Решение задач по Физике (Кириллов) (1018048), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Заряд конденсатора при этом равен г)=СО . Дифференцируя это соотношение по времени и принимая во внимание, что (иЫЙ = и), найдем ток, текущий по проводам 1 = ео(е — 1)2гпъ(1 Я. Ответ: 1 = е (е -1) 2яги У Я . 3.4.2. Однородная слабопроводящая среда с удельным сопротивлением р заполняет пространство между двумя коаксиальными идеально проводящими тонкими цилиндрами. Радиусы цилиндров а и Ь, причем а < Ь, длина каждого цилиндра 1.
Пренебрегая краевыми эффектами, найти сопротивление среды между цилиндрами. Решение Систему можно рассматривать как конденсатор со слабой утечкой. Пусть ток утечки будет равен 1. Вследствие закона сохранения заряда плотность тока на расстоянии г от оси цилиндров (а <г<Ь) равна 1 =112лг1. Отсюда напряженность поля равна Е= зр. Интегрируя это соотношение по г, найдем напряжение между цилиндрами: л У = ()Ес(г = 1р)п(Ы а)12л1 Поделив У иа 1, найдем сопротивление 11 = р!п(Ыа)12Ж.
108 Глава 3 Ответ; /« =/э!п(/«/а)/2ш. 3.4.3. Зазор между пластинами плоского конденсатора заполнен неоднородной слабопроводящей средой, удельная проводимость которой изменяется в направлении, перпендикулярном к пластинам, по линейному закону от «т, до «г,. Площадь каждой пластины 5, ширина зазора «1. Найти ток через конденсатор при напряжении на нем (/. Решение х При протекании через конденсатор тока 1 плотность тока всюду одинакова и равна / =1/Б.
По + условию задачи зависимость удельной проводимости от координаты х (ось х направлена перпендикулярно Рис. З.б пластинам от положительной к отрицательной, и начало координат находится на положительной пластине) имеет вид: о(х) = о, +(о; — о;)х/«/. Согласно закону Ома в дифференциальной форме напряженность поля равна Е(х) =1/5«г(х). Интегрируя это соотношение по х, найдем разность потенциалов бб 1«/1п(оз / о, ) о ~(оз Отсюда найдем ток через конденсатор (/8(о;-о,) «/1~(~, /~,) (/б(о, -о,) Ответ: 1 = «/1 (~,/~,) 3.4.4.
Два металлических шарика одинакового радиуса а находятся в однородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлением р. Найти сопротивление среды между шариками при условии, что расстояние между ними значительно больше а. 109 Электричество и л~агнетилм Решение При подключении шариков к источнику тока, на них появятся разноименные заряды, по модулю равные 9. При этом, поскольку шарики находятся далеко друг от друга, их потенциалы равны; р, =9/4ле а, р, т -р,, а разность потенциалов // т 9/2леоа.
Ток, стекающий с положительно заряженного шарика, равен: / =/ 4/щ =Е 4ка'/р=9/евр. Поделив //на /, найдем сопротивление Е среды между шариками Я = р/2лп . Ответ; И =р/2жз. 3.4.5. Два проводника произвольной формы находятся в безграничной однородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлением р и диэлектрической проницаемостью ц Найти значение произведения ЯС для данной системы, где Š— сопротивление среды между проводниками, С- взаимная емкость проводников при наличии среды.
Решение При подключении проводников к источнику тока, на них появятся разноименные заряды, по модулю равные 9. При этом разность потенциалов //=9/С. С другой стороны // = И. Отсюда ИС=9//. Заряд проволника равен 9 =~о с/л, где сг — поверхностная плотность заряда, а интегрирование проводится по поверхности проводника. Ток /, стекающий с проводника, равен /=~ — /в =~ — /в.
Е сг Р лев Р Поделив 9 на /, получим искомое произведение ЕС = еевр. Ответ: ЕСтее р. 3.4.6. Электромотор постоянного тока подключили к напряжению У. Сопротивление обмотки якоря равно Е. При каком значении тока через обмотку полезная мощность мотора будет максимальной? Чему она равна? Каков при этом к.п.д, мотора? 110 Глава 3 Решение Энергия источника тока тратится на совершение полезной работы и выделение тепла в проводах.
Отсюда полезная мощность равна: Р„,„=П/ — 1 П. Дифференцируя это соотношение по 1 и приравнивая производную к нулю, найдем искомый ток: 1 = 1//2Я. Полезная мощность при этом равна Р„",„'* = (/ /4Р, а к.п.д. и = Р„"'"" / П/ = 0,5 . Ответ: Р„;„" =1/'/4К, //= Р„",„'"/П/=0,5.
3.4.7. Радиусы обкладок сферического конденсатора равны а и Ь, причем и <Ь. Пространство между обкладками заполнено однородным веществом с диэлектрической проницаемостью е и удельным сопротивлением /х Первоначально конденсатор не заряжен. В момент г = 0 внутренней обкладке сообщили заряд е/о. Найти: а) закон изменения во времени заряда на внутренней обкладке; б) количество тепла, выделивпоегося при растекании заряда. Решение Пусть в момент времени г заряд конденсатора равен 4. При этом напряженность поля между сферами на расстоянии г от их центра равна Е = д /4/ген г'.
Отсюда по закону Ома в дифференциальной форме найдем плотность тока и сам ток: / = Е/р, / =4лгз/=Ч/рево Очевидно, что ток течет за счет убыли заряда на внутренней сфере. Отсюда получим дифференциальное уравнение, определяющее зависимость 4(г): г6/ г// Рево. е/г Решение этого уравнения с учетом начального условия имеет вид; 4 =(/оех Интересно, что зависимость заряда от времени не зависит от радиусов сфер.
Найдем теперь выделившееся тепло. Для этого воспользуемся формулой (3.4.3) для удельной тепловой мощности н Электричество и лгагнетизи проинтегрируем ее по объему сферического слоя, получив в итоге полную тепловую мощность: о г /'„„„=')Р/' 4лг с/г= П/а — 1/Ь). 4ггРе ео Подставив сюда выражение (1) для с/(г) и проинтегрировав по времени от нуля до бесконечности, получим выделившееся тепло Д = (до /8леео) (1/а-1/Ь). Огвеп 0 = (г/о /8леео) О/а — 1/Ь) 3.4.8. Обкладкам конденсатора емкости С сообщили разноименные заряды г/о. Затем обкладки замкнули через сопротивление /ъ Найти: а) заряд, прошедший через сопротивление за время г; б) количество тепла, выделившееся в сопротивлении за то же время.
Реьиение Напряжение на конденсаторе равно напряжению на сопротивлении: 4/Сии (1) Поскольку ток течет за счет разрядки конденсатора, то 1=-й//й. Подставляя это выражение в (1), получим дифференциальное уравнение, описывающее закон изменения заряда на конденсаторе во времени: й/ ~ т-4/йс. й Решение этого уравнения с учетом начального условия имеет вид: (/ = с/,ехр(-г/йС) Отсюда найдем протекший заряд % = с/о -с/(г) = с/о(1-ехР(-г//сС).
Чтобы найти количество тепла, проинтегрируем тепловую мощность по времени: г с г Д =/)/'Кй = ", )ехр(-2//ЯС)й= "(1-ехр(-2г//сС)). /сс', 2С Как и следовало ожидать, выделившееся тепло равно разности энергий конденсатора в при / =О и /=г. 112 Глава 3 2 Ответ: а) а, =д (1 — ехр( — г/КС), б) (г= " (1-ехр(-2гlйС)). 2С 3.5. Постоянное магнитное поле.
Магнетики Основные формулы ° Закон Био-Савара-Лапласа: ,в рв 1(~1;) 4х г ° Циркуляция вектора В в вакууме и теорема Гаусса для него: )ва1 =,ив1, )Вг(5 =О (3.5.1) (3.5.2) ° Сила Ампера ВГ = 1[в(1,В) ° Циркуляция намагниченности: ~.Ы =!' ° Вектор Н и его циркуляция; Н =Вгрв-,г, ~Нг)1 =1 ° Условия на границе раздела двух магнетиков: (3.5.3) (3.5.4) (3.5.5) В~ = Вз, Н1 = Ни, .Iи '/н ~ пав ° Для магнетиков, у которых 1 = ун: В=НН,Н, р=)+2 (3.5.6) (3.5.7) Примеры решения задач Решение Из теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции следует, что внутри трубы без прорези магнитная индукция равна нулю. Таким образом, индукция в трубе с прорезью равна по абсолютной величине 3.5.1.
Ток 7 течет вдоль длинной тонкостенной трубы радиуса В, имеющей по всей длине продольную прорезь ширины В . Найти индукцию магнитного поля внутри трубы, если 6 «В. 113 Электричество и л~агиетизи индукции, создаваемой током, текущим бы по вырезанной части трубы. Эту индукцию найдем по теореме о циркуляции.
Ток, который тек бы по вырезанной части трубы, равен 1, = 1/г/2лй, где /1 — расстояние от точки наблюдения до прорези. В этом случае теорема о циркуляции (3.5.2) принимает вид: 2лйВ = //о/, . Отсюда находим В = /гв!й/4л'В'. Ответ: В = //ой/4/г'Я'. 3.5.2.
Определить индукцию магнитного поля тока, равномерно распределенного: а) по плоскости с линейной плотностью/; б) по двум параллельным плоскостям с линейными плотностями г и Решение Для определения магнитной индукции воспользуемся теоремой о циркуляции. Выберем замкнутый контур в виде прямоугольника, перпендикулярного плоскости и току 1, с В основаниями длины 1, параллельными плоскости и расположенными симметрично по обе стороны от нее. Из симметрии задачи следует, что вектор магнитной индукции должен быть параллелен плоскости и перпендикулярен !. Запишем теорему о циркуляции: 21В = //в/1, отсюда В = Рв! /2. В случае двух плоскостей индукция Рис.
3.7 между ними удваивается и равна Вт//в/. Вне плоскостей индукция равна нулю, Ответ: а) В =//в//2; б) В =//о/; В =0 вне плоскостей. 3.5.3. По однородному прямому проводу, радиус сечения которого К, течет постоянный ток плотности/'. Найги индукцию магнитного поля этого тока в точке, положение которой относительно оси провода определяется радиус-вектором г. Магнитная проницаемость всюду равна единице. Глава 3 !14 Реиеиив Линии магнитной индукции представляют собой окружности с центрами, лежащими на оси провода и перпендикулярные ей.
Теорема о циркуляции для индукции В, внутри и В, вне провода имеет вид; г В,=//о/' ~, 2 В,=//о/' В-", Отсюда получим искомые значения нндукций, которые представим в векторном виде В, =//о[/г]/2, В, =//о[/г]К~/2г~. Ответ: В, =/го[)г[/12, В, =/з [/г)й~/2г~. 3.5.4. Найти плотность тока как функцию расстояния г от оси аксиально-симметричного параллельного потока электронов, если индукция магнитного поля внутри потока зависит от г как В = Ьг~, где 6 и а-положительные постоянные. Решение Из теоремы о циркуляции вектора В найдем силу тока, протекающего по цилиндру радиуса и Вг) „аи /зо Отсюда ток, протекающий через кольцевой слой радиуса г и толщины г/г равен: о/1 = [а+ 1)г'о/г. 2жл /зо С другой стороны о/1 = 2ю/ о/г.
Отсюда найдем плотность тока Ыа+1)г' ' //о Ыа+1)г' ' Ответ: 1= //о 3.5.5. На деревянный тороид малого поперечного сечения намотано равномерно л/ витков провода, по которому течет ток 1. Найти отношение 1!5 Электричество и магнетизм г/ индукции магнитного поля внутри тороида к индукции в центре тороида. Решение Индукцию на оси тороида найдем с помощью теоремы о циркуляции 2лКВо = //о/)//, где  — радиус оси тороида: В„=//о/ч//2 т. Поскольку ток подходит к тороиду и отходит от него в одной и той же точке, вдоль оси тороида также течет ток /. Таким образом индукция в центре тороида будет такой же, как от кольцевого тока радиуса В.
Эту индукцию найдем с помощью закона Био-Савара-Лапласа (3.5.1): Вг = Р,//2В. Отсюда получим искомое отношение В / В, = /ч'/л. ВО/Вс 3.5.6. Найти магнитный момент тонкого кругового витка с током, если радиус витка равен В, а индукция магнитного поля в его центре В. Решение Магнитный момент р витка равен /гп1 . Ток / найдем с помощью формулы (1) задачи 3.5.5: /=2ЯВ//го. Используя зто соотношение, находим магнитный момент р = 2лй'В///о. Ответ; рн т2гл1'В/,и .
3.5.7. Непроводящий тонкий диск радиуса В, равномерно заряженный с одной стороны с поверхностной плотностью сг, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью щ Найти: а) индукцию магнитного поля в центре диска; б) магнитный момент диска. Решение Разобьем диск на кольцевые слои радиуса г и толщины В». Заряд такого слоя равен Ыг/=сг2лгНг. При вращении диска вдоль слоя течет эффективный ток равный г// = г/г//Т = с/г/пз/2л = сщг Вг. Вклады этого тока Глана 3 116 в индукцию в центре кольца и в магнитный момент равны соответственно (см, формулу (1) задачи 3.5.5 и задачу 3.5.6); ВВ = //нг/1 /2» = /л~гггег/г/2, Вр = ~//ю' = лги>гзг/г Интегрируя эти выражения по г от нуля до К, найдем искомые величины индукции магнитного поля в центре диска В=// сгп/К!2 и магнитный момент диска р = лгга/К' /4. Ответ: В =/лнггоК/2, р =/гсгпЯ'/4. 3.5.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
