Решение задач по Физике (Кириллов) (1018048), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В ° Если на осциллятор действует вынуждающая сила, которая изменяегся по гармоническому закону: Г(г) = Гв сохах, то колебания описываются дифференциальным уравнением — + 2 0 — + йг х = Г совах, И х ггх 0 0 (4.3.1) глеб = Гв lгл, остальные обозначения те же, что и в формуле (4.2.2).
° Общим решением неоднородного уравнения (4.3.!) является сумма решений однородно~о уравнения (4.2.2) (т.е. уравнения, в котором ((г) = 0) и частного решения неоднородного уравнения. Решение однородного уравнения дается формулой (4.2.3). С течением времени свободные колебания осциллятора затухают. ° Частное решение неоднородного уравнения имеет вид (его часто называют установившимся решением) х = й соз(йх - (в), (4.3.2) 141 Колебания и волны момент г = О, когда шарик находился в состоянии равновесия, к нему приложили вынуждающую силу Г, = Рвсозах, совпадающую по направлению с осью х, Найти: а) закон вынужденных колебаний шарика х(г), б) закон движения шарика в случае, если ох= во.
(4) Рв (соз гоо! Соз пу) х= (6) гл(оз оэо ) б) Представим оэ в виде ш = озв + х)в и подставим зто выражение в (6). После простых тригонометрических преобразований получим о о' о' Рв созаэьсозговг создгог+зшювг 5!п.дго1 (7) гл (гоо + ага)™о Решение а) Движение шарика под действием вынуждающей силы описывается уравнением (4.3.1) с коэффициентом затухания ф= О, т.е.
в) х —, + вв х = 7"в соз пх, (1) аг Общее решение этого уравнения имеет вид х = ао соз(ау+ а) + а соз(пх - (о), (2) где первое слагаемое представляет собой решение уравнения (1) с нулевой правой частью (т. е. однородного уравнения), второе слагаемое - решение неоднородного уравнения (1), где (3) Неизвестные коэффициенты ав и а определим из начальных условий Рв х(О)=овсова+ о =О т(гов -го ! з ах =-логов з1па= О . (5) й, „ Из уравнения (5) следует, что гг= О. Из уравнения (4) получаем Р а о о ш(гоо Подставляя найденные значения ав и а в уравнение (2), получим искомое решение задачи 142 Глава 4 Полагая х)в малым, таким, что х1В«В, «)г и г)«Х«1, и оставляя в разложении (7) по малым параметрам члены не выше 1-й степени по г)в и х(«х, получим Ро (соя во! соз «х) Ро! ' 51п ио! Ответ: а) х=, б) х= иг(в' — в, ) 2нгво 4.3.2.
При частотах вынуждающей гармонической силы «х и в амплитуды скорости частицы равны между собой. Найти частоту, соответствующую резонансу скорости. Решение Смещение частицы при вынужденных гармонических колебаниях определяется формулой (4.3.2). Сначала, используя (4.3.2), найдем частоту, при которой амплитуда скорости имеет максимальное значение.
Уравнение для скорости частицы получим, дифференцируя (4.3.2) по времени М!) = -««в)п(«х - («) = )го а)п(«я - («), где Хов )го =«в= 1(вг в г)г +4Ргвг)иг - амплитуда скорости, зависящая от частоты в, Частота, при которой (го(в) имеет максимальное значение, определяется из уравнения о =() г'~ о (2) ггв Решая уравнение (2), находим, что )го достигает максимально!.о значения при в= «(г, т.е. \'о(«гг) = )го (3) причем Хо Ро )о 2!7 2т,В (4) "о г)в! ' "'" во! Ро! ' з(п шо' х= 2вох(в 2лгво Таким образом, при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебаний шарика амплитуда колебаний линейно возрастает в зависимости от времени.
143 Колебонил и волны Мы получили интересный результат: частота, при которой амплитуда смещения достигает максимума (см. (4.3.3)), не совпадает с частотой, при которой максимума достигает скорость частицы. Далее воспользуемся условием, что амплитуды скорости при частотах оь и отт равны ((ш, — ота ) +4Ф ш, )и Нотг — ша ) +4ф озт )и Поскольку, в соответствии с (3), максимум амплитуды скорости достигается прн ш = аь, то из уравнения (5) мы можем определить ш, .
Разрешая (5) относительно оь, получим искомый результат задачи а(,=Мат,)'". Ответ: оа = (оа оо ) 4.3.3. Под действием внешней вертикальной силы Р, = Ра совах тело, подвешенное на пружинке, совершает установившиеся вынужденные колебания по закону х=а соз(ах - (е). Найти работу силы Р за период колебания.
Решение Элементарная работа силы за период определяется выражением ИА = Р„дх, где (2) 0х = -пол(п(ох - (о) Й. Подставляя (2) в (1), получаем с(А = -(Ра совах)ион(п(ох - (о) й. Работа за период т Ат=-ашба )гсозохяп(ох — (0)тй. Используя известное тригонометрическое соотношение, получим т Ат = -ашРа ~(яп(2ох — (о) + яп(-(а))~й. о Интеграл от первого слагаемого за период равен нулю. В результате получаем окончательно Ат = (аозГаТз(пЯ!2 = лоРаз)пат. Ответ: Ат = лоР,з!п(а 144 Глава 4 4.4. Упругие волны Основные формулы ° Уравнение плоской незатухающей волны, движущейся вдоль оси Х ь = асо5(ах — хх) (4.4.1) где ф - смещение частиц среды из положения равновесия, а — амплитуда смещения, ю - циклическая частота, 1= 2игЛ - волновое число, Л - длина волны.
° Уравнение плоской затухающей волны, движущейся вдоль оси х Дх,г)=ае зх соз(щг — 1х), (4.4.2) гдеу -- коэффициент затухания волны. ° Уравнение плоской волны, движущейся в произвольном направлении в пространстве ь (гД=асо5( 031 -ггг), 2х где г - радиус- вектор точки наблюдения; гг = Ии = — и - волновой Л вектор; и = (еКД)) - единичный вектор параллельный Й; а,)э',у— (4.4.3) направляющие косинусы вектора и. ° Фазовая скорость волны, т.е. скорость перемещения поверхности постоянной фазы, направленная вдоль нормали к этой поверхности параллельно вектору гг.
в lс Т (4.4.4) где Т вЂ” период колебаний волны. Примеры решения задач 4.4.1. Плоская волна с частотой вэ распространяется так, что некоторая фаза колебаний перемешается вдоль осей х, у, т со скоростями соответственно Уь Уь Рь Найти волновой вектор А, если орты осей координат ех, ею е. заданы. 145 Колебания и волны Решение На рис.4.8 схематически представлена плоская волна в некоторый момент времени распространяющаяся со скоростями вдоль осей х, у, . У! Рис.4.8 Уравнение плоской волны имеет вид (см.
(4.4.3) и (4.4.4)) в в ~ = а соя (ах -кг) = а соя ( в! - — пг) =а соа [ в г - — ( а х + фу + ус )[. (1) Положим у = 2 = О; тогда в в ф=а соа ( вг- — ах) =асса (вг- — х) =асов(вг — lгхх) (2) )l У! Из (2) следует, что в в ()г1сг ) Аналогично получаем выражения для (г и 1г, йу= —,/С,= —. 12 ~3 Окончательно: 1 1 1 lг= в(е„— +е — +е,— ), 146 Глааа 4 где е„,ен е, — единичные векторы, направленные вдоль осей х,у,г.
! 1 1 Ответ: lг= ш(е„— + ел — + е,— ). 4.4.2 В среде К распространяется упругая плоская волна ~ = асов(их — йх). Найти уравнение этой волны в системе отсчета К', движущейся в положительном направлении оси х с постоянной скоростью Р по отношению к среде К. Решение Выберем в пространстве произвольную точку А. Координаты х и х'точки А в системах К и К' связаны между собой соотношением х = х'+1 л Рис.4.9 Подставляя это соотношение в выражение для фазы волны, получим пх — йх=ах — !г(х +Ю) =(ш — Ю)г — йх = ш, 1l =(О- — У)г — йх'= ш(1- — )г-йх', У 0 О где и = — - фазовая скорость волны в среде )г В результате получаем 147 Колебания и волны « = асов[а>(1 — — )г — Кх [.
>> Это соотношение описывает эффект Доплера в случае движения приемника излучения относительно среды со скоростью )>. Ответ: « = асов[а>(1- — )г — /х [. г> 4.4.3. В однородной среде распространяется плоская упругая волна вида«=ее '" соз(ах — хх), где а, /, а> и >< — постоянные. Найти разность фаз колебаний в точках, где амплитуды смещения частиц среды отличаются друг от друга на >7=1,0%, если 7'=0,42 м и длина волны -> Л =50 см.
Решение Амплитуды волн в точках с координатами х< и х2 определяются выражениями а, = ае '"', а, = ае "-'. По условию задачи >)= "=1 — е> 2 а,— аз ы,> а, 1п(1 — г)) Отсюда х, — х, = — . Разность фаз волны в точках 1 и 2 й !п(1 — г)) 2х .1п(1 — г)) Л4>» =-х(хз — х,) = Я) 2>г(-0,01) 0,5 0,42 Окончательно получаем Л(о„= ' >) =-0З р д. 2л 1п(1 — >)) Я) 2л 1п(1 — г)) Ответ: Ь(аз< = = -0.3 рад. Щ 148 Глава 4 4.5. Электромагнитные волны Основные формулы ° Уравнения Максвелла го2Е = — —, г)гкВ = О, аВ вя Вяв гоГН=2'+ —, йтР=р Й (4.5.!) В = Ррв Н, Р м юд Е, где Е и Р - векторы электрического поля н смещения, В и Н- индукция и напряженность магнитного поля,7' и р - плотности электрического тока и заряда, е, и,ц, - электрическая н магнитная постоянные, е и р— диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества.
° Волновое уравнение электромагнитного поля для векторов Е и Н 1 г)2Е 1 В2Н АЕм — —,, ЬН=— (4.5.2) 2 Ъвз ' ' )22 въ2 а2 д2 д2 где Л = —, е —,+ —, — оператор Лапласа, р = — - фазовая скорость ах' ау' а" Е)2 электромагнитной волны в среде; с — скорость света в вакууме; в,)2- (4.5.3) (4.5.5) диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. ° Волновое уравнение для плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси Х (частный случай уравнения (45.2)); В Е )аЕ а22Н )2 с1' в)2 )2 ° Связь между Е и Н в плоской волн Е2(ввв = Нз/ддв (4.5.4) ° Объемная плотность энергии электромагнитного поля ЕР ВН а2= + —, 2 2 ° Плотность потока электромагнитной энергии — вектор Пойнтинга Я = (ЕН'1 (4.5.6) ° Связь между плотностью импульса а (т.е. импульсом единицы объема) и плотностью энергии а2 электромагнитного поля а=— (4.5.7) 149 Колебания и нолны Прихгерьг решения задач Решение Представим вектора Е и Н в форме: Е=Еы еии и~, Н=Н и подставим их в уравнение Максвелла (4.5.1): ав ан гогЕ = — — =-ро— а 'а (2) (и=1 по условию задачи).
Для определения гогЕ вычислим сначала производные Е по координатам х, у, ьз дЕ к со .. ЭЕ . дŠ— =Е„ек '"'(-Й„)=-Й„Е, — =-Й,Е, — =-ЙсЕ. ах " " " ' ау ' ' а Таким образом, дифференцирование Е по х зквивалентно в данном случае умножению Е на множитель (- Й„) и т.д. Подставим соотношения (2) в формулу для гог Е, записанную с использованием определителя г г 1с а а а г г' й„ lсс lс, =-г[lс Е). Е, Ег Е.
гог Е = [Ч Е) = дх ду дг Е„ Е, Е, Определим теперь частную производную ан — — иоН, дг дН и подставим полученные выражения для гас Е и — в первое уравнение дг Максвелла; - г[lс ° Е) = -де иоН . Отсюда получаем выражение для поля Н 4.5.1.
Плоская злектромагнитная волна Е=Е соз(ох-1сг) распространяется в вакууме. Считая векторы Е и гс известными, найти вектор Н как функцию времени г в точке с радиус-вектором г=О. Глава 4 150 Н= — [й Е] 13) Ро" Последнее соотношение показывает, в частности, что у электромагнитной волны в вакууме фазы электрического и магнитного л поля совпадают (при сдвиге фаз, например, — в этом соотношении 2 появился бы множителы).
Используем в (3) выражение (1) для Е и возьмем реальную часть от обеих частей равенства (3): Н (г,г) = — [л Е 1РОз(олг — ггг) 1 Ро" Между волновым числом 1г и круговой частотой и справедливы соотношения 2л 2ли га Л Ло с следовательно зlеаРа 1 1еа Рога Ро"с РФ й Ч Ро При г = 0 получаем окончательно Н(г=О,г)= —. — а[1 Е„~оз[)гсг). "ЧРо Ответ: Н[г =Од)= —. — ~[lг Е„~оз[)гсг). в 1)Ро 4.5.2. Найти средний вектор Пойнтинга < 5 > у плоской электромагнитной волны Е = Е соз[гаг -)гг), если волна распространяется в вакууме. Решение В соответствии с формулой (4.5.6) для определения вектора Пойнтинга мы должны вычислить вектор Н, что для плоской волны в вакууме выполнено в задаче 4.5.1: Н =-.ВЫ Е1 (1) 'г Ч Ра 151 Колебания и волны Подставив (1) в формулу (4.5.6) получим 5 о [Е.[й ЕУ= о [)г(Е Е) Е(Е /г)[ "Ь'о ")) )го Мы здесь воспользовалнсь известной формулой векторного анализа для двойного векторного произведения [а [Ь с][=Ь(а с) — с(а Ь), для запоминания которой часто используется выражение "бац минус цаб".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
