Кратные и криволинейные интегралы (1021366), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Дадим формулу для вычисления установившегося, (то есть не зависящего отвремени) потока жидкости через участок поверхности S 2 ( x, y, z ) . Под потокомпонимается количество (объём) жидкости протекающее через заданный участокповерхности в единицу времени. Поле скоростей жидкости задаётся векторным⎧ v x = v x ( x, y , z )⎪уравнением v = v r , эквивалентным трём скалярным уравнениям: ⎨v y = v y ( x, y, z ) .⎪ v = v ( x, y , z )z⎩ z()Здесь: r = ( x, y, z ) и v = (v x , v y , v z ) . Объём жидкости, протекающий через бесконечно⎛ ∂r ⎞ ⎛ ∂r ⎞малую площадку dS = ⎜ du ⎟ × ⎜ dv ⎟ (смотри выше пример использования⎜ ∂u ⎟ ⎜ ∂v ⎟⎝⎠ ⎝⎠дифференциальной формы), есть объём параллелепипеда, натянутый на тройку⎛ ∂r∂r ⎞векторов: ⎜ v, du , dv ⎟ , то есть:⎜ ∂u∂v ⎟⎠⎝vxdVжидкости= ∫∫ xu'dtS (u ,v ) 'xvvyyy'u'vvzz u' ⋅ (du ∧ dv ) = ∫∫ (v x ⋅ dy ∧ dz + v y ⋅ dz ∧ dx + v z ⋅ dx ∧ dy ) = ∫∫ ω 2 .S (x, y,z )S (x, y,z )z v'2223Напомним, что внешнее произведение двух дифференциальных форм на паредифференциалов (du, dv ) принимает значение определителя, например:(dy ∧ dz )(du, dv ) =yu'z u'y v'z v'(du ∧ dv ) .
Из формулы потока жидкости видно, чтодифференциальная форма ω 2 есть не что иное, как разложение определителя третьегопорядка по верхней строке.§ 10Теорема Пуанкаре и её использование при вычислении поверхностныхинтегралов второго рода.Этот замечательный результат А. Пуанкаре будем использовать, прежде всего,как мнемоническое правило для формулировок целого ряда теорем, поэтомуформулируем теорему Пуанкаре в её наиболее абстрактном виде.Итак, теорема Лейбница – Ньютона – Грина – Стокса – Остроградского – ГауссаПуанкаре имеет вид:ω = ∫∫∫ D ∧ ω∫∫( )nD Vn +1Vn +1n.Комментарии (пояснения) к теореме.1.2.3.4.Объём Vn+1 есть n + 1 - мерная ограниченная область в пространстве той жеразмерности. Ограниченность следует понимать как ограниченностьрасстояния между любыми двумя точками, расположенными внутри области,то есть эти расстояния не могут превышать некоторого заданного числа.Далее, D(Vn+1 ) есть топологическая граница этой области – поверхностьразмерности n .
Граница понимается с том смысле, что любой n + 1 -мерныйшар с центром в точке границы содержит внутри себя как точки,принадлежащие области, так и точки, не принадлежащие к ней. В то жевремя для внутренних и внешних точек области существуют шары,содержащие только внутренние или только внешние точки области.В левой части равенства имеем n - кратный интеграл. Кружок на символедвойного интеграла означает, что у самой границы отсутствует граница.Иначе говоря, D(D(S n+1 )) = 0 известный топологический факт.Дифференциальный оператор D имеет вид:∂∂∂D=dx1 +dx2 + … +dxm , причём объём Vn+1 погружен в∂x1∂x2∂xmпространство (x1 , x2 , … xm ) размерности m ≥ n + 1 .2324Внешнее произведение D ∧ ω n обладает свойствами произведенияГрассмана, а именно: линейностью и антикоммутативностью.5.Более подробно смысл теоремы будет ясен из дальнейшего изложенияматериала. Рассмотрим теперь частные случаи теоремы Пуанкаре.1.Теорема (формула) Грина.Здесь n = 1 , m = 2 , Vn+1 = S 2 , D =∂∂dx +dy ,∂x∂yω n = ω1 = Pdx + Qdy = P( x, y )dx + Q(x, y )dy .Имеем:⎛∂()Pdx+Qdy=∫∫∫ ⎜⎜( S2 )⎝ ∂xD ( S2 )dx +=⎞⎛ ∂P∂Q∂P∂Q⎟⎟ =⎜()()()()dydydydxdxdy∧dxdx∧+∧+∧+∫∫⎜ ∂xyyx∂∂∂⎠( S2 )⎝=∫∫ ⎜⎜ 0 + ∂x (dx ∧ dy ) + ∂y (− (dx ∧ dy ) + 0)⎟⎟⎠ = (∫∫)⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠(dx ∧ dy ) .( )⎝⎛∂Q⎞∂PS2Итак:2.⎞∂dy ⎟⎟ ∧(Pdx + Qdy ) =∂y ⎠⎛ ∂Q∂P ⎞S2⎛ ∂Q ∂P ⎞()Pdx+Qdy=∫∫∫ ⎜⎜ − ⎟⎟(dx ∧ dy ) - формула Грина.( S 2 )⎝D (S2 )∂x∂y ⎠Теорема (формула) Стокса.∂∂∂dx + dy + dz ,∂x∂y∂zω1 = Pdx + Qdy + Rdz = P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R(x, y, z )dz .Имеем:Здесь n = 1 , m = 3 , Vn+1 = S 2 , D =⎛()Pdx+Qdy+Rdz=∫∫∫ ⎜⎜∂∂∂ ⎞dx + dy + dz ⎟⎟ ∧(Pdx + Qdy + Rdz ) =∂y∂z ⎠( S2 )⎝ ∂xD ( S2 )=⎛⎞∂Q∂R∂P∂R⎜⎟⎟ +()()()()+∧+∧+∧++∧0dxdydxdzdydx0dydz∫∫ ⎜ ∂x∂x∂y∂y⎠( S2 )⎝∂Q⎛ ∂P(dz ∧ dy ) + 0 ⎞⎟ = ∫∫ ⎛⎜ ∂Q (dx ∧ dy ) + ∂R (− (dz ∧ dx ))⎞⎟ ++ ∫∫ ⎜ (dz ∧ dx ) +∂z∂x⎠ ( S2 )⎝ ∂x⎠( S2 )⎝ ∂z+⎛ ∂P∂R∂P∂Q⎞⎜⎜ (− (dx ∧ dy )) +(dy ∧ dz ) + (dz ∧ dx ) + (− (dy ∧ dz ))⎟⎟ .∫∫yy∂∂∂z∂z⎝⎠( )S22425Итак:∫( ()Pdx + Qdy + Rdz ) =D S2=⎛ ⎛ ∂R∂Q ⎞⎛ ∂P⎛ ∂Q∂R ⎞⎞∂P ⎞∫∫ ⎜⎜ ⎜⎜ − ∂z ⎟⎟⎠(dy ∧ dz ) + ⎜⎝ ∂z − ∂x ⎟⎠(dz ∧ dx ) + ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠(dx ∧ dy )⎟⎟⎠ - формула Стокса.( )⎝ ⎝ ∂yS2∫( A) ⋅ dr = (∫∫)rot (A)⋅ dSВ векторных обозначениях формула принимает вид:D S2i∂или: ∫ rot (P, Q, R ) ⋅ (dx, dy, dz ) = ∫∫D ( S2 )( S 2 ) ∂xP3.j∂∂yQk i∂ '⋅ xu∂z 'R xvS2jk'u'vz u' dudv .z v'yyТеорема (формула) Гаусса – Остроградского.∂∂∂dx + dy + dz ,∂x∂y∂zω 2 = P(dy ∧ dz ) + Q(dz ∧ dx ) + R(dxdy ) .Здесь n = 2 , m = 3 , Vn+1 = V3 ,Имеем:D=∫∫ (P(dy ∧ dz ) + Q(dz ∧ dx ) + R(dx ∧ dy )) =D (V3 )⎛∂∂∂ ⎞= ∫∫∫ ⎜⎜ dx + dy + dz ⎟⎟ ∧ (P (dy ∧ dz ) + Q(dz ∧ dx ) + R(dx ∧ dy )) .∂z ⎠∂x∂yV3 ⎝Проделывая выкладки, аналогичные предыдущим, получаем формулу Гаусса– Остроградского:⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞⎜⎜⎟⎟(dx ∧ dy ∧ dz ) .(()()())∧+∧+∧=++PdydzQdzdxRdxdy∫∫∫∫∫∂∂∂xyz⎝⎠D (V3 )V3В векторных обозначениях эта теорема принимает вид:div (A)dV ,∫∫( )A ⋅ dS = ∫∫∫( )D V3V3iгде: A = (P, Q, R ) , dS = xx'u'vjk'u'vzu' ,z v'yy()4.⎛∂ ∂ ∂⎞⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞⎟⎟ .div A = ⎜⎜ , , ⎟⎟ ⋅ (P, Q, R ) = ⎜⎜++⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠О доказательстве теоремы Пуанкаре.Нижеследующие рассуждения показывают метод доказательства этойтеоремы в частном случае одного слагаемого дифференциальной формывторого порядка.
Рассмотрим выражение∫∫∫ D ∧ ω2, гдеV3ω 2 = f (x, y, z )(dy ∧ dz ) . Тогда подинтегральное выражение может бытьпредставлено в виде:2526∫∫∫ D ∧ ω = ∫∫∫ (D ∧ ω ) f (du ∧ dv ∧ dw) =22V3V3DuDv'u'u'v'v= ∫∫∫ yV3zDwy w' f (du ∧ dv ∧ dw) = ∫∫∫ (Du f (dy ∧ dz )vw + Dv f (dy ∧ dz )wu + Dw f (dy ∧ dz )uv )V3z w'yzОчевидно, в данном случае мы имеем разложение определителя по верхнейстроке.
Примем без доказательства тот факт, что подходящейпараметризацией объёма V3 его поверхность D(V3 ) может быть разбита на 6граней, причём на противоположных гранях один параметр из трёх сохраняетпостоянное значение. Пример: раздувание куба в пространстве (u , v, w) досферы в пространстве (x, y, z ) .Пояснение. Дифференциал Du f следует понимать как дифференциал(главную линейную часть приращения) вдоль возрастания параметра u :⎛ ∂f∂f∂f ⎞⎜⎜ ∂ + ∂ + ∂ ⎟⎟∂x∂y∂z ⎠⎛ ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z ⎞Df⎟⎟du .++Du f =du = ⎝du = ⎜⎜∂u∂u⎝ ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u ⎠Аналогично расписываются Dv f и Dw f .Выполняя интегрирование в первом слагаемом суммы трёх интегралов :∫∫∫ (Du f (dy ∧ dz )vw + Dv f (dy ∧ dz )wu + Dw f (dy ∧ dz )uv ) по параметру u , воV3втором – по v , а в третьем – по w , получаем следующее выражение:∫∫ ( f) (u , v, w) − f (u , v, w))(dy ∧ dz )(dv, dw) + ( ∫∫ ( )f (u, v , w) − f (u, v , w))(dz ∧ dx )(dw, du ) +(u =const+2121v = const∫∫ ( f (u, v, w ) − f (u, v, w ))(dx ∧ dy )(du, dv ) .2( w=const )1В первом слагаемом последнего выражения интегрирование производится попротивоположным граням кривоповерхностного куба в пространстве (x, y, z ) ,соответствующим граням куба (точнее, параллелепипеда): u = u 2 и u = u1 впространстве (u , v, w) .
Аналогичные рассуждения справедливы и дляпротивоположных граней v = v2 , v = v1 и w = w2 , w = w1 .Иногда рассуждения проводятся следующим образом. Строимкриволинейную сетку разбиения области интегрирования V3 ( x, y, z ) ,соответствующую прямоугольной сетке V3 (u, v, w) . Затем тройные интегралы(например,∫∫∫ (D f (dy ∧ dz ) ) ) по бесконечно тонким слоям, где один изuvwV3параметров (u,v или w) отличается на бесконечно – малую величину,представляем в виде приближённых разностей интегралов по близкимповерхностям. Тогда интегралы по внутренним поверхностямкриволинейной сетки взаимно уничтожаются и остаются только разностиинтегралов по криволинейным граням куба в пространстве (x, y, z ) ,соответствующим граням куба V3 (u, v, w) .2627Далее, поскольку ориентации по противоположным граням кубапротивоположны (если смотреть на них извне куба), то для сохраненияединой ориентации по всем граням куба, необходимо изменить ориентациии знаки перед функциями на гранях u = u1 , v = v1 , w = w1 .
Тогда сумма шестислагаемых выражения:∫∫ ( f (u2 , v, w) + f (u1 , v, w))(dy ∧ dz )(dv, dw) + ∫∫ ( f (u, v2 , w) + f (u, v1 , w))(dz ∧ dx )(dw, du ) +(u =const )(v =const )∫∫ ( f (u, v, w ) + f (u, v, w ))(dx ∧ dy )(du, dv ) превратится в интеграл по всем+( w=const )21шести граням куба в пространстве (x, y, z ) , то есть вf (dy ∧ dz ) .∫∫( )Vn +1Читателю рекомендуется провести аналогичные рассуждения для теоремГрина и Стокса.5.Теорема Лейбница – Ньютона.ddx .dxω0 = F ( x ) - форма «нулевого» порядка. Здесь F (x ) ≡ ∫ f (x )dx .Здесь n = 0 , m = 1 , Vn+1 = L1 , D =Теорема формально выглядит так:∫ω = ∫ D ∧ ωD ( L1 )00или так:L1dF ( x )dx .dxaaУдобно также представить теорему как «перепрыгивание» дифференциала сцепи Vn+1 на коцепь ω n , в данном случае: n = 0 (пользуемся топологическойтерминологией):bbF (b ) − F (a ) ≡ F ( x ) | = ∫( )bbbdFF ≡ ∫ d F = ∫ dF ≡ ∫⋅ dx ≡ ∫ f ( x ) ⋅ dx .← adxaaaab6.← bПример использования теоремы Пуанкаре.Вычислим контурный интеграл∫ ( ydx − xdy ) , где SD (S2 )2и D(S 2 ) - круг, и,соответственно, окружность радиуса R .Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
