В.А. Горбаренко - Излучения, атомная и ядерная физика (1022086), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Поток энергии, испускаемыйединицей поверхности излучающего тела по всем направлениям8(в пределах телесного угла 2π) во всем спектральном диапазоненазывается энергетической светимостью. Мы будем обозначатьэту величину R(T). Энергетическая светимость является функцией температуры. Очевидно, что∞dФ(1.9)R(T ) == ∫ dW (ω , T ) = ∫ r (ω , T )dω .dS0Поглощательная способность. Любое тело может не толькоизлучать энергию, но и поглощать падающий на него поток излучения. Однако, как правило, тело поглощает лишь часть излучения, падающего на него, т.к. часть энергии может отражатьсяили рассеиваться.
Если на единицу поверхности тела в единицувремени в диапазоне частот от ω до ω+dω падает поток энергииdФ(ω,Т), и часть dФ′(ω,Т) этого потока поглощается, то поглощательной способностью тела называется величинаdФ ′(ω , T ).(1.10)a (ω , T ) =dФ (ω , T )Абсолютно черное тело.Тела, для которых поглощательная способность равна единице для всех частот и температур, называют абсолютночерными.В природе абсолютно черных тел нет, но есть тела, достаточно близкие к абсолютночерным в определенном диапазоне частот. Для видимого света такими объектами являются,Рис.1.2например, сажа и черный бархат. Высокие поглощающиесвойства этих материалов отчасти объясняются их пористостью,благодаря чему свет, попавший на них, испытывает несколькоотражений, прежде чем получает возможность выйти из толщиматериала.9На принципе многократного отражения основано устройство тела, наиболее приближающегося по своим свойствам к абсолютно черному.
Оно изготовляется в виде почти замкнутой полости, снабженной небольшим отверстием (рис.1.2). Излучение,проникающее через отверстие, падает на стенки полости, частично поглощается ими, частично рассеивается или отражается ивновь попадает на стенки. Благодаря малым размерам отверстия,луч должен претерпеть много отражений, прежде чем он сможетвыйти наружу. Повторные поглощения на стенках приводят ктому, что практически все излучение любой частоты поглощается такой полостью.1.2. Законы теплового излучения1.2.1. Закон КирхгофаЛегко наблюдать, что при одинаковой температуре тела сослабой поглощательной способностью гораздо хуже излучаютсвет, чем тела с большой поглощательной способностью. Действительно, нагревая на пламени газовой горелки черный грифелькарандаша и кварцевый или стеклянный стержень, можно заметить, что грифель начинает светиться ярко-белым светом, в товремя как слабое красноватое свечение стеклянного стержня едвазаметно.Закон Кирхгофа дает соотношение между испускательнойи поглощательной способностью тел и гласит: отношение испускательной и поглощательной способностей тела не зависит отприроды тела, т.е.
r(ω,T)/a(ω,T)= f(ω,T) есть универсальная длявсех тел функция частоты и температуры.Применим этот закон к абсолютно черному телу. Обозначим для него испускательную способность через r0(ω,T), а поглощательная способность абсолютно черного тела a0(ω,T)=1,тогдаr (ω , T ) r0 (ω , T ) r (ω , T )=== f (ω , T ) .(1.11a (ω , T ) a0 (ω , T )110Отсюда виден смысл универсальной функции Кирхгофа:f(ω,T) − это испускательная способность абсолютно черного телаr0(ω,T).Закон Кирхгофа несложно вывести исходя из термодинамических соображений.
Покажем это.Пусть внутри полости с идеально отражающими стенками,непрозрачными для электромагнитных волн, находятся два тела:М − абсолютно черное и N − серое (т.е. поглощательная способность его поверхности <1) (см. рис.1.3).Очевидно, с течением времени в полости установится термодинамическое равновесие, т.е.тела M и N будут иметь однутемпературу Т. Так как тела находятся в состоянии тепловогоравновесия, то количество энергии, излучаемой и поглощаемойРис.1.3телом М одинаково. Это же утверждение справедливо и для тела N. Пусть r(ω,T) и a(ω,T) − испускательная и поглощательная способность тела N, r0(ω,T) − испускательная способность тела М.
По определениюa(ω,T) = dФ′1N / dФ1N и r(ω,T) = dФ0N /dω,где dФ0N − поток энергии, излучаемый единицей поверхности тела N в диапазоне частот от ω до ω+dω ; dФ1N и dФ′1N − потокэнергии, падающей на единицу поверхности тела N, и поглощаемый ею в единицу времени в диапазоне частот от ω до ω+dω.Но, исходя из условия теплового равновесия, должно выполняться условиеdФ′1N = dФ0N и dФ1N = dФ0M .(1.12)где dФ0М − поток энергии, излучаемый единицей площади поверхности тела М в диапазоне частот от ω до ω+dω.Тогда11r (ω , T ) dФON dФ1N=,(1.13)a(ω , T )dω dФ1′Nвоспользуемся (1.12 и преобразуем (1.13) к следующему видуr (ω , T ) dФON dФ1N dФ0 M=== r0 (ω , T ) ,a (ω , T )dω dФ0 Ndωт.е.
получили закон Кирхгофа (1.11).Опыты показывают, что зависимость испускательной способности абсолютно черного тела от длины волны для разныхтемператур имеют вид, показанный на рис.1.1.1.2.2. Законы излучения абсолютно черного телаЗакон Кирхгофа ставит в центре внимания теории тепловогоизлучения функцию r0(ω,T)=f(ω,T) − универсальную функциюКирхгофа или испускательную способность абсолютно черноготела. Определение вида этой функции явилось основной задачейучения о тепловом излучении. Решение задачи было получено несразу. Сначала был установлен теоретически и экспериментальнозакон, определяющий энергетическую светимость абсолютночерного тела (закон Стефана-Больцмана); затем были определенынекоторые основные характеристики искомой функции в зависимости от ω для разных Т, и, наконец, после ряда неудачных попыток (Рэлей, Джинс, Вин и др.) удалось найти окончательноетеоретическое решение задачи (Макс Планк, 1900 г.).
Напоминаем, что решение это было найдено только путем принципиального изменения основных положений физики − путем создания теории квантов.Закон Стефана-Больцмана. Закон Стефана-Больцмана устанавливает зависимость энергетической светимости от температуры.В 1879 г. на основании собственных измерений, а такжеанализируя данные других исследователей, Стефан пришел к заключению, что суммарная энергия, испускаемая в единицу времени с единицы площади поверхности тела пропорциональначетвертой степени абсолютной температуры излучателя.
Стефансформулировал свой закон для произвольного тела, однако по-12следующие измерения показали неправильность его выводов. В1884 г. Больцман теоретически на основе термодинамическихрассуждений показал, что энергетическая светимость абсолютночерного тела пропорциональна Т4, т.е.∞R(T ) = ∫ r0 (ω , T )dω = σT 4 ,(1.14)0где σ=5.67.10-8 Вт/(м2 .К4) − постоянная Стефана-Больцмана.Закон Вина. Закон Стефана-Больцмана определяет вид зависимости энергетической светимости от температуры, но не дает сведений о частотной зависимости энергии излучения, т.е.
видфункции ro(ω,T) остается неизвестным.В 1893 г. Вин, опираясь на законы термодинамики и электродинамики, определил характер зависимости испускательнойспособности абсолютно черного тела от частоты и температуры⎛ω ⎞r0 (ω , T ) = ω 3 F ⎜ ⎟ ,(1.15)⎝T ⎠здесь F − некоторая функция одного аргумента ω/T, вид которойВину определить не удалось.Хотя функция F неизвестна, но из закона Вина (1.15) получается ряд важных следствий, наиболее известное из которых −правило смещения Вина. Оказывается, что длина волны, соответствующая максимуму испускательной способности (λm нарис.1.1), обратно пропорциональна температуре. Докажем это.Воспользовавшись соотношением (1.7), закон Вина (1.15)можно переписать в виде(2πc) 4 ⎛ 2πc ⎞r0 (λ , T ) =F⎜(1.16)⎟⎝ λT ⎠λ5Пусть функция ro(λ,T) достигает для данной температуры мак-dro( λ ,T ) λ = λ = 0 .mdλПродифференцировав выражение (1.16), получим уравнениесимума при λ=λm, тогда должно быть13Это⎛ 2πc ⎞⎛ 2πc ⎞c⎟⎟ = 0 .⎟⎟ +5F ⎜⎜F ′⎜⎜λλλTTT⎝ m ⎠⎝ m ⎠mдифференциальное уравнение первогопорядкавидаaf(x)+xf′(x)=0.
В теории дифференциальных уравнений показывается, что уравнения такого типа имеют решения только приx=const. Таким образом получается соотношение(1.17)λmT=const=b,которое называют правилом смещения Вина, b - постоянная Вина.Экспериментальное значение постоянной Вина b, равноb=2,90.10-3 м.К.Формула Рэлея-Джинса. Используя классические представления о равномерном распределении энергии по степеням свободы и методы статистической физики, Рэлей в 1900 г.
нашел аналитическое выражение для объемной плотности энергии равновесного излучения wω(ω,T) и получил, чтоwω(ω,T) ∼ ω 2kT ,где k − постоянная Больцмана.Спустя пять лет Джинс более подробно развил метод, предложенный Рэлеем, и получил уточненное выражение для объемной плотности энергии излучения абсолютно черного телаω2wω (ω , T ) = 2 3 kT .π c(1.18)Выражение (1.18) получило название формулы РэлеяДжинса для теплового излучения.
Воспользовавшись (1.8), формулу Рэлея-Джинса можно записать для испускательной способности абсолютно черного телаω2r0 (ω , T ) = 2 2 kT .(1.19)4π cЭта формула хорошо согласуется с экспериментальными данными при больших длинах волн, поэтому она с успехом используется в длинноволновой инфракрасной области спектра и в радио-14диапазоне. При коротких длинах волн (больших частотах), соответствующих ультрафиолетовой части спектра, наблюдается резкое расхождение опытных данных с формулой Рэлея-Джинса.Кроме того, интегрирование выражения (1.19) по всему частотному диапазону дает бесконечно большое значение, т.е.
энергетическая светимость абсолютно черного тела должна равнятьсябесконечности при любой температуре. Получалось, что безупречная с точки зрения классической физики формула (1.19) приводила к абсурдному результату. Эту ситуацию П.Эренфест назвал “ультрафиолетовой катастрофой”.1.3.
Формула Планка для теплового излученияМногочисленные попытки установить единый закон теплового излучения не дали общего решения задачи и приводили кзаключениям, согласующимися с опытом только в ограниченноминтервале частот. Причина этих неудач оказалась лежащей чрезвычайно глубоко. Дело в том, что законы классической физикиимеют ограниченную область применения.Окончательное решение задачи теплового излучения, − определения явного вида функции Кирхгофа, было найдено Максом Планком в 1900 г.Изучая опытные данные о зависимости испускательнойспособности абсолютно черного тела от частоты (рис.1.1), Планкпришел к выводу, что функция ro(ω,T) должна иметь видr0 (ω , T ) =aω bcω,(1.20)e −1где a, b и с − некоторые постоянные при данной температуре величины.Чтобы найти теоретическое решение поставленной задачи,Планк предложил представить каждый атом абсолютно черноготела как гармонический осциллятор частоты ω, который можетзаключать в себе любое количество энергии, и, следовательно,способный излучать за единицу времени любое количество энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
