Кратные и криволинейные интегралы (1021366), страница 8
Текст из файла (страница 8)
.........................................................................................242. Теорема (формула) Стокса. .......................................................................................243. Теорема (формула) Гаусса – Остроградского..........................................................255. Теорема Лейбница – Ньютона...................................................................................276.
Пример использования теоремы Пуанкаре..............................................................27§ 11 Пример решения задания по кратным и криволинейным интегралам..................283334Часть 2. Элементы теории определённого и кратного интеграла.Введение.Прежде чем доказывать условия существования кратного интеграла, необходиморассмотреть простые достаточные условия существования определённого интегралаb∫ f (x )dx , а именно: непрерывность подинтегральной функции и компактность областиaинтегрирования – отрезка (точнее, сегмента) [a, b] как множества точек x числовой оси,удовлетворяющих двойному неравенству: (a ≤ x ≤ b ) . К сожалению, тот факт, чтоопределённый интеграл от функции, не меняющей знак в области интегрирования[a, b] , есть именно ориентированная площадь криволинейной трапеции, в учебнойлитературе недостаточно подчёркивается.
Наша основная цель – более внимательнорассмотреть такие фундаментальные понятия, как площадь и объём.§ 1.Определённый интеграл.bОбозначение. S = ∫ f ( x ) ⋅ dx . Здесь f (x ) есть подинтегральная функция, a и b aпределы интегрирования, причём a - нижний предел, b - верхний предел, x переменная интегрирования – так называемая связанная переменная. Для этойпеременной можно менять обозначение. Например, справедливо равенство:bbaaS = ∫ f (x ) ⋅ dx = ∫ f ( z ) ⋅ dz .
Если похожая переменная встретится в верхнем или нижнемпределе интеграла, то это – свободная переменная, которую нельзя переобозначать (вовсяком случае, без дополнительных переобозначений в других местах).Определение 1. Определённый интеграл (геометрический) для знакопостояннойподинтегральной функции есть ориентированная площадь криволинейной трапеции, тоесть фигуры, определяемой множеством точек, координаты которых удовлетворяютнеравенствам: (a ≤ x ≤ b ) или (a ≥ x ≥ b ) и (0 ≤ y ≤ f ( x )) или ( f ( x ) ≤ y ≤ 0 ) .Ориентированная площадь есть площадь со знаком. Знак этой площади определяетсяследующим образом (см. рисунок).1 случай. (a ≤ b ) и ( f ( x ) ≥ 0 ) .
В этом случае S = S ≥ 0 .2 случай. (a ≤ b ) и ( f ( x ) ≤ 0 ) . В этом случае S = − S ≤ 0 .3 случай. (a ≥ b ) и ( f ( x ) ≥ 0 ) . В этом случае S = − S ≤ 0 .4 случай. (a ≥ b ) и ( f ( x ) ≤ 0 ) . В этом случае S = S ≥ 0 .3435Определение 1. Определённый интеграл (геометрический) для знакопеременнойподинтегральной функции есть алгебраическая сумма определённых интегралов от еёзнакопостоянных частей.2021 22 3Пример. ∫ x ⋅ dx = ∫ x ⋅ dx + ∫ x ⋅ dx = − += .2 2 20−1−1Теорема существования определённого интеграла.Если подинтегральная функция f ( x ) непрерывна на сегменте [a, b] (иначе, для любогоx0 , такого, что a ≤ x0 ≤ b или a ≥ x0 ≥ b предел от функции будет равен функции отbпредела, то есть: lim f ( x ) = f ⎛⎜ lim x ⎞⎟ ≡ f ( x0 ) ) , то S = ∫ f ( x ) ⋅ dx существует.x→ x0⎝ x → x0 ⎠aВ следующей лекции после уточнения понятия интеграла требование на поведениеподинтегральной функции внутри области интегрирования будет несколько ослаблено.§ 2.Способы вычисления «наивного» определённого интеграла.Вычисление определённого интеграла как площади криволинейной трапецииможет быть выполнено двумя способами.Первый способ – вычисление площади путём замены криволинейной трапеции наблизкую по площади фигуру с последующим прямым суммированием частей этойфигуры.Второй способ - составление дифференциального уравнения для площадикриволинейной трапеции с последующим его решением.ϕПример вычисления по первому способу.
Вычислим∫ sin (x ) dx .0Делим отрезок [0,ϕ ] на n равных частей. Заменяем криволинейную трапецию (точнее,криволинейный треугольник) (0 ≤ x ≤ ϕ ) , (0 ≤ y ≤ sin ( x )) на близкую по площадиступенчатую фигуру (см. левый рисунок).3536Обозначим: dx = Δ =ϕ.
Тогда площадь ступенчатой фигуры (интегральная сумма),nприблизительно равная интегралу (при больших n ) будет равна (с точки зренияалгебраиста):ϕ(sin (Δ ) + sin (2 Δ ) + … + sin (n Δ )) ⋅ Δ ≈ ∫ sin (x ) dx .0Левую часть приблизительного равенства преобразуем так:(sin (Δ ) + sin (2Δ ) + … + sin (nΔ )) ⋅ Δ =(sin (Δ ) + sin (2Δ ) + … + sin (nΔ ))⋅ sin⎛⎜ Δ ⎞⎟ ⋅ Δ⎛Δ⎞sin ⎜ ⎟⎝2⎠Раскрывая скобки в числителе и вспоминая тригонометрическое⎝2⎠.Δ⎞Δ ⎞⎞⎛ Δ ⎞ −1 ⎛ ⎛⎛sink⋅Δ⋅sincoskcosk()=⋅Δ+−⋅Δ−⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎟ , преобразуемравенство:⎜2⎠2 ⎠ ⎟⎠⎝ 2⎠ 2 ⎝ ⎝⎝предыдущее равенство следующим образом:⎛ ⎛3 ⎞Δ⎞Δ ⎞⎞⎛1 ⎞⎛5 ⎞⎛3 ⎞⎛⎛− ⎜⎜ cos⎜ Δ ⎟ − cos⎜ Δ ⎟ + cos⎜ Δ ⎟ − cos⎜ Δ ⎟ + … + cos⎜ n ⋅ Δ + ⎟ − cos⎜ n ⋅ Δ − ⎟ ⎟⎟ ⋅ Δ2⎠2 ⎠⎠⎝2 ⎠⎝2 ⎠⎝2 ⎠⎝⎝⎝ ⎝2 ⎠.⎛Δ⎞2 ⋅ sin ⎜ ⎟⎝2⎠Учитывая, что внутренние слагаемые взаимно уничтожаются при приведенииподобных членов, получаем:⎛Δ⎞⎜ ⎟⎛ ⎛Δ⎞⎛ Δ ⎞⎞ ⎝ 2 ⎠− ⎜⎜ cos⎜ n ⋅ Δ + ⎟ − cos⎜ ⎟ ⎟⎟. Переходя к пределу при n → ∞, Δ → 0 и учитывая,2⎠⎝ 2 ⎠ ⎠ sin ⎛ Δ ⎞⎝ ⎝⎜ ⎟⎝2⎠⎛Δ⎞⎜ ⎟2что n ⋅ Δ = ϕ и что дробь ⎝ ⎠ стремится к единице как первый замечательный⎛Δ⎞sin ⎜ ⎟⎝2⎠ϕпредел, получаем в пределе: ∫ sin ( x ) dx = −(cos(ϕ − 0 ) − cos(0 )) ⋅1 = 1 − cos(ϕ ) .0Геометр решил бы эту задачу ещё проще (см.
правый рисунок выше). На рисунке n = 4 ,ϕϕ00ϕ = 4 ⋅ Δ , AC = ∫ sin (x ) dx = 1 − cos(ϕ ); OA = ∫ cos( x ) dx = sin (ϕ ) .bПример вычисления по второму способу. Вычислим S = ∫ f ( x ) ⋅ dx .axПусть S ( x ) = ∫ f ( z ) ⋅ dz . Тогдаad1S (x ) =dxdxx + dx1∫ f (z )dz ≈ dx ( f (x ) + ω (x ))⋅ dx ≈ f (x ) . Здесьxω ( x ) - бесконечно – малое колебание непрерывное функции f (x ) на отрезке длинойdx от точки x до точки x + dx . Общее решение этого дифференциального уравненияdS ( x ) = f ( x ) есть S ( x ) = ∫ f ( x ) = F ( x ) + C - неопределённый интеграл как множествоdx3637aпервообразных F ( x ) .
Константа C ищется исходя из того, что S (a ) = ∫ f ( x )dx = 0(площадь отрезка от точки (x,0 ) до точки (x, f ( x )) равна нулю). Итак:xS (a ) = F (a ) + C = 0; C = − F (a ) и S ( x ) = F ( x ) − F (a ) ≡ F ( x ) | илиax∫aaxf ( z )dz = ∫ f ( z )dz | aрешение задачи скорее по Ньютону, чем по Лейбницу.§ 3.Элементы теории определённого интеграла.Определение интегральной суммы. Интегральная сумма даёт приближённое значениеопределённого интеграла и вычисляется по следующему алгоритму.
Для простотыбудем считать, что a < b (нижний предел интеграла меньше верхнего) и f ( x ) ≥ 0 , тоесть подинтегральная функция неотрицательна, следовательно, определённый интегралнеотрицателен.Шаг 1. Разбиваем сегмент интегрирования [a, b] точками разбиения: x0 , x1 , …, x n ,причём: a = x 0 < x1 < x 2 < … < x k < … < x n −1 < x n = b .Шаг 2. В каждом сегменте разбиения [Δx k ] = [x k , x k +1 ] произвольно выбираем точку,принадлежащую этому сегменту: ~x k ∈ [Δx k ] или: (x k ≤ ~x k ≤ x k +1 ) , где k = 0,1,… n − 1 .Шаг 3. Вычисляем сумму:k =n−1Σ = Σ f (~xk )Δxk = f (~x0 )Δx0 + f (~x1 )Δx1 + …+ f (~xn−1 )Δxn−1 , гдеk =0∫(Δxk = xk +1 − x k ) - (ориентированная) длина сегмента разбиения.Геометрический смысл интегральнойсуммы (см.
рисунок): Интегральнаясумма есть ориентированная площадьступенчатой фигуры, причём высотаступеньки на каждом сегментеразбиения [Δxk ] равна: f (~xk ) .Определение. Мелкость разбиения (какфункция данного разбиения) естьмаксимальная из длин сегментовразбиения: ρ {k } = max( Δx k ) по всем(k )сегментам разбиения.Очевидно, интегральная сумма придостаточно малой мелкости разбиения должна с хорошей точностью приближаться копределённому интегралу как ориентированной площади криволинейной трапеции –фигуры, ограниченной двумя прямыми: x = a и x = b , осью абсцисс OX и графикомподинтегральной функции y = f ( x ) .Определение. Определённый интеграл (алгебраический) есть предел интегральныхbсумм, когда мелкость разбиения стремится к нулю:∫ak = n −1f (x )dx ≡ lim Σ f (~x k )Δx k . Приρ {k }→0 k = 03738этом этот предел не должен зависеть от выбора точек разбиения {x k } , а также от выбораточек {~x k } внутри сегментов разбиения.Историческая справка.
Указанное определение интеграла было введено в математикунемецким математиком Б. Риманом в середине 19 века, поэтому этот интеграл влитературе называется интегралом Римана.Простое достаточное условие существования интеграла Римана.Теорема. Если подинтегральная функция f (x ) непрерывна на сегменте интегрирования[a, b] (это значит, чтоb∫alim f ( x ) = f ⎛⎜ lim x ⎞⎟ = f ( x0 ) при a ≤ x0 ≤ b ), то интеграл Римана:⎝ x → x0 ⎠x → x0k = n −1f (x )dx ≡ lim Σ f (~x k )Δx k безусловно, существует.ρ {k }→0 k = 0Схема (план) доказательства этой теоремы.Основная лемма 1.
Интегральная сумма удовлетворяет критерию Коши существованияпредела. Иначе говоря, для любого ε > 0 найдётся δ (ε ) > 0 , такое что для любых двухинтегральных сумм, мелкость разбиения каждой из которых не превосходит δ (ε ) ,модуль разности этих сумм не превзойдёт ε . Тем самым будет достаточно доказатьсуществование предела только для сумм специального вида, а именно, верхних илинижних сумм Дарбу. Г. Дарбу – французский математик, жил в начале 20 века.Определение. Верхние суммы Дарбу определяются тем, что для данного разбиения[a, b] на каждом сегменте разбиения [Δxk ] = [xk , xk +1 ] точка ~xk ∈ [Δxk ] (точка шага 2)выбирается так, чтобы f (~x k ) = max f ( x ) по всем x , принадлежащим [Δxk ] .Аналогично, нижние суммы Дарбу (см.
рисунок) определяются тем, что на каждомсегменте разбиения [Δx k ] = [x k , x k +1 ] будет f (~x k ) = max f ( x ) по всем x ∈ [Δx k ] .Лемма 2 (необходимая для доказательства основной леммы). Если функция f ( x )непрерывна не сегменте [a, b] , то она равномерно непрерывна на нём.Определение. Функция f (x ) равномерно непрерывна на множестве {x}, если длялюбого ε > 0 существует δ (ε ) > 0 такое, что для любо пары точек x1 , x 2 , лежащих в3839{x} (то естьx1 ∈ {x} и x 2 ∈ {x} ), таких, что x 2 − x1 < δ (ε ) независимо от расположенияэтих точек на множестве {x} всегда будет f ( x 2 ) − f (x1 ) < ε .Ввиду важности для дальнейшего изложения введём понятие колебания функции намножестве значений аргумента (в частности, на сегменте [a, b] : (a ≤ x ≤ b ) ).Определение. Колебание функции на множестве значений аргумента есть разностьмежду максимальным и минимальным значением функции на этом множестве.1Контрпример на лемму 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
