Решение задач по Физике (Кириллов) (1018048), страница 25
Текст из файла (страница 25)
° Далее предполагается, что система отсчета К движется со скоростью )г в положительном направлении оси х системы К, причем оси х и х совпадают, а оси у ( х') и у(х) параллельны. В этом случае координаты и время какого-либо события в системах К' и К связаны между собой преобразованием Лоренца 195 Специальная теория относительности Примеры решения задач 6.1.1. Имеется прямоугольный треугольник, у которого катет а =5,00м и угол между этим катетом и гипотенузой а=30'.
Найти в системе отсчета К, движушейся относительно этого треугольника со скоростью и = 0,866 с вдоль катета а: а) соответствующее значение угла а; б) длину 1' гипотенузы и ее отношение к собственной длине. Решение. Выберем ось х неподвижной системы отсчета К, относительно которой треугольник покоится, вдоль катета а. Согласно формуле (6.1.2) длина этого катета в системе К равна а т аз(1-(г/с) (1) где с - скорость света, а длина другого катета остается неизменной, т.е. Ь =Ь, причем Ь=а 18а. (2) Из этих формул следует, что угол а'между катетом а' и гипотенузой 1' в системе К определяется равенством Ь' 18 а 18а'= —,= (1-(/ )' Длину гипотенузы треугольника 1' в системе К' вычислим по теореме Пифагора 9=.,Гаъ-М'.
(4) Учитывая, что длина гипотенузы в системе К (собственная длина) равна 1= аз(1~- ~~'а, (5) определяем отношение (6) сзП.Ь 18за) Подставляя численные значения величин, находим а'щ49', 1'=3,8м, 1'/1=0,66. Ответ: 18а'= —, =, а'га49'; Ь' 18 а ,/1 — ~~~~)' 196 Глава 6 1'=а 1+ц а-(о/с) =38м; — = 1-,, =066. 2 с2(! +г82гг) Решение С помощью формул (6.1.2.), (6.1.3.) получаем соотношения (о ,=И, (1) лс лК ~=о~|-(~77, (2) где 1- длина стержня в лабораторной системе координат К, относительно которой стержень движется со скоростью Р, 1 -собственная длина стержня (т.е.
его длина в системе координат К, относительно которой он покоится). Используя равенства (1),(2), находим 1 =.(Г-ол7 =.,ф:~ай' . |, =уь ' = ((в')' — и г =4,5 (3) (4) 6.1.3. В К-системе отсчета мюон, движущийся со скоростью о = 0,99 с, пролетел от места своего рождения до точки распада 1 = 3,0 км. Определить: а) собственное время жизни этого мюона; б) расстояние, которое пролетел мюон в К-системе отсчета с "его точки зрения". Решение Время жизни мюона в лабораторной системе отсчета К определяется равенством 6.1.2.
Стержень пролетает мимо метки неподвижной в К системе отсчета. Время полета 6~ = 20 не в К-системе. В системе же отсчета, связанной со стержнем, метка движется вдоль него в течение Л~'= 25 нс. Найти собственную длину стержня. 197 Снециольноя теория относительности ! Л! т —. С помощью формулы (6.1.3) находим собственное мюона Ь! (т.
е. время жизни в системе координатК, которой мюон покоится) время жизни относительно -=ЯР (2) (3) ~2 Ответ: Ь!'т-~1- — ~ =1,4мкс; 1'тиА!'т(,~Ь вЂ” Дс~' =420 м, б.2. Релятивистское сложение скоростей Основные формулы ° Если система К' движется вдоль положительного направления осн л системы К (оси систем отсчета К и К направлены так же как в разделе 6.1) со скоростью У, то компоненты скорости частицы в системе К связаны с компонентами ее скорости ~„, и„, и, в системе К соотношениями ь (6.2.!а) !+М„(!с (6.2.1Ь) (6.2.!с) В системе К' точка лабораторной системы отсчетаК, в которой родился мюон, движется со скоростью и и удаляется от него за время Ь! на расстояние ! = и!и т!т/1-(и!!с) 198 Глава б Примеры реигенггя задач.
б.2.1. Две релятивистских частицы движутся под прямым углом друг к другу в лабораторной системе отсчета, причем одна со скоростью гг, а другая со скоростью гг. Найти их относительную скорость. (2) В результате для модуля относительной скорости выражение получаем вг,г~гггвггггг+гг(гггг/сг 6.2.2. Некоторая нестабильная частица движется со скоростью г' в К -системе отсчета вдоль ее оси у. К -система в свою очередь перемещается относительно К -системы со скоростью (г в положительном направлении ее оси х. Оси л и х обеих систем отсчетасовпадают, оси у' и у параллельны друг другу.
Найти путь, который частица пролетит в К- системе, если ее собственное время жизни равно Лг . Решение Будем считать, что первая частица движется в неподвижной системе отсчета К вдоль оси л, т. е. гн = г,, г,„= О, а вторая частица движется в этой системе отсчета вдоль оси у, т.е. гг„= О, гг, = гг. Рассмотрим систему отсчета К, относительно которой первая частица покоится. Будем предполагать, что ось х' системы К' совпадает с осью х системы К, а ось у параллельна оси у.
Найдем скорость второй частицы г в системе К (эта скорость является искомой относительной скоростью движения второй частицы г„„=г', по отношению к первой частице). Компоненты скорости второй частицы в системе К находим по формулам (б.2.1) 199 Специальная теория относительности Решение Найдем, прежде всего, время жизни частицы в системе отсчета К .
Согласно формуле (6.1.3) время ее жизни в системе К' определяется выражением (1) ~/! — (и,~с) Используя еще раз формулу (6.!.3), находим время жизни частицы в системе К (2) ГР)-ы !)' где !1т)г/с. Компоненты скорости частицы и„, и„в системе К находим с помощью формул (6.2.1) (3) Х и„т и т/1 — Р Путь, пройденный частицей в системе К, вычисляем по формуле тг)г Я+ „'. Подставляя выражения (3), (4) в (5), окончательно получаем (4) (5) 1" + й' 1-,9' ' ГЖ-ьгп) (6) )гг+ г 1 уг Ответ: л=ггго г ° г где г9 )г/ 1 — Р 1-(и/с) Решение В системе отсчета К компоненты скорости частицы и„и и„равны и„= исоа 0, (1) (2) и г кз!пд.
У 6.2.3. Частица движется в К-системе отсчета со скоростью и под углом о к оси х. Найти соответствующий угол в К -системе, перемещающейся со скоростью )г относительно К -системы в положительном направлении ее оси х, если оси к и х' обеих систем совпадают. Глава 6 гсо5В-У 1- гУ со5 В/с' г яп В~~1 —,8' ! — г У соя В/с' (3) (4) где /г =У/с. Вычисляя отношение г„/гг„, получаем й Вуг! —,В г гяВ =гг„/г„= соаВ-У/г 51П В~! — В Ответ: !я В =, где,В = У/с.
сов В-У/т бЗ. Энергия и импульс частицы в релятивистской механике Основные формулы ° Полная энергия релятивистской частицы г Е=тс +Т= э/1 — (г/с) где т - масса частицы, г - ей скорость, Т- кинетическая энергия, сскорость света в вакууме. ° Импульс частицы в релятивистской механике определяется выражением (6.3.1) тг (6.3.2) р= э~1 — (г/с) ° Полная энергия частицы и ее импульс связаны между собой равенством Е=с гсг+рг (6.3.3) ° Уравнение динамики в релятивистской форме имеет вид С помощью формул (6.2.1) находим компоненты скорости этой частицы г„, г„в системе отсчета К: 201 Специальная теория относительности — тЕ, Ыр а! где р - импульс частицы, Р - действующая на нее сила.
(6.3.4) Примеры решения задач Решение С помощью формулы (6.3.2) находим связь модуля скорости протона с модулем его импульса ср и= тс+р 2 2 2 где т - масса протона, с - скорость света. Таким образом, относительное отличие скорости протона от скорости света составляет величину (2) Учитывая, что т гя 0,983 ГэВ!с', получаем !? н 0,44%. -и2 с-и (тс) Ответ: !? = — =! — 1+ — = 0,44%. с ~ (р! 6.3.2. При каких значениях отношения кинетической энергии частицы к ей энергии покоя относительная погрешность при расчете ее скорости по нерелятивистской формуле не превышает !? = 0,01.
Решение Связь скорости частицы с ее кинетической энергией нерелятивнстской механике определяется выражением Т в 6З.1. Протон движется с импульсом р =10,0 ГзВ/с, где с- скорость света. На сколько процентов отличается скорость этого протона от скорости света? гог Глава 6 где т - масса частицы. В релятивистской механике эта связь согласно формуле (6.3.1) имеет вид с „Яг+ х) 1+х ')гтт 3 и ьз ~ — (1- — х). лт 4 (3) формулы (1) вместо (3) Таким образом, при х «1 использование приводит к относительной погрешности а — 3 " ьз — х.
4 (4) Следовательно, в области Т 4 —,6-д н 0,013 (5) нш 3 относительная погрешность в определении скорости частицы не будет превышать величину г). Т 4 Ответ: —, < — и и 0,013. шс' 3 6.3.3. Частица массы ш в момент времени ! = 0 начинает двигаться под действием постоянной силы Р . Найти скорость частицы и пройденный ею путь в зависимости от времени г.
Решение Направим ось х лабораторной системы отсчета вдоль направления действия силы Р . Тогда компоненты скорости г и и,останутся равными нулю в произвольный момент времени г. Проекция уравнения движения (6.3.4) частицы на ось х в рассматриваемой системе координат с учетом релятивистского выражения для импульса (6.3.2) имеет вид с1 юг„ л,Г-~ „М' где х=Т(тес.
В области х « 1 из соотношения (2) следует приближенная формула 203 Специальная теория относительности Интегрируя уравнение (!) с учетом начального условия и„(0)=0, получаем (3) х = — +с'г' — —. (4) 2 срг (тс'),, тс' ,Еснеь ' ( е ) сг"г (2) ,Р7 кь'' Путь, пройденный частицей за время г, вычисляем по формуле л = ~и„(г')й'. о Подставляя выражение (2) в формулу (3) и выполняя интегрирование, получаем 7.
Квантовая физика 7.1. Корпускуллрные свойства света. Фотоэффект Основные формулы ° Энергия фотона с=лог= —, 2клс (7.1.1) Л где Я и и - длина волны и циклическая частота излучения соответственно, л - постоянная Планка, с - скорость света. ° Импульс фотона лог 2тл р= — =— с Я ° Формула Эйнштейна (7.1.2) где е = лш = А + Т (7.1.3) где е= ли - энергия фотона, падающего на поверхность металла; А— работа выхода электрона из металла; Т - максимальная кинетическая энергия фотозлектрона.
° Максимальная кинетическая энергия фотозлектрона в нерелятивистском и релятивистском случаях выражается различными формулами: а) если фотоэффект вызван фотоном, имеющим энергию много меньшую энергии покоя электрона (т.е лог<< те п0.51МэВ), где т— г масса электрона, с — скорость света), то можно воспользоваться нерелятивистским выражением для кинетической энергии электрона Тпчх ткем ~ (7.1.4) 2 где т — максимальная скорость фотоэлектрона; б) если фотоэффект вызван фотоном, обладающим энергией порядка или больше энергии покоя электрона (те лш>тс ге05!МзВ), то следует пользоваться релятивистским выражением для кинетической энергии фотоэлектрона Т =тс (Т-!), (7.1.5) 205 Квантовая физика и с ° Красная граница фотоэффекта ле = или ай = —, 2я!)с А (7.1.6) А й где Л вЂ” максимальная длина волны излучения, аб — минимальная циклическая частота, при которой еще возможен фотоэффект.
° Средняя плотность потока фотонов < 7'> (т.е. среднее число фотонов, пролетающих в единицу времени через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению движения фотонов) и концентрация фотонов л (среднее число фотонов в единице обьема) связаны между собой соотношением < 7'>=ел. Примеры решения задач 7.1.1.
Точечный изотропный источник испускает свет с Л =589 нм. Световая мощность источника Р = 1О Вт. Найти: а) среднюю плотность потока фотонов на расстоянии г=2,0 м от источника; б) расстояние от источника до точки, где средняя концентрация фотонов л = 100 см з. Решение Найдем, прежде всего, число фотонов, испускаемых источником в единицу времени ЫМ/й. Из определения мощности источника и формулы (7.!.1) следует, что й~1 Р РА й ив 2ялс Окружим точечный источник сферической поверхностью радиуса г.
Очевидно, что число фотонов, пролетающих через эту поверхность в единицу времени, равно йч/й. Поэтому из определения плотности потока фотонов и формулы (1) находим Глава 7 206 1 ИМ РЛ < /> 4згг~ г7г 87г~йсг~ (г) 27гс 2йн (3) Подставляя в формулы (2), (3) численные значения величин, получаем < 7' > = 6 х10'7 м з с ~, г = 9 м Ответ: < /> = — = 7=бх!О м с ! снУ РЯ 17 2 и 4згг Й 87г йсг г = — ! — = 9 м. 27гс)!(2йл 7.1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
