Lektsii (1021712), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

С учетом соотношений после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию р_x вектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяя это уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям

носящим название формул Коши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы Коши позволяют вычислить через компоненты тензора напряжений

полное напряжение

нормальное напряжение

и касательное напряжение

Среди всех возможных направлений вектора нормали n существуют такие направления, для которых вектор напряжений p_n параллелен вектору п. На соответствующих площадках действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями. Пусть площадка с единичным вектором нормали является главной. Условия коллинеарности векторов p_n и n есть условия пропорциональности их компонент:

С учетом формул Коши получим систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных компонент n_x, n_y, n_z вектора нормали к главной площадке

Эта система уравнений имеет ненулевое решение, если определитель, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль:

Раскрывая определитель, приходим к кубическому уравнению относительно главного напряжения

Здесь введены обозначения

Выше написанное уравнение называется характеристическим уравнением для тензора напряжений. Коэффициенты этого уравнения называются инвариантами тензора напряжений. Решение кубического уравнения имеет три вещественных корня которые обычно упорядочиваются .

Каждому значению (j=1, 2, 3) соответствует вектор n ^j, характеризующий положение j-й главной площадки, с компонентами n ^j₁, n ^j₂, n ^j₃. Для нахождения этих компонент достаточно в уравнения подставить найденное значение и решить любые два из этих уравнений совместно с условием нормировки

Главные напряжения обладают важным свойством: по сравнению со всеми другими площадками нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения. Для доказательства этого свойства достаточно исследовать на экстремум нормальное напряжение как функцию n_x, n_y, n_z при дополнительном ограничении. Можно показать, что три главные площадки, соответствующие главным напряжениям , взаимно перпендикулярны или, что то же самое, векторы n^j и n^k, соответствующие различным значениям j и k —; ортогональны. Условие ортогональности имеет вид

Кубическое уравнение можно переписать в виде

Получим следующие выражения для инвариантов через главные напряжения:

Термин «инвариантность» обозначает независимость объекта от выбора системы координат.

Введем среднее напряжение по формуле

Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров , где

Первый тензор называется шаровым, он характеризует изменение объема тела без изменения его формы. Второй тензор, называемый девиатором, характеризует изменение формы. Особенностью девиатора напряжений является равенство нулю его первого инварианта:

Найдем положение площадок, на которых касательные напряжения принимают экстремальные значения. Для этого нужно отыскать экстремумы касательного напряжения. Экстремальные касательные напряжения действуют на площадках, параллельных одной из главных осей и образующих с двумя другими осями угол . По величине эти напряжения равны

При этом на площадках с экстремальными касательными напряжениями присутствуют нормальные напряжения, которые равны

Глава 5. Плоское напряженное состояние

Рассмотрим важный для приложений случай плоского напряженного состояния, реализуемого, например, в плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид

Геометрическая иллюстрация представлена на рис. 5.1. При этом площадки х=const являются главными с соответствующими нулевыми главными напряжениями. Инварианты тензора напряжений равны , а характеристическое уравнение принимает вид

Корни этого уравнения равны

Рис. 5.1. Плоское напряженное состояние.

Рис. 5.2. Главные напряжения

Произвольная площадка характеризуется углом на рис. 5.1 Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через угол следующим образом:

Так как на главных площадках касательное напряжение отсутствует, то, приравнивая нулю выражение (5.2), получим уравнение для определения угла между нормалью п и осью Оу

Наименьший положительный корень уравнения (5.1) обозначим через . Так как tg(х)—периодическая функция с периодом , то имеем два взаимно ортогональных направления, составляющие углы и с осью Оу. Эти направления соответствуют взаимно перпендикулярным главным площадкам (рис. 5.1).

Если продифференцировать соотношение (5.1) по и приравнять производную нулю, то придем к равенству (5.3).

Для нахождения ориентации площадок с экстремальными касательными напряжениями приравняем нулю производную от выражения

,

откуда получим

Сравнивая соотношения (5.3) и (5.4), находим, что

Это равенство возможно, если углы и отличаются на угол . Следовательно, направления площадок с экстремальными касательными напряжениями отличаются от направлений главных площадок на угол (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Экстремальность касательных напряжений

Величины экстремальных касательных напряжений получим после подстановки (5.4) в соотношение (5.2) и используя формулы

.

После некоторых преобразований получим

Сравнивая это выражение с полученными ранее значениями главных напряжений, выразим экстремальные касательные напряжения через главные напряжения

(5.5)

Аналогичная подстановка в (5.1) приводит к выражению для нормальных напряжений на площадках с

(5.6)

Полученные соотношения позволяют проводить расчет конструкций на прочность в случае плоского напряженного состояния.

Глава 6. Упругое деформирование. Обобщённый закон Гука.

Действие внешних сил на твердое тело приводит к возникновению в точках его объема напряжений и деформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь между напряжениями на различных площадках, проходящих через эту точку, определяются уравнениями статики и не зависят от физических свойств материала. Деформированное состояние, связь между перемещениями и деформациями устанавливаются с привлечением геометрических или кинематических соображений и также не зависят от свойств материала. Для того чтобы установить связь между напряжениями и деформациями, необходимо учитывать реальные свойства материала и условия нагружения. Математические модели, описывающие соотношения между напряжениями и деформациями, разрабатываются на основе экспериментальных данных. Эти модели должны с достаточной степенью точности отражать реальные свойства материалов и условия нагружения.

Наиболее распространенными для конструкционных материалов являются модели упругого тела. Упругость — это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлении взаимно однозначной функциональной зависимости между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойства материалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями (Закон Гука).

Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 6.1), так что тензор напряжений имеет вид

Характеристики

Список файлов лекций