частицы в яме может принимать только дискретные значенияπ 2h 2 2En =n ,(4.17)22mlпричем расстояние между соседними уровнями энергииΔE n =π 2h 22ml 2( 2n + 1) ≅π 2h 2ml 2n (для больших n).Для массивных частиц и для больших l (например, молекулы в сосуде) уровни энергии будут практически сливаться, однако при малых n и l (электроны в атоме) ΔEn сравнимо с величиной En.Коэффициент A в (4.16) находится из условия нормировки(частица обязательно должна находиться внутри потенциальнойямы, следовательно, вероятность нахождения её в “яме” равнаединице)55∞∫ψl2(x ) dx = 1 или−∞A2∫ sin0Таким образом,ψ (x ) =2nπ x2dx = 1 , откуда A =.ll2⎛ nπ x ⎞sin⎜⎟⎝ l ⎠ .lЗаметим еще, что на ширине “ямы” l должно укладыватьсяцелое число полуволн де Бройля своРис.4.3бодной частицы с энергией E=En.На рис.4.3 представлена зависимость плотности вероятности обнаружения частицы в окрестности определенной точки “ямы” от координатыточки x (т.е.
⏐ψn(x)⏐2), а также спектрзначений энергии частицы. Из рисункавидно, что, например, при n=2 частицане может находиться в центре ямы, ноодинаково часто бывает как в левой,так и в правой её половинах.4.4.3. Прохождение частицы сквозьпотенциальный барьерПусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты U0 и ширины l.Согласно законам классической физики, поведение частицыбудет следующим. Если энергия частицы больше высоты барьера(E>U0), то частица беспрепятственно проходит “над барьером”,на участке 0 ≤ x ≤ l лишь уменьшается её кинетическая энергия.Если энергия частицы меньше высоты барьера (E < U0 ), то частица “отражается” от барьера и летит в обратную сторону.56Рис.4.4.Согласно квантовой механике при E > U0 существует отличная от нуля вероятность того, чточастица “отразится” от барьера, апри E < U0 существует отличнаяот нуля вероятность того, что частица проникнет “сквозь” барьер иокажется в области x > l.Ограничимся случаем E<U0.Уравнения для ψ(x) имеют видд 2ψ 2 mE ψ = 0 для x<0 и x>l (области 1 и 3 на рис.4.4), (4.18)+дx 2 h2д 2ψ 2 m( E − U 0 )ψ = 0 для 0≤x≤l (область 2 на рис.4.4) (4.18а)+дx 2 h2Используя условие непрерывности функции ψ и ее первойпроизводной, стандартными методами теории дифференциальных уравнений можно найти решения уравнений (4.18) и (4.18а).При этом оказывается, что амплитуда волны де Бройля вобласти 3 отлична от нуля.
Это означает, что существует отличная от нуля вероятность того, что частица проникает сквозь барьер. Вводя обозначение D = A3 − коэффициент прозрачностиA1(здесь А1 и А3 − амплитуды волн де Бройля, распространяющихсявдоль оси х в областях 1 и 3), можно получить, что⎡ 2lD ≈ D 0 ex p⎢2m( U 0 − E )h⎣⎤⎥,⎦(4.19)где D0 − функция, плавно зависящая от E и параметров потенциального барьера.Если потенциальный барьер непрямоугольный и функцияU(x) имеет произвольную форму (см. рис.4.5), то можно показать,что коэффициент прозрачности такого барьера будет равен⎡ x22⎤2m( U 0 − E ) dx ⎥ .D ≈ D 0 ex p⎢- ∫⎢⎣ x 1 h⎥⎦(4.20)57Явлениепроникновениячастиц сквозь потенциальныйбарьер получило название туннельного эффекта (частица какбы проходит по туннелю черезклассически запрещенную область).Туннельным эффектом объясняются многие физические явления − контактная разность поРис.4.5.тенциалов и холодная эмиссияэлектронов из металлов, многие явления ядерной физики.
Туннельный эффект используется в некоторых приборах радиоэлектроники (туннельный диод) и в измерительной технике (туннельный микроскоп).4.5. Квантовая механика − новая теорияКвантовая механика − это созданная на основе корпускулярно-волнового дуализма единая последовательная теория. Успехи ее весьма впечатляющи. Квантовая механика до мельчайших деталей описала наблюдаемые спектры сложных атомов.Она объяснила относительную яркость спектральных линий имеханизм образование молекул из атомов.
Квантовая механикапредставляет собой общую теорию, которая охватывает всю совокупность квантовых явлений от излучения черного тела доструктуры атомов, молекул и твердых тел. Предсказания квантовой механики позволили создать много новых приборов, нашедших самое широкое применение. Хотя квантовая механика занимается проблемами микромира, из нее следуют и старые, хорошопроверенные, результаты классической физики.Несмотря на то, что порой выводы квантовой механики кажутся парадоксальными, надо относиться к ним как к объективной реальности.
В этой связи уместно будет привести высказывание о квантовой механике известного физика Ричарда Фейнмана.“…Раз поведение атомов так непохоже на наш обыденный58опыт, то к нему очень трудно привыкнуть. И новичку в науке иопытному физику − всем оно кажется своеобразным и туманным.Даже большие ученые не понимают его настолько, как им хотелось бы, и это совершенно естественно, потому что весь непосредственный опыт человека, вся его интуиция − всё прилагаетсяк крупным телам.
Мы знаем, что будет с крупным предметом, ноименно так микрочастицы себя не ведут. Поэтому, изучая их,приходится прибегать к различного рода абстракциям, напрягатьвоображение и не пытаться связывать их с нашим непосредственным опытом…”5. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКИКвантовая электроника − это раздел физики, изучающий методы усиления и генерации электромагнитных волн, основанныена использовании вынужденного излучения. Квантовая электроника занимается изучением свойств и созданием новых квантовых усилителей и генераторов, а также их применением.Упомянутые усилители и генераторы называются квантовыми потому, что в них используются электроны, входящие в состав атомов и молекул вещества (в отличие от свободных электронов в приборах обычной электроники).
Движение таких электронов подчиняется законам квантовой механики.Основные приборы квантовой электроники − оптическиеквантовые генераторы или лазеры (аббревиатура от light amplification by stimulated emission of radiation). Для излучения лазеровхарактерны высокая монохроматичность и когерентность, возможно также получение лазерного излучения очень большоймощности. Все это обуславливает его уникальные свойства ичрезвычайно широкие области применения.5.1. Спонтанное и вынужденное излучениеПроцесс излучения электромагнитной волны атомом можетбыть двух типов: спонтанным и вынужденным.
При спонтанномизлучении атом переходит с верхнего энергетического уровня нанижний самопроизвольно, без внешних воздействий на атом.Спонтанное излучение атома обусловлено только неустойчиво-59стью его верхнего (возбужденного) состояния, вследствие которой атом рано или поздно освобождается от энергии возбуждения путем излучения фотона. Различные атомы излучают спонтанно, т.е. независимо друг от друга, и генерируют фотоны, которые распространяются в различных направлениях, имеют различные фазы и направления поляризации. Следовательно, спонтанное излучение является некогерентным. Схематическое изображение спонтанного перехода представлено на рис.
5.1a.hνа)hνhνhνhνб)в)Рис. 5.1Излучение может возникать также и в том случае, если навозбужденный атом действует электромагнитная волна с частотой ν, удовлетворяющей соотношению hν=Em− En, где Em, и En −энергии квантовых состояний атома (частота ν при этом называется резонансной). Возникающее при этом излучение являетсявынужденным.
В каждом акте вынужденного излучения участвуют два фотона. Один из них, распространяясь от внешнего источника (внешним источником для рассматриваемого атома может являться и соседний атом), воздействует на атом, в результате чего испускается фотон. Оба фотона имеют одинаковое направление распространения и поляризации, а также одинаковыечастоты и фазы. То есть вынужденное излучение всегда когерентно с вынуждающим. Схематическое изображение процессавынужденного излучения приведено на рис. 5.1б.Атомы не только испускают, но и поглощают фотоны с резонансными частотами. При поглощении фотона атомы возбуждаются. Поглощение фотона всегда является вынужденным процессом, происходящим под действием внешней электромагнитной волны.
В каждом акте поглощается один фотон, а участвующий в этом процессе атом переходит в состояние с большей60энергией. Схематическое изображение процесса поглощенияприведено на рис 5.1в.5.2. Коэффициенты ЭйнштейнаВ процессах испускания и поглощения фотонов, как правило, участвует огромное число атомов, поэтому эти процессы описываются статистически с помощью теории вероятностей.Вероятностью испускания (поглощения) называется среднее число фотонов, испускаемых (поглощаемых) одним атомом вединицу времени.Вероятность перехода атома с уровня m на уровень n будемобозначать через Wmn.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
