Кратные и криволинейные интегралы (1021366), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Аналогично, два вектора имеютпротивоположную ориентацию, если они имеют одинаковое направление(параллельность) и направлены в противоположные стороны. Следовательно,ориентации можно сравнивать только у параллельных векторов. Таким образом,вопреки сложившейся терминологии, разнонаправленными следует называтьнепараллельные вектора, однонаправленными следует называть вектора, имеющиеодинаковое направление и ориентацию, а противоположно направленными следуетназывать вектора, имеющие совпадающие направления (параллельности) ипротивоположные ориентации.Примечание. К сожалению, плохая обыденная терминология мешает чёткоопределять понятия, что мы и имеем в случае плохо определённого45обыденного понятия «направление», где смешаны в общую кучу понятия«направление» в нашем смысле (параллельность) и «ориентация» в нашемсмысле.
Пример противоречия обыденной и более чёткой терминологии.Высказывание «я ничего не хочу», строго говоря, означает, что «я всё хочу».В этом смысле аналогичная фраза на английском языке выражает эту жемысль более чётко: «I want nothing» (то есть «я хочу ничего»), посколькуздесь мы имеем только одно отрицание.2.Ориентация в двумерном случае ( n = 2 ).Рассмотрим евклидову плоскость и в ней два разнонаправленных вектора.Точнее говоря, имеются в вид два вектора, параллельные плоскости,поскольку имеются в виду свободные вектора, которые равны, еслисовпадают их модули, направления и ориентации, в отличие, например, отскользящих векторов, у которых сумма противоположно направленныхвекторов равна не нулю, а вращающему моменту (паре сил).
Итак,рассматриваем пару разнонаправленных векторов на плоскости. Вматематической литературе такая пара векторов называется бивектором.Определение. Ориентация бивектора есть ориентация против часовойстрелки, если переход от направления и ориентации первого вектора кнаправлению и ориентации второго вектора осуществляется против часовойстрелки. Иногда эту ориентацию называют ориентацией левой руки илипросто левой ориентацией, поскольку поворот от большого пальца левойруки к указательному пальцу этой же руки происходит против часовойстрелки (если смотреть на тыльную сторону руки).
Аналогично определяетсяправая ориентация или ориентация по часовой стрелке.Рекуррентное (возвратное с точки зрения размерности) определениеориентации на плоскости. Треугольник или четырёхугольник называетсялево-ориентированным, то есть, имеющим левую ориентацию, если длянаблюдателя, находящегося внутри этой фигуры стороны этой фигурыориентированы (направлены) справа налево.
Естественно, если выйти внеэтой фигуры, не выходя за плоскость фигуры и смотреть на движение поближайшей стороне фигуры, не меняя её ориентации, то ориентациядвижения изменится, и движение будет слева направо.Очевидно, треугольник или параллелограмм, натянутые на левую парувекторов являются лево-ориентированными, если движение начинаетсявдоль первого вектора пары. Заметим, что треугольник или четырёхугольникнепрерывной деформацией могут быть переведены друг в друга, а также вокружность без изменения направления движения, что означает, чтоориентация, как говорят математики, есть топологический инвариант(неизменяемое свойство при непрерывных, то есть топологическихпреобразованиях, когда малое смещение переходит в малое). Итак,двумерная ориентация выпуклой двумерной фигуры определяется черезодномерную ориентацию её контура (одномерного).Далее, при разбиении (триангуляции) многоугольника на треугольники,некоторые из которых смежны по одной грани (стороне) видно, что, если всетреугольники имеют одну и ту же ориентацию (на рисунке - левую), то длялюбой пары смежных треугольников их ориентация порождает двапротивоположных направления для каждой смежной стороны.563.Ориентация в трёхмерном случае ( n = 3 ).Рассмотрим некомпланарную тройку векторов (тривектор) в трёхмерномевклидовом пространстве.
Некомпланарность означает, что эти вектора нележат в одной плоскости или что никакой вектор не лежит в плоскости двухдругих векторов.Определение. Ориентация правой руки или правая ориентация впространстве есть ориентация тривектора: «большой палец», «указательныйпалец», «средний палец». Аналогично определяется левая ориентация.Очевидно, никакой тривектор правой ориентации не может бытьнепреравной деформацией переведён в тривектор левой ориентации приусловии, что никакой вектор из этой тройки не пересечёт плоскость двухдругих векторов.
Иногда правую ориентацию называют ещё ориентациейправого винта, поскольку при этом правая ориентация пары первого ивторого векторов тройки (то есть, ориентация «по часовой стрелке»)соответствует направлению движения винта, определяемого последнимвектором тройки (тривектора). Иначе говоря, правый винт или шурупввинчивается в стену правым вращением отвёртки, то есть вращением почасовой стрелке. Аналогично определяется левый винт, которыйввинчивается в стену вращением отвёртки против часовой стрелки.Рекуррентное определение ориентации в пространстве.
Аналогичнодвумерному случаю на плоскости определяется рекуррентно ориентация впространстве: для наблюдателя, находящегося вне выпуклого многогранникаправая ориентация этого многогранника определяется тем, что для этогонаблюдателя поверхность ближайшей грани многогранника имеет правуюориентацию, то есть для этого наблюдателя грани многогранника имеютправую ориентацию, то есть, ориентированы по часовой стрелке. Тем самымопределяется правая ориентация всей границы (то есть, поверхности)многогранника.
Ещё раз напомним, что при этом на общем ребре двухсмежных граней индуцируются противоположные ориентации. Заметим, чтотетраэдр (треугольная пирамида) или параллелепипед, натянутые на правуютройку векторов, имеют правую ориентацию в смысле рекуррентногоопределения, поскольку грани, смежные этим векторам имеют правуюориентацию. Аналогично случаю тетраэдра определяется левая или праваяориентация куба или параллелепипеда, натянутого на вектора тройки.4.Ориентация в многомерном случае.Определение. Назовём ориентацию n -мерного гиперкуба левой, если длянаблюдателя, находящегося вне этого гиперкуба, все ориентации егоближайших n − 1 - мерных граней – левые. Аналогично определяется праваяориентация.Проиллюстрируем это для четырёхмерного гиперкуба ( n = 4 ).67Этот куб можно представить на плоскости как последовательность двухтрёхмерных кубов в четырёхмерном пространстве-времени (два положениятрёхмерного куба в разные моменты времени t = t 0 и t = t1 ), причёмсоответствующие точки обеих кубов соединены отрезками.Ориентация этих векторов определяется как ориентация от t = t 0 доt = t1 = t 0 + dt .
Тогда трёхмерные грани гиперкуба определяются какмножества точек с координатами ( x, y, z , t ) , где по крайней мере одна изкоординат равна нулю или единице, то есть фиксированы, остальныекоординаты меняются от нуля до единицы, то есть меняются. Всего их:1 + 1 + 6 = 8 (одна грань для t = t 0 , одна грань для t = t1 , шесть гранейсоответствуют шести граням перемещаемого трёхмерного куба припеременном времени).
Перечислим их: (x, y, z ,0 ) ,(x, y, z,1) , (0, y, z, t ) , (1, y, z, t ) , (x,0, z, t ) , (x,1, z, t ) , (x, y,0, t ) , (x, y,1, t ) .Наблюдатель находится внутри (единичного) куба, то есть все 4 егодекартовы координаты находятся в интервале (0,1) .Поскольку левые ориентации трёхмерных граней определены выше, толевая ориентация четырёхмерного куба определяется рекуррентно как левыеориентации его ближайших трёхмерных граней для наблюдателя,находящегося вне четырёхмерного куба.Заметим, что изображённый на рисунке четырёхмерный куб имеет левуюориентацию, если считать, что ось ОТ направлена к нам (t – компонентачетырёхмерного направления вектора зрения от глаза к предмету отрицательна). При этом, полагая t1 > t 0 , мы смотрим на трёхмерную граньt = t 0 изнутри четырёхмерного куба.
Полагая что у – компонентанаправления зрения положительна (ось OY направлена от нас), видим, чтоближайшая двумерная грань ( t = 0, y = 0 ) имеет правую ориентацию (взглядснаружи), что индуцирует правую ориентацию грани t = 0 при взглядеизнутри четырёхмерного куба. Следовательно, при взгляде снаружиближайшая 3 – грань имеет противоположную, левую ориентацию. Поэтомунаш четырёхмерный куб окончательно имеет левую ориентацию.Проверка рассуждения. Ориентация четырёхмерного куба должнасовпадать с ориентацией базисной четвёрки XYZT. Рассмотрим пальцылевой руки. Пусть ОХ – это большой палец, OY – это указательный палец, аOZ – это средний палец.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
