Решение задач по Физике (Кириллов) (1018048), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Постоянный ток ! течет вдоль длинного однородного цилиндрического провода круглого сечения. Провод сделан из парамагнетика с магнитной восприимчивостью 2'. Найти: а) поверхностный молекулярный ток Г„ б) объемный молекулярный ток Г„. Как зти токи направлены друг относительно друга? Реюеьие По теореме о циркуляции для напряженности магнитного поля 2/л1Н =1 найдем Н внутри провода вблизи его поверхности (К вЂ” радиус провода): Н =1/2лК. Отсюда определим намагниченность: ./ = з Н = 11/2лК, Теперь по формуле (3.5.4) найдем обьемный молекулярный ток: 1', =21. Плотность поверхностного молекулярного тока определим из граничного условия (3.5.6) для У (намагниченность вне провода равна нулю) Г„„=-./.
Отсюда находим полный поверхностный молекулярный ток: Г„, = 2/лб'„„= 21. Ответ: а) Г„„=21, б) 1', =21. Токи направлены навстречу друг другу. 3.5.9. Прямой бесконечно длинный проводник с током 1 лежит в плоскости раздела двух непроводягцих сред с ма~нитными проницаемосгями //, и цм Найти модуль вектора магнитной индукции во всем пространстве в зависимости от расстояния г до провода. Иметь в виду, что линии вектора В являются окружностями с центром на осн проводника. 1!7 Электричество и магнетизм Решение Воспользуемся теоремой о циркуляции (3.5.5) для Н (напряженности магнитного поля в верхнем и нижнем полупространствах не равны друг другу); лг(Н, + Н,) =1. С другой стороны Н,, = В1нвиьз.
Отсюда находим индукцию магнитного поля В =,иой1сз11ю'(,и1 + йз. Ответ: В= р 1с,1с,11лг(1с, +)с,). Решение Напряженность магнитного поля в зазоре равна Н, = В1 нв. Поскольку сторонние токи отсутствуют, циркуляция Н по замкнутому контуру равна нулю. Выберем контур в виде окружности, совпадающей с осью кольца, Имеем: Н Ь+ Н (п1 -Ь) =О. Отсюда, пренебрегая толщиной зазора по сравнению с длиной кольца, найдем напряженность поля внутри магнита: Н; =-ВЫ ивл1.
Интересно отметить, что направления Н; и В противоположны. Ответ: Н, -ВЫнолЫ. З.б. Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях Основные формулы ° Закон электромагнитной индукции Фарадея: Е; = -с1Ф1с11 ° Индуктивность соленоида: 1. = 1сд,н')с (3.6.1) (3.6.2) 3.5.10. Постоянный магнит имеет вид кольца с узким зазором между полюсами.
Средний диаметр кольца равен и', ширина зазора Ь, индукция магнитного поля в зазоре В. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти модуль напряженности магнитного поля внутри магнита. 118 Слава 3 ° Собственная энергия тока: )У = 2,1'/2 ° Объемная плотность энергии магнитного поля: и =ВН/2 [3.6.3) [3.6.4) ° Плотность тока смещения: у,„=аВ1д ° Уравнения Максвелла в дифференциальной форме: 1В=-ав!дг, гй в=о [3.6.5) (3.6.6) гогН =7'<-а1)/аг, б[чН=р ° Сила Лоренца; Р = уЕ+Ч[гВ) Примеры решения задач [3.6.7) Рис. 3.8 Решение При перемещении перемычки на расстояние ф увеличение площади контура равно д5 = 2х г[у = 2,/у/й ау. Увеличение площади контура приводит к изменению через него магнитного потока и, в свою очередь, к появлению ЭДС индукции, модуль которой равен В, =  — =гВ,[ —— Гу Ыу дг й дг 3.6.1. Провод, имеющий форму параболы у=йх', находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости параболы.
Из вершины параболы в момент 1 = 0 начали двигать прямолинейную перемычку, параллельную оси х. Найти э.д.с. индукции в образовавшемся контуре как функцию у, если перемычку перемещают: а) с постоянной скоростью гб б) с постоянным ускорением а, причем в момент г=О скорость перемычки была равна нулю. 119 Электричество и магнетизи В случае а) у = и. Отсюда Е; = 2Ви ~ у П . В случае б) у = а/'/2. Подставляя это соотношение в (1) и выражая / через у, получим Е; т2Вуч/2аП. Ответ: а) Е, = 2Ви,~у П, б) Е; = 2Ву-/2а П . 3.6.2. По П-образному проводнику, расположенному в горизонтальной плоскости, может скользить без трения перемычка.
Последняя имеет длину / массу т и сопротивление В. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном плоскости проводника. В момент г =0 на перемычку стали действовать постоянной горизонтальной силой Р. Найти зависимость от /скорости перемычки. Самоиндукция и сопротивление П- образного проводника пренебрежимо малы. Решение В момент времени, когда скорость перемычки равна !', ЭДС индукции равна ВИ При этом ток, протекающий в контуре равен / = ВИ/ И.
Таким образом на перемычку действует сила Ампера, равная ВВ, направленная против скорости движения. Перемычка движется под действием внешней силы Р и силы Ампера, и ее закон движения имеет вид: В212)г / В ~// Решая это дифференциальное уравнение стандартным методом разделения переменных с учетом начального условия ()г =0 при /=О), получим зависимость )г/г) = 11- р1-В 1 //тВ)1, РВ 1 2 2 В2/2 Ответ: р(/) = — !! - ехр(-В 1 // тВ)1 РВ 1 Вг/2 3.6З.
В длинном прямом соленоиде с радиусом сечения а и числом витков на единицу длины н изменяют ток с постоянной скоростью / А/с. !20 Глава 3 Найти модуль напряженности вихревого электрического поля как функцию расстояния г от оси соленоида. Решение Магнитную индукцию внутри соленоида легко найти, используя теорему о циркуляции (3.5.2): В = ивл1.
Магнитный поток через окружность радиуса г с центром, лежащим на оси соленоида имеет вид: Ф=Влг~ (при г<а), Ф=Вла~ (при г>а). Вихревое электрическое поле найдем, используя закон Фарадея для электромагнитной индукции (3.6.1): ВФ/гй = -2лгЕ. Отсюда найдем модуль напряженности поля внутри и вне соленоида. Ответ: Е=//влг//2 (при г<а), Е=//ла П2г (при г>а).
3.6.4. Катушку индуктивности Е и сопротивления В подключили к источнику постоянного напряжения. Через сколько времени ток через катушку достигнет /1 = 0,5 установившегося значения? Решение В нашей цепи действуют ЭДС источника постоянного напряжения Е и ЭДС самоиндукции. Для определения зависимости тока от времени воспользуемся законом Ома для замкнутой цепи: Š— Е =/В й Решая это дифференциальное уравнение стандартным методом разделения переменных с учетом начального условия 1=0 при /=0, получим зависимость 1(/): 1(г) = 1-ехр— Установившееся значение тока равно Е/В. Отсюда уравнение для определения времени г имеет вид: п=1-ехр — г .
Отсюда найдем время / = -(Е/В)1п(1 — //) . Ответ: г=-(Е/В)1п(1-г/). 121 Электричества и магнетизм 3.6.5. Найти индуктивность единицы длины кабеля, представляющего собой два тонкостенных коаксиальных цилиндра, если радиус внешнего цилиндра в // раз больше, чем радиус внутреннего. Магнитную проницаемость среды между цилиндрами считать равной единице. Решение Пусть ток в кабеле равен /. Тогда напряженность магнитного поля между цилиндрами кабеля определяется с помощью теоремы о циркуляции для вектора Н: Н = //2/л, где г — расстояние от оси кабеля до точки наблюдения. При этом плотность энергии магнитного поля равна т=//,Н'/2.
Интегрируя это соотношение по объему, заключенному между обкладками кабеля единичной длины, получим заключенную там магнитную энергию: И = Ь;,/й ="' ~ "' ="' 1 (/(/.). 4зг ' г 4/г Отсюда, воспользовавшись формулой (3.6.3) и тем, что г/=/1/г, найдем индуктивность единицы длины кабеля /.
= /з„1п(//)/2/г. Ответ: /. = Рв!п(з/)/2зг. 3.6.6. Определить индуктивность тороидального соленоида из /(/ витков, внутренний радиус которого равен Ь, а поперечное сечение имеет форму квадрата со стороной а. Пространство внутри соленоида заполнено однородным парамагнетиком с магнитной проницаемостью //. Решение Напряженность магнитного поля внутри тороида на расстоянии г от его оси найдем, воспользовавшись теоремой о циркуляции (3.5.5).
Пусть ток тороида равен /. Тогда 2лгН =Ы/, откуда Н =Ы//2яг. Разобьем внутреннее пространство тороида на цилиндрические слои радиуса г и толщиной з/г. Тогда магнитная энергия, заключенная в таком слое, равна з/1(' =/г //Нззшг г/г. Проинтегрировав зто соотношение по г от Ь до Ь+ а, найдем магнитную энергию тороида: !22 Глава 3 4л,' 4/е Отсюда, воспользовавшись (3.6.3), найдем индуктивность соленоида /Чад а „ 2т ///дз а Ответ: 1.= в 1пПч-а/Ы. 2я 3.6.7. Пространство между двумя концентрическими металлическими сферами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением р и диэлектрической проницаемостью д В момент / = О внутренней сфере сообщили некоторый заряд.
Найти: а) связь между векторами плотностей тока смещения и тока проводимости в произвольной точке среды в один и тот же момент; б) ток смещения через произвольную замкнутую поверхность, расположенную целиком в среде и охватывающую внутреннюю сферу, если заряд этой сферы в данный момент равен д. Решение Построим внутри проводящей среды сферическую оболочку, радиуса г, концентрическую проводящим сферам. Тогда электрическая индукция на поверхности оболочки равна 0 = д/4лг, а ток смещения 2 1',„=д/)/д/=(//д/е//)14лг'. В то же время, ток равен 1=-йц/й, а плотность тока на расстоянии г от центра / =1/4/л..
Отсюда получаем, что /'„=-/. Из теоремы Гаусса для электрической индукции (3.2.3) следует, что ток смещения через произвольную замкнутую поверхность равен е/ц/е/(=-1. В то же время 1=4/и 1=4лгвЕ1р. Поскольку Е=ц/4эте ет, то модуль тока смещения равен 1„, = ц/е„ер. Ответ: а) /,„=-/',б) 1,„=д/евер. З.б.8. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор 1г3 Электричество имагнетизм зарядили и отключили от источника напряжения. Показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует. Решение Для доказательства воспользуемся следующим уравнением Максвелла в интегральной форме: /)Нг/1=~(у+Э/)/Эг)г/5.
Выберем в качестве замкнутого контура окружность радиуса г с центром на оси конденсатора. Тогда вследствие симметрии задачи используемое нами уравнение Максвелла принимает вид: 2ягН = (/'+ Эо / Э/) з/г~ . (1) Плотность тока / = — (Йу/в/г)/5, где 5 — площадь пластин конденсатора. В то же время электрическая нндукцня внутри конденсатора /э =9/5. Подставляя соотношения для/ и /) в (1), получим, что Н=О. 3.6.9.
Показать, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения электрического заряда, т.е. гбила = — Эр/Эг. Решение Для доказательства воспользуемся следующими уравнениями Максвелла: гогН = /+Э/)/Эг, йчН = р. Возьмем дивергенцию от обеих частей первого уравнения и воспользуемся тем, что йт(гог Н) - =О. Имеем: Э/./+ Э( (ЭП/Эг) = О (1) Продифференцируем по времени второе уравнение Максвелла: Э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
