Кратные и криволинейные интегралы (1021366), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Имеется в виду тот факт, чтовсе точки, хотя бы одна координата которых рациональна, могут бытьпокрыты полосами сколь угодно малой суммарной площади (используетсясвойство счётности рациональных чисел, подробнее об этом ниже).3.§5Основные свойства кратных интегралов.Эти свойства, в основном, аналогичны свойствам обыкновенных однократныхопределённых интегралов.Свойство 1. Кратный интеграл есть линейная функция относительно своегоподинтегрального выражения:∫∫ (k1 ⋅ f1 (x, y ) + k 2 ⋅ f 2 (x, y )) dxdy = k1 ∫∫ f1 (x, y )dxdy + k 2 ∫∫ f 2 (x, y )dxdy .(S )(S )(S )В частности, интеграл от суммы равнее сумме интегралов, а постоянныймножитель можно выносить за знак интеграла.1213Свойство 2.
Кратный интеграл есть (в некотором смысле) также линейнаяфункция и от своей области интегрирования. Именно: если S1 + S 2 естьобъединение областей интегрирования S1 и S 2 , а S1 ⋅ S 2 - их пересечение (общаячасть), то:∫∫ f (x, y )dxdy = (∫∫) f (x, y )dxdy + (∫∫) f (x, y )dxdy − ( ∫∫ )f (x, y )dxdy .( S1 + S 2 )S1S1⋅S 2S2В частности, если пересечение двух множеств имеет меру нуль, то есть можетбыть покрыто многоугольником сколь угодно малой площади, то:∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (x, y )dxdy + ∫∫ f (x, y )dxdy .( S1 + S 2 )( S1 )(S2 )Это свойство напоминает линейность интеграла но уже относительно областиинтегрирования (в топологии область (цепь) можно также умножать и нацелочисленный коэффициент).Свойство 3.
Если dxdy > 0 , то есть ориентация области совпадает с ориентациейосей OX и OY , то неравенство можно интегрировать:⎛⎞( f 1 ( x , y ) ≥ f 2 ( x , y )) ⇒ ⎜⎜ ∫∫ f 1 ( x , y )dxdy ≥ ∫∫ f 2 ( x , y )dxdy ⎟⎟ .(S )⎝ (S )⎠Свойство 4. Модуль интеграла не превышает интеграла от модуля:f ( x, y ) dxdy .∫∫ f (x, y )dxdy ≤ ∫∫( )(S )SЭто свойство вытекает из аналогичного свойства для (интегральных) сумм.Свойство 5 (теорема о среднем). Если выполнены достаточные условия теоремысуществования двойного интеграла ( f ( x, y ) непрерывна на замкнутой иограниченной области S ), то внутри области интегрирования S найдётся такаяx, ~y ) , что справедливо равенство:точка (~f ( x, y )dxdy = f (~x, ~y )dxdy = f (~x, ~y ) dxdy = f (~x, ~y )⋅ S .∫∫( )S∫∫( )S∫∫( )SПриведём краткое доказательство этой теоремы.Теорема вытекает из известного факта от том, что непрерывная функция f ( x, y )на компактном множестве S достигает любого значения между максимумом иминимумом этой функции на S .
Далее, по теореме об интегрированиинеравенств (при dxdy < 0 неравенства меняются на противоположные) видно,что:⎛⎞(min( f ) ≤ f (x, y ) ≤ max( f )) ⇒ ⎜⎜ ∫∫ min( f )dxdy ≤ ∫∫ f (x, y )dxdy ≤ ∫∫ max( f )dxdy ⎟⎟ .SS⎝S⎠Деля двойное неравенство в правой части на S , получаем:111min ( f )dxdy = min ( f ) ≤ ∫∫ f (x, y )dxdy ≤ ∫∫ max( f )dxdy = max( f ) .∫∫S SS SS S1f ( x, y )dxdy есть значение между максимумом и минимумомS ∫∫Sf ( x, y ) , то найдётся такая точка (~x, ~y ) внутри S , что:Так как1f (~x, ~y ) = ∫∫ f ( x, y )dxdy .
Умножая последнее равенство на S , получаем то,S Sчто требовалось доказать.1314§6Сведение двойного интеграла к повторному.Теорема (о вычислении двойного интеграла). Если область интегрирования имеет вид:S : ((a ≤ x ≤ b ); (ϕ1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ))) , где ϕ1 (x ), ϕ 2 ( x ) - непрерывные функции, и f ( x, y )непрерывна на S , то справедливо равенство:x =b ⎛ y =ϕ2 ( x )⎞f (x, y )dxdy = ∫ ⎜ ∫ f (x, y )dy ⎟dx .∫∫⎜ ϕ⎟( )x =aS⎝ y = 1( x )⎠Доказательство. Делаем разбиение двойного интеграла такое же, как в определениидвойного интеграла. Введём обозначение: Φ ( x ) =y =ϕ 2 ( x )∫ f (x, y )dy . Разбиваем интеграл вy =ϕ1( x )правой части равенства теоремы в соответствии с разбиением сегментаx =b[a, b] : ∫ Φ(x )dx =k = m −1 x = xk +1∫ Φ(x )dx =∑k =0x=ax = xk +1x = xk∑ Φ(~x )Δxkx = xkk.
Здесь мы воспользовались теоремойо среднем для обычного определённого интеграла и обозначением: Δxk = xk +1 − xk .Далее, для заданного разбиения сегмента [min ϕ1 ( x ), max ϕ 2 (x )] вдоль оси OY видно,что:Φ (~xk ) =y =ϕ 2 ( ~xk )∫f (~xk , y )dy =l = n −1 y = y l +1y =ϕ1( ~xk )∑ ∫l =0l = n −1~~~f ( xk , y )dy = ∑ f (~xk , ~yl )Δyll =0y = yl.В последнем равенстве мы опять воспользовались теоремой о среднем. Здесь~Δyl = yl +1 − yl . Функция f ( x, y ) совпадает с f ( x, y ) , если ( x, y ) ∈ S и равна нулю вl = n −1противном случае.
Подставляя~∑ f (~x , ~y )Δykl =0(правая часть равенства теоремы):lв выражение для повторного интегралаlx = xk +1∑ Φ(~x )Δxx = xkkk, получаем, что значение повторногоинтеграла есть разновидность интегральной суммыk = m −1 l = n −1∑ ∑ f (~x , ~y )Δx Δyk =0l =0klklдля двойногоинтеграла левой части равенства теоремы. Поскольку достаточные условиясуществования двойного интеграла в данном случае выполнены, выражениеk = m −1 l = n −1∑ ∑ f (~x , ~y )Δx Δyk =0l =0klklсколь угодно мало отличается от двойного интеграла, то естьпросто равно ему, что и требовалось доказать.Доказанная теорема даёт возможность вычислять двойные интегралы, сводя их кповторным интегралам.Пример вычисления двойного интеграла.
Требуется вычислить объём верхнейполовины шара x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 ; z ≥ 0; радиуса R с центром в начале координат.Решение. Из геометрических соображений видно, что параметры повторного интеграласледующие:a = − R; b = + R; ϕ1 ( x ) = − R 2 − x 2 ; ϕ 2 ( x ) = + R 2 − x 2 ;()z = f ( x, y ) = R 2 − x 2 + y 2 .1415Отсюда получаем: ∫∫ f ( x, y )dxdy =(S )Vшара2⎛ y =+= ∫ ⎜⎜x=− R y =−⎝x=+ RR2 − x2∫2R −x(R22⎞− x 2 − y 2 dy ⎟dx .⎟⎠)Обозначим r = R 2 − x 2 и сделаем замену во внутреннем определённом интеграле:⎛ y⎞y = r ⋅ sin (ϕ ) , ϕ = arcsin⎜ ⎟ . Вычисляем значение внутреннего интеграла:⎝r⎠ϕ = arcsinΦ(x ) =(+ r )∫(ϕ = arcsinr−r )rr 2 − (r ⋅ sin (ϕ ))2d (r ⋅ sin (ϕ ))dϕ =dϕπϕ =+πϕ =+2222∫ r ⋅ cos (ϕ )dϕ = rϕ =−π2∫πϕ =−2π1 + cos(2ϕ )dϕ =22π+⎛⎞⎛ +⎞2ϕ = + π2⎟ r 2 ⎛⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎞r2 ⎜d (2ϕ ) 2ϕ =+π ⎟ r 2 ⎜ 2 1r2= ⎜ ∫ dϕ + ∫ cos(2ϕ )()=+sin20ϕϕ=+−−+=π⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎟ 2⎜ 2⎟π2⎜2 2ϕ =−π ⎟⎟ 2 ⎜⎜ − π 222ϕ = −π ⎟⎠ ⎝ 2⎠ ⎠⎝⎝−2⎝⎠⎝ 2⎠Далее, подставляем вычисленное значение внутреннего интеграла во внешний интеграл:3+R+R+RVшара x =+ R ⎛ R 2 − x 2 ⎞π⎛x3 +R ⎞ π ⎛ 2R 3 − (− R ) ⎞⎞ π⎛⎟=⎟⎟dx = ⎜ R 2 ∫ dx − ∫ x 2 dx ⎟ = ⎜⎜ R 2 x −⎟⎟ = ⎜⎜ R (R − (− R )) −= ∫ ⎜⎜ π⎟22 ⎠2⎝2⎝3 −R ⎠ 2 ⎝3−R−R ⎠−Rx =− R ⎝⎠2= π ⋅ R3 .34Отсюда получаем известную формулу для вычисления объёма шара: Vшара = πR 3 .3§7Замена переменных в кратном интеграле.1.Внешнее произведение дифференциальных форм.Определение.
Внешней дифференциальной формой первого порядка отнескольких переменных называется линейная комбинация дифференциалов скоэффициентами при них – функциями этих переменных.Пример. Пусть в пространстве имеется силовое поле, заданное в векторномвиде: F = F r , где F = (Fx , Fy , Fz )- вектор силы в точке r , а r = ( x, y, z ) - радиус-()вектор точки пространства.
Тогда дифференциал работы по перемещениюматериальной точки в силовом поле на бесконечно-малое расстояниеdr = (dx , dy , dz ) есть скалярное произведение силы: F r = F ( x, y, z ) на путь:()dr и может быть представлен в виде дифференциальной формы первого порядкаследующим образом:(()) ()dA = F ⋅ dr ⋅ cos ∠ F , dr = F ⋅ dr = (Fx , Fy , Fz )⋅ (dx, dy, dz ) = Fx ⋅ dx + Fy ⋅ dy + Fz ⋅ dz .Определение. Внешнее произведение двух дифференциальных форм первогопорядка на параметризованной поверхности r = r (u , v ) = ( x(u , v ), y (u , v ), z (u , v ))определяется следующим образом: ω 2 = ω1(1) ∧ ω1(2 ) есть функция (функционал),который на паре дифференциалов (du, dv ) принимает числовое значение1516следующего определителя: (ω1(1) ∧ ω1(2 ) )(du , dv ) =ω1(k ) (du ) = Fx(k )ω1(1) (du ) ω1(2 ) (du ).
Здесь:ω1(1) (dv ) ω1(2 ) (dv )∂y∂y∂x∂xdu + Fy(k ) du (k = 1,2 ) ; ω1(k ) (dv ) = Fx(k ) dv + Fy(k ) dv (k = 1,2 ) .∂u∂u∂v∂vОпределение. Внешняя форма второго порядка есть линейная комбинация внешнихпроизведений дифференциальных форм первого порядка с коэффициентами –функциями координат (x, y, z ) параметризованной поверхности: S:r = r (u , v ) = ( x(u , v ), y (u , v ), z (u , v )) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
