В.А. Горбаренко - Излучения, атомная и ядерная физика (1022086), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Однако при рассмотрении микрочастиц необходимо учитывать их волновые свойства, и мгновенные состояния таких объектов уже нельзя характеризовать точным заданиемих координат и импульсов. Причина этого заключается в том, чтоо волне нельзя сказать, что в определенной точке пространства еедлина равна λ, если об этой волне в остальных точках пространства ничего не известно. Длина волны есть характеристика синусоиды, а синусоида − бесконечная периодическая кривая. Если изнее вырезать малый кусочек и удалить все остальные части, тоэто уже будет не периодическая кривая. Для кусочка синусоиды,малого по сравнению с λ, понятие длины волны вообще неприменимо.В теории волн показывается, что если какое-нибудь волновое образование (волновой пакет) занимает ограниченную область пространства, то его всегда можно представить в виде суперпозиции бесконечного числа синусоид с близкими длинамиволн.
Причем если длина волнового пакета Δx, то волновые числаВ общем случае функция Ψ − комплексная, , поэтому квадрат ее модулянаходится как произведение самой функции на ее комплексно сопряженную величину Ψ)49k=2π /λ волн, его составляющих, лежат в диапазоне от k−Δk/2 доk+Δk/2, где Δk удовлетворяет соотношениюΔ x • Δ k ≥ 2π .(4.3)Для случая радиоволн это означает, что короткий радиоимпульс(Δx мало) разлагается на множество синусоид с разными длинамиволн, и его будут принимать приемники, настроенные на разныечастоты. Если же требуется монохроматический сигнал (малоΔλ), то он должен быть достаточно длинным (велико Δx).Рассмотрим теперь волновой пакет из волн де Бройля, размеры которого Δx (рассматриваем одномерный случай) и соответствующий диапазон волновых чисел Δ k, естественно, долженудовлетворять условию (4.3).
Согласно статистической интерпретации волновой функции (4.2), вероятность обнаружения частицы будет отлична от нуля только в пределах пакета, т.е. координата частицы может изменяться в пределах Δx. Очевидно, что всоответствии с (4.1), диапазону изменения волнового числа Δkволны де Бройля соответствует диапазон изменения импульсачастицы Δp=h Δk /2π . Поэтому выражение (4.3) для волны деБройля можно переписать в видеΔ x • Δ p ≥ h = 2π h .(4.4)Строгое доказательство соотношения между Δp и Δx2⎞⎛h22⎜ < (Δp x ) >< Δx >≥⎟ в 1927 г.
привел немецкий физик Гей⎜4 ⎟⎠⎝зенберг, поэтому оно называется соотношением или принципомнеопределенности Гейзенберга для координаты и импульса частицы. Оно отражает тот факт, что в природе в принципе не существует состояний частиц с точно определенными значениямиобеих переменных x и p.В трехмерном случае частица характеризуется тремя координатами x, y и z , и значения составляющих ее импульса равны px, py и pz .
В этом случае соотношения неопределенностейГейзенберга выражаются тремя неравенствамиΔ x • Δ px ≥ h, Δ y • Δ py ≥ h, Δ z • Δ pz ≥ h.(4.5)50Наряду с соотношением (4.5) в теории волн также выводится соотношениеΔt• Δω ≥2π.(4.6)Смысл его состоит в том, что ограниченный во времени волновойпроцесс не может быть монохроматическим. Если процесс длится в течение времени Δ t, то его можно представить как суперпозицию периодических процессов с частотами, лежащими в диапазоне от ω−Δω /2 до ω+Δω /2, где Δω в лучшем случае удовлетворяет соотношению (4.6).
Поэтому, если имеется даже идеально монохроматический процесс, но время его наблюдения конечно и равно Δ t, то частота процесса принципиально будет найденав лучшем случае с погрешностью, удовлетворяющей соотношению (4.6).Если частоте ω поставить в соответствие энергию по формуле Е = hω , то формула (4.6) преобразуется вΔ t • Δ E ≥2 π h = h.(4.7)Формула (4.7) называется соотношением неопределенностей Гейзенбергадля времени и энергии.Соотношение (4.7) означает, что, чем короче время существования какого-то состояния или время, отведенное для его наблюдения, тем с меньшей определённостью можно говорить обэнергии этого состояния.4.3.
Уравнение ШредингераСостояние частицы в различных условиях в квантовой механике описывается волновой функцией. Следовательно, основной задачей квантовой механики является нахождение вида этихфункций для различных объектов. Для ее решения служит уравнение, найденное Шредингером в 1926 г. Это − основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, т.е. оно справедливотолько в случае движения частиц со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме.Шредингер на основании соображений соблюдения размерности и выполнения общих физических требований к основномууравнению квантовой механики предложил в качестве таковогоуравнение вида:51дΨh2ih=−ΔΨ + U( x , y , z ,t ) Ψ ,(4.9)дt2mгде m − масса микрочастицы, Δ − оператор Лапласа (в декарто-вых координатах оператор Лапласа имеет видд2д2д2Δ= 2+ 2+ 2дxдy дz),U(x,y,z,t) − функция координат и времени, описывающая воздействие на частицу силовых полей (в стационарном случае U(x,y,z)− потенциальная энергия частицы).Уравнение (4.9) называется общим (временным) уравнениемШредингера.
Оно дополняется условиями, накладываемыми нафункцию Ψ :1) Ψ − конечная, непрерывная и однозначная;2) производные от Ψ по x, y, z, t непрерывны (в отсутствии бесконечного скачка функции U(x,y,z,t));23) функция ⏐Ψ⏐ должна быть интегрируема, т.е. интеграл∞ ∞ ∞∫ ∫ ∫Ψ2dx dy dz должен быть конечным.- ∞ −∞−∞Уравнение Шредингера постулируется, его нельзя вывестииз старых принципов. Единственным подтверждением истинности уравнения Шредингера является только опыт − опытная проверка всех выводимых из него следствий.
Такую проверку уравнение Шредингера выдержало.Для большого числа физических явлений, происходящих вмикромире, важно уметь находить стационарное решение уравнения (4.9), в котором исключается зависимость от времени. Оноимеет смысл для тех задач, в которых все наблюдаемые физические параметры стационарны, в частности U=U(x, y, z). Оказывается, что в стационарных состояниях решение уравнения Шредингера может быть представлено в видеΨ ( x , y, z, t ) = ψ ( x , y, z) e- iω t ,(4.10)где частота ω постоянна, а функция ψ(x,y,z) не зависит от времени.Для определения функции ψ(x,y,z) подставим выражение(4.10) в уравнение (4.9) и найдем52h2hω ψ = −Δψ + U( x , y , z ) ψ .2mПо аналогии со световыми волнами будем считать, что величинаhω представляет собой полную энергию частицы Е в стационарном состоянии.
Таким образом, для стационарных состояниймы имеем следующее уравнениеh2Δψ + [E − U( x , y , z ) ] ψ = 0 .2m(4.11)Это уравнение не содержит времени и называется стационарнымуравнением Шредингера.Функции ψ, удовлетворяющие стационарному уравнениюШредингера при данном значении потенциальной энергии частицы U(x,y,z), называются собственными функциями.Полная энергия частицы Е входит в уравнение (4.11) в качестве параметра.
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (4.11) имеют решения, удовлетворяющие указанным выше ограничениям на Ψ-функцию, не прилюбых значениях Е, а лишь при некоторых, избранных, зависящих от условий конкретной задачи. Значения Е, при которых существуют такие решения уравнения (4.11), называются собственными значениями.Совокупность собственных значений называется их спектром.
Если эта совокупность образует дискретную последовательность, то говорят, что спектр энергии дискретный. Если собственные значения образуют непрерывную последовательность,то спектр сплошной. Таким образом, квантование энергии частицы получается из основных положений квантовой механики безкаких либо дополнительных предположений, в отличие, например, от полуклассической теории атома водорода, предложеннойН. Бором, где пришлось постулировать квантование энергии атома.Непосредственно в физическом эксперименте могут бытьизмерены только собственные значения исследуемой квантовойсистемы, и, следовательно, их измерение позволяет проверитьсостоятельность предлагаемой модели.534.4.
Примеры решения простейшихкванто-механических задач4.4.1. Движение свободной частицыРассмотрим свободную частицу, движущуюся вдоль оси x.Свободная − это значит, что частица движется с постоянной скоростью V в отсутствии силовых полей, т.е. U(x, y, z)≡0. Тогдаполная энергия частицы есть её кинетическая энергия, а уравнение Шредингера имеет видд2 ψ 2 m+ 2 Eψ = 0 .(4.12)2дxВведем обозначениеет видh2mE = k 2 . Тогда уравнение (4.12) принима2hд2 ψ+ k 2ψ = 0 . Его частное решение ψ(x)=A0 cos kx −2дxзнакомо нам из курса “Теории колебаний”, а общее решение может быть записано в комплексной форме ψ(x)=A0 eikx + B0 e-ikx.Учитывая соотношение (4.10), получим выражение для нестационарной (полной) волновой функцииΨ ( x ,t ) = A0 e − i( ω t - k x ) + B 0 e − i( ω t + k x ) =A0 e−i( E t - p x)h+ B0 e−i( E t + p x)h(4.13)Это есть суперпозиция двух волн де Бройля, распространяющихся одна в положительном, а другая в отрицательном направлениях, что соответствует движению частицы вдоль (B0 = 0) или против (A0 = 0) оси x.
Плотность вероятности обнаружения частицыне зависит от времени и в любой точке пространства одинакова.B4.4.2. Частица в бесконечно глубокой одномернойпотенциальной ямеДля случая одномерной бесконечно глубокой “потенциальной ямы” потенциальная функция частицы U(x) принимает значение, равное нулю на интервале 0 ≤ x ≤ l и равна бесконечностивне этого интервала. Подобная модель потенциального поля дляслучая “ямы” конечной глубины позволяет получать не только54качественные, но даже и количественные результаты в некоторых задачах ядерной физики.Потенциальная энергия частицы принимает значения:( 0 ≤ x ≤ l)( x < 0, x > l) .⎧0U (x ) = ⎨⎩∞Очевидно, что частица, находящаяся в “яме”, за пределы ямы попасть не может, следовательно, за ее пределами ψ(x)≡0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
