Кратные и криволинейные интегралы (1021366), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Имеем:1 + (a + Δa ) − 1 + a22a< a . Итак, колебание21 + (a + Δa ) + 1 + aквадратного корня не превосходит колебания любой из частных производных наэлементе разбиения G .Отсюда вытекает, что погрешность интегральной суммы при замене ~x0 на x0 и~y на y не превысит ε ⋅ Δ(G ) . Далее, при любом подразбиении элемента1 + (a + Δa ) − 1 + a =4.0<0разбиения G замена точки (x0 , y0 ) на любую точку (~x, ~y ) внутри этого элементадаст такую же погрешность. Следовательно, при переходе на нижнюю граньлюбого подразбиения элемента разбиения G будет та же погрешность. Та жеситуация останется при переходе к пределу нижних граней, то есть привычислении Δ(S ) по Лебегу.Итак, общая погрешность при замене площади ∑ Δ(S ) на интегральную сумму5.интеграла∫∫(G )⎛ ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎞⎜1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ dx ∧ dy не превысит ε ⋅ Δ(G ) , то есть на∑⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ⎟⎝⎠произведение ε на ограниченную по условию площадь области интегрирования.Поскольку указанный интеграл существует как интеграл от непрерывнойфункции, то отсюда и вытекает утверждение теоремы от выражении площади поЛебегу через интеграл∫∫(G )⎛ ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎞⎜1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ dx ∧ dy , что и требовалось⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ⎟⎝⎠доказать.Литература.1.2.3.В.И.

Арнольд. Математические методы классической механики. Москва,«Наука», 1979 г.К. Телеман. Элементы топологии и дифференцируемые многообразия,«Мир», Москва, 1967 г., стр. 101.[Maple] В. Дьяконов. Maple7: учебный курс. «Питер», Санкт-Петербург,2002 г.5051Оглавление части 2.Часть 2. Элементы теории определённого и кратного интеграла......................................34§ 1. Определённый интеграл. ...........................................................................................34§ 2. Способы вычисления «наивного» определённого интеграла.

...............................35§ 3. Элементы теории определённого интеграла............................................................37§ 4. Измеримость по Жордану и Лебегу..........................................................................41§ 5. Критерий интегрируемости по Риману. ...................................................................42§ 6. Обобщение теории определённого интеграла на кратные интегралы. .................44§ 7. Интеграл Римана в форме Лебега и интеграл Лебега.

............................................45§ 8. Длина кривой и площадь поверхности.....................................................................47§ 9. Контрпример Шварца. ...............................................................................................48§ 10.Вычисление площади поверхности дифференцируемой функции по Лебегу. 49Литература. .............................................................................................................................5051.

Характеристики

Список файлов книги