Решение задач по Физике (Кириллов) (1018048), страница 23
Текст из файла (страница 23)
5.! О. (5.3.1) Рис. 5.10 ° Площади отдельных зон Френеля ,Ж = —. (5.3.2) а + Ь ° Векторные диаграммы. Если разбить фронт сферической волны на элементарные кольцевые зоны, очень узкие по сравнению с шириной зон Френеля, то действие волн можно представить в виде векторной диаграммы амплитуд. На рис. 5.11а представлен результат сложения элементарных амплитуд для двух первых зон Френеля, на рис 5.11б— для большого числа зон Френеля. 177 Оптика б) а) Рис. 5.! 1 ° Дифракция Фраунгофера на щели Рис.
5,!2 ° Условие минимумов интенсивности при нормальном падении света иа щель (см. рис, 5.12) Ья!п!а=.ь/сЛ, !! =1,23,... (5.3.3) ° Дифракционная решетка условие равных максимумов дя)од=а, (5.3.4) где к =1,2,3,,..; с(-период решетки, !а - угол наблюдения. ° Угловая дисперсия дифракционной решетки 6!а й 0= — = аЛ а соя га !78 Глава 5 ° Разрешающая способность дифракционной решетки )1 = — = lаУ, л (5.3.6) бЛ где )г — порядок дифракционной картины, М вЂ” число штрихов решетки, аЛ = Л, — Л, - минимальная разница двух разрешаемых световых волн с длиной волны Л, и Л . ° Формула Брэгга-Вульфа. Условие дифракционных максимумов при отражении рентгеновского излучения от плоскостей кристалла: 2дз)па=И, где д - межплоскостное расстояние, а угол скольжения луча, lг =1,2,3,...
порядок дифракционных максимумов. Рис. 5.13 Примеры решения задач 5.3.1. Плоская световая волна падает нормально на диафрагму с круглым отверстием, которое открывает первые Ф зон Френеля — для точки Р на экране, отстоящем от диафрагмы на расстояние Ь. Длина волны света равна Л. Найти интенсивность света 1о перед диафрагмой, если известно распределение интенсивности на экране 1(г), где г — расстояние до точки Р.
Решение Согласно закону сохранения энергии, энергия прошедшего через отверстие в диафрагме света равна энергии света, падающего на экран. Энергия света, прошедшего за 1с через отверстие равна й'~ = год!'15 где л)5 - площадь одной зоны Френеля (см, рис, 5.11). Так как в нашем случае а = » (плоская волна), то Ю = лЬЛ . Энергия падающего за !с света на экран й' = )2лгй" 1(г). о На основании равенства й', = й', получаем 179 Оптика 1о "глЬЛ вЂ” ) ~(г)2лг"г. о Окончательно 1о )г(г)гггг. 2 гт'ЬЛ Ответ; 7о = — )г(г)ггА.
2 1®ЬЛ о 5.3.2. Между точечным источником света и экраном поместили диафрагму с узким отверстием, радиус которого г можно менять. Расстояния от диафрагмы до источника и экрана равны а=!00 см и Ь=125 см. Определить длину волны света, если максимум освещенности в центре дифракционной картины на экране наблюдается при г~=!,00 м и следующий максимум при гг=!,29 м. Региеине Предположим что при г = г, для центральной точки дифракционной картины на экране диафрагма открывает и зон Френеля. Согласно формуле (5.3.! ) Следующий максимум при г = г, будет наблюдаться, когда число открытых зон Френеля увеличится на две — — (т+ 2)Л (2) а+Ь Возводя уравнения (1) и (2) в квадрат и вычитая после этого из последнего уравнения первое, получим г, — г = — (т+2 — т)Л= —, г г аЬ 2аЬЛ а+Ь а+Ь Отсюда получаем ответ 1,) 2аЬ 180 Глава 5 Ы-Да+Ь) Ответ: Л='' ' " =О,бмкм.
2аЬ 5.3.3. Плоская световая волна Л=640 нм с интенсивностью 1в падает нормально на круглое отверстие радиуса г=1,20 мм. Найти интенсивность в центре дифракционной картины на экране, отстоящем на расстояние Ь=1,5 м от отверстия. Решение. Определим число открытых зон Френеля для центральной точки на экране. Согласно формуле (5.3.!) при а -э (т.к, падающая на диафрагму волна плоская): В , = '"'=,/ьл а+Ь О Рис. 5.14 Отсюда, подставляя числовые значения соответствующих параметров, получаем Ответ: ! = 21„ 5.3.4.
Плоская световая волна с Л =0,60мкм падает нормально на достаточно большую стеклянную пластинку, на противоположной стороне которой сделана круглая выемка (см. рис. 5.!5). Для точки наблюдения Р ге г га = — =1,5, ЬЛ то есть открыто 1,5 зоны Френеля. Векторная диаграмма для этого случая показана на рис 5.14. Из рисунка видно, что амплитуда световой волны в центре дифракционной картины ОВ= Г2Ав, где Ав - амплитуда волны при полностью открытой диафрагме. Поскольку интенсивность световой волны пропорциональна квадрату амплитуды, то искомая интенсивность 1 = 210. 181 Оптика она представляет собой первые полторы зоны Френеля. Найти глубину Ь выемки, при которой интенсивность света в точке Р будет: а) максимальной; б) минимальной; в) равной интенсивности падающего света.
Ь Решение Пусть сначала глубина выемки равна нулю. На рис. 5.!6 показана спираль Френеля и вектор л, представляющий вклад в амплитуду Рис. 5.15 электромагнитного излучения от первых полутора зои Френеля. Вектор с показывает вклад от всех зон Френеля, поэтому вектор Ь дает вклад от всех зон Френеля, кроме первых полутора зон. При увеличении глубины выемки изменяются фазовые соотношения между этими векторами. Оптическая длина пути для света, проходящего через выемку глубиной Ь в стеклянной пластинке с показателем преломления л меньше, чем для света, идущего через всю толщу пластины на величину (л - !)Ь. Разность фаз между лучами, прошедшими через выемку и остальными лучами, соответственно, уменьшается на величину д = — (л — 1)Ь. 2л ь) Л Это приводит к повороту вектора а по часовой стрелке.
Интенсивность света в точке наблюдения Р будет максимальной когда вектор а а станет параллельным вектору Ь, то есть повернется 'с на угол (Зл/4) + 2~Дс, где Ь = 0,1,2... Необходимая Рис. 5.16 глубина выемки определится из условия 2л — (л — 1) Ь = (Зл'/4) + 2тс, Л откуда Л(/с + 3/8) (н — !) Интенсивность света в точке Р будет минимальна, когда векторы а и Ь будут антипараллельны, то есть когда 182 Глава 5 — (л — 1) Ь = (7лг/4) + 2Ф, 2л Л откуда Л(сс + 7/8) (и — 1) Если вектор а повернется на угол 2лсс или угол (Зл/2)+2дс~, то сумма а+Ь даст вектор, длина которого окажется равной длине вектора с и, следовательно, интенсивность света в точке Р окажется равной интенсивности падающего света. Это возможно при следующих глубинах выемки Лс (л — !) или Л((с + 3/4) (л — 1) Используя значение показателя преломления для стекла л=1,5, получаем а) Ь=1,2(сс+ 3/8)мкм, б) Ь=1,2()с+7/8)мкм, в) Ь=1,2(с мкм или Ь=1,2(А + 3/4) мкм.
Ответ: а) Ь=1,2(!с+3/8) мкм, б) Ь=1,2(lс+ 7/8) мкм, в) Ь=1,2)с мкм или Ь=),2 (/с + 3/4) мкм, где (с = 0,1,2.... 5.3.5. Точечный источник монохроматического света расположен перед зонной пластинкой на расстоянии а=1,5 м от нее. Изображение источника образуется на расстоянии Ь=1,0 м от пластинки.
Найти фокусное расстояние зонной пластинки. Решение Воспользуемся рис. 5.10. Зонной пластинкой называется такая пластинка, которая закрывает, например, все нечетные зоны Френеля. По сравнению с обычной диафрагмой при использовании зонной пластинки в точке наблюдения резко увеличивается интенсивность света. Для радиусов зон Френеля в случае зонной пластинки справедлива формула (5.3.1). При увеличении а положение освещенной точки на оси (см. рис. 5.10) будет изменяться: Ь будет уменьшаться. При а-в (плоская падающая волна) формула (5.3.1) имеет вид 183 Оптика г„, = /Ь'~иЯ. Приравнивая выражения для г„„даваемые последней формулой и формулой (5.3.1), получаем аЬ Ь'= —.
а+Ь В точке, находящейся на расстоянии Ь от зонной пластинки, в результате дифракции падающей плоской волны на этой пластинке интенсивность света оказывается максимальной. Поэтому указанную точку называют фокусом, а Ь - фокусным расстоянием зонной пластинки. аЬ Ответ: Ь = —. а н-Ь 5.3.6. Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом а'=2,2 мкм, если угол между направлениями на фраунгоферовы максимумы первого и второго порядков Ад =15'.
Решение Направления главных максимумов, создаваемых дифракционной решеткой, определяются формулой (5.3.4). В данном случае к имеет значения ! и 2. Соответствующие уравнения запишутся следующим образом а51пд, =Л (1) 051пд, =22 (2) Ад=В, — д,. Перепишем уравнения (!) и (2) следующим образом: Я 5!од, =— а' 22 51пд, = —. Складывая и вычитая эти уравнения и используя тригонометрические соотношения лля суммы и разности синусов, получаем: В +д, 1В 32 51пдз + 51пд~ =25ш соз — =— 2 ) 2 с( 184 Глава 5 В+В, .
АВ Л 51П Вз — 51П В1 = 2С05 51П вЂ” = —. г,) 2,1' Приведем эти уравнения к виду В,+В, ЗЛ 2с! с05— 2 В,+В, Л 2д яп— 0: А = =0.5с Няп с!В 5 — 4 Ю 5.3.7. Показать, что при нормальном падении света на днфракционную решетку максимальная величина ее разрешающей способности не может превышать значения 1/Л, где ! — ширина решетки, Л - длина волны света. Решение Условие главных дифракционных максимумов и разрешающая способность дифракционной решетки В определяется соотношениями (5.3.4) и (5.3.6): с! яп В = lсЛ В=— Л БЛ (!) (2) Из первого уравнения следует /сЛ япВ= — <! Н Отсюда получаем lс < —. с! Л Подставляя последнее соотношение в (2), получаем 2 Возведем эти уравнения в квадрат и сложим их, а затем после ряда простых преобразований получим окончательно; Л= с! 51п с! В =0,54 мкм. с-ь бб 185 Оатика !(< — М= —, ! Я Я' где ! = !тИ .
Таким образом )! < —. ! Я' ! Ответ: Я<в Я Решение а) Разрешающая способность дифракционной решетки определяется соотношением (см. (5.3.6)) Н = — = кто Я Ю Подставляя в это уравнение аЯ = Я, — Я,, М = —, где ! — длина решетки, Ы вЂ” ее период, получаем Я вЂ” Я, г( = lс —, (1) где Я=Я, иЯ,. Из полученного равенства получаем искомый период решетки г(и ' ' и0,05 мм. (г!(1а — ' ) л, б) Используя формулу (1), получаем Я, г! аЯ, й, (2) 5.3.8. При нормальном падении света на дифракционную решетку ширины 10 мм обнаружено, что компоненты желтой линии натрия (589,0 и 589,6 нм) оказываются разрешенными, начиная с пятого порядка спектра.
Оценить: а) период этой решетки; б) при какой ширине решетки с таким же периодом можно разрешить в третьем порядке дуплет спектральной линии с Я=460,0 нм, компоненты которого отличаются О,! 3 нм. 186 Глава 5 где 1, - искомая для данного случая длина решетки, 2, =460,0нм, а), =О,!Знм, !1, =3. Подставляя числовые значения параметров в (2), получаем ответ 1, =59 нм. / !(», - 2, ) Ответ:а) Ып ' ' н0,05ммлб) /,п59нм. 2 5.3.9. Узкий пучок рентгеновских лучей падает под углом скольжения а = 60,0' на естественную грань монокристалла !9аС1, плотность которого /г=2,16 г/см'..
При зеркальном отражении от этой грани образуется максимум второго порядка. Определить длину волны излучения. Решение При решении воспользуемся формулой Брэгга-Вульфа (5.3.7) и рис. 5.13. Для определения межплоскостного расстояния Ы в кубическом кристалле МаС! вычислим сначала объем элементарного куба (Р), приходящийся на одну формульную единицу ХаС) 1 и М р где й/ — число молекул !9аС! в 1см', р — плотность кристалла МаС1, и=123+35.5)а.е.м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
