Кратные и криволинейные интегралы (1021366), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Итак, внешняя форма второго порядка полностьюопределяется своими коэффициентами, внешними произведениями форм первогопорядка и параметризованной поверхностью.Пример. Если в пространстве в каждой его точке r = ( x, y, z ) задано поле скоростейдвижения жидкости v = v( x, y, z ) = (v x ( x, y, z ), v y ( x, y, z ), v z ( x, y, z )) , тодифференциальная форма: ω 2 = v x ⋅ dy ∧ dz + v y ⋅ dz ∧ dx + v z ⋅ dx ∧ dy задаётdV, проходящей в единицу времени черезdtбесконечно-малую площадку dS = dr (du )× dr (dv ) параметризованной поверхностиколичество (объём) жидкостиr = r (u , v ) = ( x(u , v ), y (u , v ), z (u , v )) следующим образом:vxvyvzdV= v ⋅ dS = dx(du ) dy (du ) dz (du ) = (v x ⋅ dy ∧ dz + v y ⋅ dz ∧ dx + v z ⋅ dx ∧ dy )(du , dv ) .dtdx(dv ) dy (dv ) dz (dv )( ( ))Вторая строка определителя есть вектор бесконечно-малого перемещения вдоль∂r⋅ du (при изменении параметра u : u → u + du иповерхности S : dr (du ) =∂uнеизменном параметре v ). Аналогично, третья строка определителя есть вектор∂rбесконечно-малого перемещения вдоль поверхности S : dr (dv ) = ⋅ dv (при∂vизменении параметра v : v → v + dv и неизменном параметре u ).
Как принято вфизике, dS = dr (du )× dr (dv ) есть векторное произведение этих векторов, равное помодулю площади этой площадки (параллелограмма, натянутого на эти вектора).Внешняя дифференциальная форма в правой части равенства определяетсяразложением определителя средней части двойного равенства по верхней строке.2.Замена переменных в двойном интеграле.1617Теорема (о замене переменных в двойном интеграле).⎧ x = x(u , v )Пусть ⎨- функции, непрерывные вместе со своими первыми частными⎩ y = y (u, v )производными по u и по v в некоторой области параметров S (u , v ) (на плоскостипеременных u и v ). При этом предполагается, что S (u , v ) имеет вид, указанный втеореме о сведении двойного интеграла к повторному.
Пусть область S (u , v )⎧ x = x(u, v )преобразованием ⎨преобразуется в область S (x, y ) на плоскости⎩ y = y (u , v )переменных x и y . Пусть функция z = f (x, y ) непрерывна по своим переменным вобласти S ( x, y ) . Тогда справедливо следующее равенство:xu'f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(u , v ), y (u , v )) '∫∫xvS (x, y )S (u , v )yu'dudv .yv'Определитель в правой части равенства называется определителем Якоби илиякобианом. Геометрический смысл последнего равенства состоит в том, чтодвойной интеграл в правой части равенства есть предел интегральных суммразбиения области S (u , v ) интегрирования по прямоугольной сетке, а интеграл влевой части равенства есть предел интегральных сумм разбиения области S ( x, y )интегрирования по криволинейной сетке, получаемой из прямоугольнойx ' yu'⎧ x = x(u, v )преобразованием ⎨.
Выражение: det dru , drv = u'dudv есть площадьxv yv'⎩ y = y (u , v )бесконечно-малого элемента разбиения криволинейной сетки (см. рисунок).()Не вдаваясь в подробности доказательства теоремы, заметим, что интегральнуюсумму правой части равенства по криволинейной сетке можно со сколь угодновысокой точностью представить суммой того же интеграла, но по обычнойпрямоугольной сетке, параллельной осям координат. Фактически нужно доказать,что сама криволинейная (гладкая, дифференцируемая) сетка имеет меру нуль.Последнее вытекает из того, что график любой непрерывной (а, тем более,дифференцируемой) функции имеет меру нуль в силу существования интегралаРимана от непрерывной функции.1718Следует заметить, что подинтегральное выражение интеграла:f ( x, y )dxdy∫∫( )S x, yможно рассматривать как внешнюю дифференциальную форму второго порядкавида: ω 2 = f ( x, y )dx ∧ dy .
В этом случае теорема о замене переменных в двойноминтеграле становится формально очевидной, поскольку в силу линейности аантисимметричности внешнего произведения дифференциальных форм первогопорядка (так же, как и у определителей и произведений Грассмана) видно, что:dx ∧ dy = xu' du + xv' dv ∧ yu' du + yv' dv = xu' yu' (du ∧ du ) + xu' yv' (du ∧ dv ) + xv' yu' (dv ∧ du ) + xv' yv' (dv ∧ dv ) =() ()xu'= 0 + x y (du ∧ dv ) + x y (− (du ∧ dv )) + 0 = x y − x y (du ∧ dv ) = 'xvутверждалось.'u'v'v'u('u'v'v'u)yu'dudv , что иyv'Пример.
Вычислим объём полушара с помощью преобразования декартовых координатв полярные. Область полушара представим как область, ограниченную плоскостьюz = 0 (плоскость XOY ) и графиком функции полусферы радиуса R : x 2 + y 2 + z 2 = R 2()или: z = R 2 − x 2 + y 2 .Формулы преобразования из декартовых координат ( x, y ) в полярные координатыx = r ⋅ cos(ϕ )(r ,ϕ ) имеют вид: ⎧⎨.
Сравнивая формулы преобразования с теорией, видим,⎩ y = r ⋅ sin (ϕ )что: u = r; v = ϕ .Вычислим элемент площади в полярных координатах:1⋅ cos(ϕ )1⋅ sin (ϕ )x ' y r'(r cos(ϕ ))'r (r sin (ϕ ))'rdx ∧ dy = r'dr∧dϕ=dr ∧ dϕ ='' dr ∧ dϕ ='xϕ yϕr ⋅ (− sin (ϕ )) r cos(ϕ )(r cos(ϕ ))ϕ (r sin (ϕ ))ϕ= r (cos 2 (ϕ ) + sin 2 (ϕ ))dr ∧ dϕ = r ⋅ dr ∧ dϕ . Геометрический смысл этой формулы ясен изследующего рисунка.Положительность якобиана следует из сохранения ориентации элемента площади(смотри рисунок).Итак, вычисляем объём полушара:ϕ = 2π r = RVшара⎛⎞22222= ∫∫ R − (x + y )dx ∧ dy = ∫∫ R − r dr ∧ (rdϕ ) = ∫ ⎜⎜ ∫ R 2 − r 2 rdr ⎟⎟dϕ2S (x, y )S ( r ,ϕ )ϕ =0 ⎝ r = 0⎠Поскольку внутренний интеграл от ϕ не зависит, его можно вынести за знак внешнегоинтеграла как константу (постоянную):ϕ = 2πr =RVшара ⎛ r = R 2 2⎞ϕ =2π⎞⎛⎞⎛= ⎜⎜ ∫ R − r rdr ⎟⎟ ∫ dϕ = ⎜ ∫ R 2 − r 2 d ∫ rdr ⎟⎜ ∫ d ϕ⎟=2r =0 ⎠⎝ϕ =0 ⎠⎝⎝ r =0⎠ ϕ =0( )( )18191⎛⎛ 1⎞= ⎜⎜ ∫ R 2 − r 2 2 ⎜ − ⎟d R 2 − r 2⎝ 2⎠⎝()()()122⎞⎛ 1⎞ R −r 2⎟⎟(2π − 0) = ⎜ + ⎟1r =0 ⎠⎝ 2⎠+12r =R+1⎛2⎞⋅ 2π = ⎜ ⎟πR 3 .r =R⎝3⎠r =04Отсюда получаем известную формулу для объёма шара: Vшара = πR 3 .3Менее тривиальный пример замены переменных в двойном интеграле даёт следующая222задача: вычислить площадь внутри астроиды: x 3 + y 3 = R 3 .⎧ x = r ⋅ cos 3 (ϕ ).
Область интегрирования вУказание: выполнить замену переменных ⎨3⎩ y = r ⋅ sin (ϕ )⎧ (0 ≤ r ≤ R )астроидальных координатах определяется так: S (r ,ϕ ) : ⎨.⎩(0 ≤ ϕ ≤ 2π )Примечание. Фигура астроиды имеет вид, похожий на фигуру бубновой масти иRпредставляет собой траекторию точки окружности радиуса , катящейся внутри4окружности радиуса R . Читателю рекомендуется проверить этот факт методамианалитической геометрии.Вывод параметрического уравнения астроиды.31⎛3⎞ ⎛1⎞r (ϕ ) = ( x(ϕ ), y (ϕ )) = r1 + r2 = ⎜ r ⋅ cos(ϕ ), r ⋅ sin (ϕ )⎟ + ⎜ ⋅ cos(ϕ − 4ϕ ), ⋅ sin (ϕ − 4ϕ )⎟ .44⎝4⎠ ⎝4⎠Косинус и синус тройного угла вычисляем по формулам Муавра – Лапласа:(cos(3ϕ ) + i ⋅ sin (3ϕ )) = (cos(ϕ ) + i ⋅ sin (ϕ ))3 = cos 3 (ϕ ) + 3 cos 2 (ϕ )sin (ϕ ) ⋅ i + 3 cos(ϕ )sin 2 (ϕ ) ⋅ i 2 + sin 3 (ϕ ) ⋅ i 3Приравнивая действительные и мнимые части этого равенства, получаем:cos(3ϕ ) = cos 3 (ϕ ) − 3 cos(ϕ )(1 − cos 2 (ϕ )) = 4 cos 3 (ϕ ) − 3 cos(ϕ ) иsin (3ϕ ) = 3(1 − sin 2 (ϕ ))sin (ϕ ) − sin 3 (ϕ ) = 3 sin (ϕ ) − 4 sin 3 (ϕ ) .Отсюда:rrx = (3 cos(ϕ ) + cos(3ϕ )) = 3 cos(ϕ ) + 4 cos 3 (ϕ ) − 3 cos(ϕ ) = r cos 3 (ϕ ) и44rry = (3 sin (ϕ ) − sin (3ϕ )) = 3 sin (ϕ ) − 3 sin (ϕ ) − 4 sin 3 (ϕ ) = r sin 3 (ϕ ) .44Приводим вычисление площади астроиды, выполненное на языке Maple ([Maple]).> with(LinearAlgebra):(()())1920x:=r*cos(f)^3;y:=r*sin(f)^3;iak:=<<diff(x,r) | diff(y,r)>,<diff(x,f) | diff(y,f)>>;det:=Determinant(iak);det:=simplify(det);Int(Int(det,r=0..R),f=0..2*Pi)=int(int(det,r=0..R),f=0..2*Pi);>§8Поверхностные интегралы первого рода.Пусть имеется параметрическое уравнение поверхности r = r (u , v ) или, в⎧ x = x(u , v )⎧x⎧ x(u, v )⎪⎪⎪скалярном виде: ⎨ y = y (u , v ) , где r = ⎨ y , r (u, v ) = ⎨ y (u, v ) .
Тогда площадь бесконечно⎪ z = z (u, v )⎪z⎪ z (u, v )⎩⎩⎩малого элемента криволинейной сетки dS определяется модулем векторногоi⎛ ∂r ⎞ ⎛ ∂r ⎞произведения: dS = ⎜ du ⎟ × ⎜ dv ⎟ = xu'⎜ ∂u ⎟ ⎜ ∂v ⎟⎝⎠ ⎝⎠ x'vjyu'yv'kzu' ⋅ du ⋅ dv векторных дифференциаловz v'сетки участка поверхности S ( x, y, z ) , получаемых из векторов (du ,0 ),(0, dv )S (u, v ) преобразованием r = r (u , v ) .элементапрямоугольной сетки плоского участкаОпределение поверхностного интеграла первого рода дадим на модельнойзадаче определения массы участка поверхности S ( x, y, z ) , если в каждой точке этого2021участка дана его поверхностная плотностьdmdS= ρ ( x, y, z ) . Тогда значение массыучастка S ( x, y, z ) даётся значением поверхностного интеграла первого рода общеговида, где подинтегральноя функция есть поверхностная плотность поверхности:M (S ) =dm= ∫∫∫∫ dm()(S x, y,z )S x, y,z(dSidS =∫∫ ρ) (x, y, z )d S = ( ∫∫ ρ) (x, y, z ) | x(S x, y ,zS x, y ,z'u'vx)jk'u'vz u' | ⋅du ⋅ dv .yz v'yЗдесь i, j, k тройка единичных декартовых векторов (ортов), направленных вдольосей декартовой системы координат.Разлагая определитель в интеграле по верхней строке и, беря модуль полученноговектора, получаем формулу для поверхностного интеграла первого рода в скалярномвиде:M (S ) =ρ (x, y, z ) ⋅∫∫()yu'zu''v'vyS x, y , zz2+zu'xu''v'vzx2+xu'yu''v'vxy2⋅ du ⋅ dv .Заметим, что с помощью подобного рода интегралов удобно получать также центрытяжести и моменты инерции поверхностей в пространстве.Задача.
Найти поверхность тела вращения плоской кривой, заданной в плоскости XOZуравнением z = f (x ) и получаемого вращением этой кривой вокруг оси OZ .Решение. Нетрудно видеть, что параметрическое уравнение этого тела вращения имеет⎧ x = r ⋅ cos(ϕ )⎧r = u⎪вид: ⎨ y = r ⋅ sin (ϕ ) . Здесь ⎨.⎩ϕ = v⎪ z = f (r )⎩Элемент поверхности этого тела вращения примет вид:dS =(r ⋅ sin (ϕ ))'r ( f (r ))'r(r ⋅ sin (ϕ ))ϕ'02(r ⋅ cos(ϕ ))'r ( f (r ))'r+(r ⋅ cos(ϕ ))ϕ'02(r ⋅ cos(ϕ ))'r (r ⋅ sin (ϕ ))'r+(r ⋅ cos(ϕ ))ϕ' (r ⋅ sin (ϕ ))ϕ'2dr ⋅ dϕ .Раскрывая определители, получаем:dS =( f (r )) r (cos (ϕ ) + sin (ϕ ))+ r (cos (ϕ ) + sin (ϕ ))dr ⋅ dϕ = ( f )'2 222222' 2r+1⋅r ⋅ dr ⋅ dϕ.Итак, искомая площадь поверхности даётся формулой:ϕ = 2π r = R⎛⎞⎧ (0 ≤ r ≤ R )2S = ∫ ⎜⎜ ∫ ( f r' ) + 1⋅r ⋅ dr ⎟⎟ ⋅ dϕ , предполагая, что: S (r ,ϕ ) : ⎨.()≤≤0ϕ2π⎩ϕ =0 ⎝ r =0⎠Задача.
Найти площадь поверхности полусферы радиуса R .Решение. Воспользуемся решением предыдущей задачи. В данном случае имеемвращение четверти окружности радиуса R , уравнение которой имеет вид:2122z = f (r ) = R 2 − r 2 . Отсюда: f ' (r ) =12⋅ R2 − r 2⋅ (− 2r ⋅ dr ) Тогда, используя решениепредыдущей задачи, получаем:S сферы2ϕ = 2π=∫ϕ =0⎞⎛⎛ 1⎞⎟⎜ r = R R ⋅ ⎜ − ⎟d R 2 − r 2ϕ = 2π2⎞⎛ r =Rr2⎠⎝⎜⎟⎜+ 1 ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = ∫ dϕ ∫⋅ dr ⎟ =22⎟⎜⎟⎜ r∫=0 R 2 − r 2R −rϕ =0⎠⎝⎟⎜ r =0⎠⎝(z =R2 −R2⎛ 1⎞= 2πR⎜ − ⎟ ∫⎝ 2 ⎠ z = R 2 −0 2)⎞⎛ − 1 +12⎟⎜2zR=Sdz⎛ 1⎞ z| ⎟ = 2πR ⋅ R = 2πR 2 = сферы .= 2πR⎜ + ⎟⎜2z⎝ 2 ⎠⎜⎜ − 1 + 1 z =0 ⎟⎟⎠⎝ 2Отсюда получаем известную формулу для вычисления площади сферы:S сферы = 4πR 2 .§9Поверхностные интегралы второго рода и их физический смысл.Определение. Поверхностные интегралы второго рода (в трёхмерном евклидовомпространстве) суть интегралы от внешних дифференциальных форм второго порядкаω 2 по участку поверхности S 2 ( x, y, z ) :∫∫ω (x, y, z, dx, dy, dz ) .2S2 ( x , y , z )Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
