Решение задач по Физике (Кириллов) (1018048), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Короткий импульс света с энергией Е = 7,5 Дж в виде узкого почти параллельного пучка падает на зеркальную пластинку с коэффициентом отражения р = 0,60. Угол падения ьэ=30~. Определить с помощью корпускулярных представлений импульс, переданный пластинке. Ренлеиие Пусть М вЂ” число фотонов в импульсе света с полной энергией Е. Согласно формуле (7.1.2) полный импульс налетающих фотонов равен лез Е р= Ф вЂ” и= — и, (1) и л с с 9 где и - единичный вектор в направлении е движения налетающих фотонов. От зеркальной пластинки с коэффициентом отражения р отразится М = рМ фотонов.
Их общий импульс определяется выражением Рис.7.1 Если выражение (2) поделить на скорость света, то согласно формуле (7.1.7), получим концентрацию фотонов на расстоянии г от источника. Таким образом, расстояние г, на котором имеется заданная концентрация фотонов, определяется выражением Кванзлавая физика 207 ,аоз, Е р= !У вЂ” и =зэ — и, 12) с с где и - единичный вектор в направлении движения отраженных фотонов. Импульс, переданный пластине, равен Е Лр =р-р = — (п-ри ).
с переданного пластине, найдем, возводя Модуль импульса, выражение 13) в квадрат ,г !Лр( = — (!+р -2рсоз1л), где зр -угол между векторами п и п'. Как видно из рис.7.1, р=зг-2д. Учитывая, что соя 1е = -сов 2д, окончательно получаем !Лр~ = — 1+ р + 2р соя 2д. 2 с Подставляя в это выражение численные значения величин, находим !Лф=35 нН с. Ответ: !Ар! = — 1+р +2рсоз2д=35 нН с. Е 2 с 7.1.3.
Найти длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если скорость электронов, подлетающих к антикатоду трубки, г = 0,85 с, где с — скорость света. Решение Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра А„,м вычисляется по формуле 2згс Аап =— Шяак с учетом условия, что вся кинетическая энергия электрона Т, подлетающего к антикатоду трубки, трансформируется в энергию излучения, т.е. йш „ =Т, и следовательно 2 тел Л и Т Гдава 7 208 Поскольку по условию задачи скорость электронов не мала по сравнению со скоростью света, для вычисления кинетической энергии электрона Т следует воспользоваться релятивистским выражением (7,1.5).
В результате получаем 2лл тс(у -1) где 1 1-(гlс) Подставляя численное Л и =2,8 пм. значение скорости электрона, находим 2л'72 1 О *: 2 ., - 2.8 ( 2 - (( 7.1.4. При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом с длинами волн 22= 0,35 мкм и Лз= 0,54 мкм обнаружили, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в д = 2,0 раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла. Решение С помощью формул (7.1.1), (7.1.3), (7.1.4) находим получаем уравнение из которого находим где (л — масса электрона, ).
— длина волны падающего излучения. Вычисляя отношение максимальных скоростей электронов, соответствующих длинам волн 28 и 1з 2О(а8 209 Кваивзавая физика 2згсй(зуав, - Л~) А,Я,(ц' - 1) Подставляя численные значения величин, имеем А = 1,9 эВ. 2згсй(9~2, -Аз) Ответ: А = = 1,9 эВ. Щз7'-1) 7.2. Эффект Комптопа Основные формулы ° Изменение длины волны ЛЛ фотона при рассеянии его на свободном покоящемся электроне в лабораторной системе отсчета на угол д определяется выражением ЛЛ = Л'- Л = Л, (1- соз д) (7.2.1) где Я и Я - длины волн фотона до и после рассеяния соответственно, Я,- комптоновская длина волны электрона 2згл ,1„= — = 2,43б пм, лзс (7.2.2) Примеры решения задач 7.2.1.
Фотон с длиной волны 2=6,0 пм рассеялся под прямым углом на покоящемся свободном электроне. Найти: а) частоту рассеянного фотона; зл - масса электрона. ° При комптоновском рассеянии закон сохранения энергии имеет вид с=с +Т, (7.2.3) где Е, Е - энергии фотона до и после рассеяния соответственно, Т— кинетическая энергия электронов отдачи.
Если эффект Комптона вызван фотоном, имеющим энергию много меньшую энергии покоя электрона, то можно пользоваться нерелятивистским выражением для Т. В противном случае следует пользоваться формулами релятивистской механики (см„например, (7.1.5)). 210 Глава 7 б) кинетическую энергию электрона. отдачи. Решение При рассеянии фотона под прямым углом савгЭ=О и, согласно формуле 17.2,1) разность длин волн рассеянного и налетающего фотонов равна г1Л=Л'-Л=Л, = — .
тс С помощью формул 17.1.1.), 17.2.3.) и 11) находим частоту рассеянного фотона 2лс 2лс О = —, Л' Л+Л ' и кинетическую энергию электрона отдачи (1 ! ') 27гсй)„ Т = 2ггсй —— ),Л ЛьЛ,Л' Л1Л+Л,) Подставляя численные значения величин, находим в'= 2,2х10~~с ', Т= 60 кэВ. Ответ: в'= =2,2х!О с; Т= =60кэВ. 2хс зе 1 27гсйЛ, Л+Л, Л(Л+Л,) 7.2.2. Фотон с энергией де =250 кэВ рассеялся под углом д= 120 на первоначально покоящемся свободном электроне. Определить энергию рассеянного фотона.
Решение Воспользуемся формулой 17.2.1), представив еб в виде Л Л =2Л,в!л (д/2). С учетом формул 17.1.1), 17.2.2), находим г —,— = —,.л ( 772), Е Е тс где Е, Е - энергии фотона до и после рассеяния соответственно, и~- масса электрона, с — скорость света. Выражая энергию рассеянного фотона е через его энергию е = лаз до рассеяния и угол д, получаем формулу 211 Квантовая физика лаз Е = 1+ 2 зт (д/2) 2 тс Подставляя численные значения величин, имеем е'= 60 кэВ.
(3) лаз Ответ: е'= =60кэВ. тс 7.2.3. Фотон рассеялся под углом ьэ = 120' на покоящемся свободном электроне, в результате чего электрон получил кинетическую энергию Т= 0,45 МэВ. Найти энергию фотона до рассеяния. тсзТ (2) 2зт (сз/2) Интересующий нас положительный корень этого уравнения определяется выражением 2 Тзт (гз/2) (3) Подставляя в это выражение численные значения величин, получаем с=0,68 МэВ.
О в: е= — 1+ 1+ 2 =0,68МЭВ. Т( 2тс 2 ~ Тз/нп( сэ/2) Решение Используя формулу (2) предыдущей задачи и учитывая закон сохранения энергии (7.2.3), получаем формулу — — — = — з)л (гэ/2), 1 1 2 (1) е-Т е тс которая приводит к квадратному уравнению относительно энергии фотона до рассеяния е Глава 7 7.3. Волновые свойства микрочастии Основные формулы 212 где и — масса частицы, ч — ее скорость, а в релятивистском случае (7.3.3) где с — скорость света. ° Связь длины волны де Бройля Л с кинетической энергией Т частицы, в нерелятивистском приближении, определяется выражением 2яа 72шТ ' а в релятивистском случае 2яйс еа+~ Ч (7.3.5) Примеры решения задач 7.3.1.
Частица движется слева направо в одномерном потенциальном поле, показанном на рис.7.2. Левее барьера, высота которого У = 15 эВ, кинетическая энергия частицы Т=20эВ. Во сколько раз и как изменится дебройлевская длина волны частицы при переходе через барьер? Решение Ристз Поскольку кинетическая энергия частицы по условию задачи мала по сравнению с энергией покоя (для легчайшей из частиц — электрона ° Формула де Бройля, выражающая связь длины волны 1 с модулем импульса р движущейся частицы, имеет вид 27гй Л= —. р ° Импульс частицы в нерелятивистском приближении р=шч, (7.3.2) 213 Квантовая физика изс н0,51 МэВ), то в данном случае можно воспользоваться формулами нерелятивистской механики. Из закона сохранения энергии 2 Т = — +У(х), (1) 2т следует, что модуль импульса частицы, как функция ее координаты х, определяется выражением „,>=~~т но~н (2) Подставляя это выражение в формулу (7.3.!), получаем выражение для дебройлевской длины волны частицы в различных областях пространства (3) 7г о-ион' Как видно из этого выражения, величина Л зависит от значения потенциала в данной пространственной точке.
В области, где (2(х)=0 (слева от барьера) А= (4) Г2тТ Справа от барьера, где потенциал имеет заданное значение У =15 эВ, длина волны равна 4= (5) ,~г ~ з — и ~ ' Таким образом, при прохождении барьера длина волны частицы возрастает в — = ( раз. Подставляя численные значения Т и (1, '1 Т )') т-(г находим 22/Я, =2. Гт Ответ: длина волны возрастает в ~ = 2 раза. з'(Т-и 7.3.2. Две одинаковые нерелятивистские частицы движутся перпендикулярно друг другу с дебройлевскими длинами волн А, и 22. Найти дебройлевскую длину волны каждой частицы в системе их центра масс. Глава 7 214 Решение С помощью формул (7.3.1), (7.3.2) находим скорости частиц ч, и чг в лабораторной системе отсчета по их дебройлевским длинам волн Л, и Лг 2лд 2лй ч,= — и,, чг= — пг, (1) шЛ| шЛг где и, и пг - единичные векторы в направлениях движений первой и второй частиц соответственно в лабораторной системе отсчета, лг — масса частиц. Скорость центра масс частиц определяется формулой ! чв = — (ч, + чг).
2 (2) Модули импульсов частиц в системе центра масс равны, поэтому согласно формуле (7.3.1) и дебройлевские длины волн частиц в системе центра масс равны. Следовательно, нам достаточно найти модуль импульса одной из частиц (например, первой) в системе центра масс. Скорость первой частицы в системе центра масс определяется выражением 1 ч1 - -ч1 — чв = — (ч1 — чг). 2 (3) Интересующий нас модуль импульса частицы в системе центра масс с учйтом формул (1) и ортогональности единичных векторов л, и пг равен »г" Дг+Лг ЛЛг (4) Таким образом, дебройлевские длины волн каждой из частиц в системе их центра масс определяются выражением Л'= Дг Лгг ' (5) Ответ: Л = 2Л,Л, Лг +Лг 7.3.3. Параллельный поток моноэнергетическнх электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины Ь = 1 мкм, Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстоянии ! = 50 см, ширина центрального дифракционного максимума глх =0 36 мм.
215 Квантовая физика АтЬ = 2Л(. 13) Используя формулы 17.3.1) и 17.3.2) находим модуль скорости падающих электронов 4(гй! тЬАт где т — масса электрона. Подставляя численные значения получаем и и2х!0 м(с. 14) величин, Ответ: и = =2х10 м!с. 4(ей( ь тЬАх 7.4. Соотношение неопределенностей Основные формулы ° Соотношение неопределенностей для координаты и импульса частицы АР„Ах> Ь, 17.4.1) гдедр„— неопределенность проекции на ось х импульса частицы; Ат- неопределенность ее х координаты.
° Соотношение неопределенностей для энергии и времени Решение Угловые положения дифракционных минимумов, расположенных по обе стороны от центрального максимума, определяются формулой Ь яп4з = ч-Л, 11) где Л - дебройлевская длина волны электронов, падающих на диафрагму. Учитывая, что по условию задачи угол 1е мал, для угловой ширины центрального максимума А1а имеем приближенное выражение 2Л А4з=- — . 12) Ь Кроме того, учтем, что для малых А4з имеет место соотношение Ахи(А4з. В результате получаем приближенную формулу, связывающую линейные размеры центрального дифракционного максимума на экране Ах, ширину щели Ь, расстояние ( от щели до экрана и дебройлевскую длину волны электронов Л 216 Глава 7 ЛЕ Л~ >а, (7.4.2) где ЛЕ-неопределенность энергии данного квантового состояния; Лгвремя пребывания системы в этом состоянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
