Lektsii (1021712), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Рассмотрим кручение стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 10.3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня:

1. поперечные сечения остаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли);

2. расстояния между поперечными сечениями не изменяются, следовательно ;

3. контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси стержня Ог. Отсюда следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны нулю, в том числе и ;

4. материал стержня подчиняется закону Гука. Учитывая, что , из обобщенного закона Гука получаем . Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения , а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно напряженное состояние стержня — чистый сдвиг.

Рис. 10.3. Иллюстрация кручения: а) исходное и б) деформированное состояния

Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения. Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно неподвижного левого на угол (назовем его углом закручивания стержня) вызывает поворот продольных волокон на угол (угол сдвига), поскольку на величину искажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечных рисок модели.

Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будем считать неподвижным (рис. 10.5). При повороте правого сечения на угол в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будет перемещаться по дуге BB₁, вызывая поворот волокна на угол сдвига

Обратим внимание на то, что сдвиг и связанное с ним касательное напряжение перпендикулярны радиусу . Определим , воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига

Рис. 10.4. Распределение касательных напряжений при кручении.

Здесь — погонный угол закручивания стержня, который остается пока неизвестным. Для его нахождения обратимся к условию статики, записав его в более удобной для данного случая форме (рис. 10. 4, a)

Подставляя (10.1) в (10.2) и учитывая, что

где J_p—; полярный момент инерции поперечного сечения (для круга с диаметром d ), получаем

Рис. 10.5. Распределение напряжений для кольцевого сечения

а) разрушение дерева, б) разрушение чугуна
Рис. 10.6. Распределение исходных касательных и главных напряжений:

Подставляя выражение (10.3) в (10.1), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения

Как видно из (10.4), сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстоянию от оси стержня. Обратим внимание на структурные аналогии формул для нормальных напряжений чистого изгиба и касательных напряжений кручения.

Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (10.3). Поскольку величина GJ_p стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке (M_z через нее выражается) тем меньше, чем больше GJ_p, последнюю называют жесткостью поперечного сечения при кручении.

Пользуясь (3) для определения угла закручивания элемента длиной dz

найдем полный угол закручивания стержня длиной l

В случае, если по длине стержня М_z и DJ_p постоянны, получаем

когда эти величины кусочно-постоянны, то:

Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.

Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при

где W_р — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления

.

Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид

где — допускаемое напряжение на кручение.

Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис. 10.7). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d

где , а момент сопротивления определяется по формуле

Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 10.7) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем плоского напряженного состояния. На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникают экстремальные касательные напряжения max-min , а главные напряжения действуют на площадках, наклоненных к оси стержня под углами ; главное напряжение .

Особенности напряженного состояния при кручении нашли отражение в характере разрушения стержней. Так, разрушение стержня из дерева, плохо работающего на скалывание вдоль волокон, происходит от продольных трещин (рис. 8, a). Разрушение стержня из хрупкого металла (например, чугуна) происходит по винтовой линии, наклоненной к образующим под углом 45^o, т. е. по траектории главного напряжения (рис. 8,б).

ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ

Рассмотрим расчетную схему вала, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М и 2М и распределенными по длине: m, рис. 10.7.

Методика построения эпюры аналогична только что рассмотренной методике при растяжении-сжатии.

а) расчетная схема, б) первый участок, левая часть в) второй участок, левая часть г) третий участок, правая часть, д) эпюра внутренних крутящих моментов

Рис. 10.7. Построение эпюры внутренних крутящих моментов:

В исходных сечениях No 1,2 и 3 задаются положительными значениями внутренних крутящих моментов М₁, М₂, М₃. Пусть М=ml.

Для первого участка (рис. 10.7 б):

Для второго участка (рис.10.7 в):

Для третьего участка (рис.10.7 г):

Границы измерения параметра х₃ в следующей системе координат:

Тогда:

Отмеченные значения ординат откладываются на эпюре внутренних крутящих моментов (рис.10.7 д).

Пример.

Стержень переменного круглого сечения жестко заделан в концевых сечениях и нагружен моментом М.

Требуется:

1. Определить величины моментов в заделках.

2. Построить эпюры крутящих моментов Мz(z), наибольших касательных напряжений τ(z), относительных углов закручивания Ѳ(z) абсолютных углов закручивания ϕ(z). Для этого составить на каждом участке соответствующие аналитические выражения и определить в буквенном виде значения характерных ординат.

3. Определить из условия прочности и жесткости допускаемую величину момента М.

4. Построить эпюру касательных напряжений в опасном сечении(по напряжениям) при найденном значении [М].

Данные к задаче:

D=8·10^-² м; l=50·10^-²м; [τ]=80МПа; [Ѳ]=1 гр/м; G=8·10⁴МПа.

Кроме того, индивидуальность задания определяется геометрией стержня и величиной отношения диаметров.

= = 0,85

Решение.

Прежде всего необходимо пояснить, как определяется направление момента условно считается, что если в кружочке обозначения момента стоит точка, то как бы стрела направлена на нас, если крестик, то мы видим оперение стрелы. Так, на рис. 4.9 искомый момент М направлен по часовой стрелке относительно оси стержня, если смотреть с конца оси z.

Перед началом решения полезно определить соотношения геометрических параметров по участкам. Как принято, характерные сечения обозначаем начальными буквами латинского алфавита. Пронумеруем участки: ①-ый участок АВ,②-ой участок ВС и ③-ий участок СD, см. рис.4.9. В качестве эталонного выберем 2-й участок, диаметр которого задан непосредственно в данных к задаче. Все геометрические параметры участков выразим через эталонные. Итак, эталонные параметры:

Характеристики

Список файлов лекций