Решение задач по Физике (Кириллов) (1018048), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Второе слагаемое в (2) в квадратных скобках равно нулю, т.к. векторы Е и гг взаимно перпендикулярны. Следовательно 5= — — Е = — Ее., ео г во г ь " )[)го )[)го (3) где е„- единичный вектор параллельный вектору гг, т.е. направлению распространения волны. Усреднение вектора 5 за период приводит к определению среднего значения за период функции соз (агг -йг). Нетрудно показать, что <соз (агг-яг)>= —. г 1 2 Окончательно получаем Е ° ) во <5 >= — е„.
2 1ио Ответ: <5 >= — — е„. Е, )во 2 ~[до Решение Поле внутри соленоида однородно в силу условия 2К «6 (длинный соленоид). Для определения электрического поля на поверхности 4.5.3. Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, медленно увеличивают. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность. 152 Глава 4 соленоида и его направления воспользуемся законом электромагнитной индукции и правилом Ленца Ю г)(ВВ ) г1В ВВ ~Егл =- — =— = -Я вЂ” = -лК (1) г1г г1г й й где Ф - магнитный поток через соленоид, Я вЂ” поперечное сечение соленоида.
В силу цилиндрической симметрии величина поля Е на поверхности соленоида постоянна. Поэтому из (1) для величины Е (без учета знака) получаем Е2хК = хК г ггВ й откуда К гИ Е= — —. 2 ~й Вектор Пойнтинга через поверхность Я ='1Е Н) в соответствии с направлениями полей Е и Н, показанными на рисунке, направлен внутрь соленоида. Полный поток энергии через боковую поверхность соленоида за единицу времени равен Р= 52лКЬ=2лКЬЕН = КгЬ Н ~.'~ Н )г В улдеН )г В ВН (ВН '1 ~2! ВН где аг Следовательно плотность энергии магнитного поля внутри соленоида. Р=У вЂ” = — ()гго )= —, агом а г1)рм 1г г1г г1г При вычислении мы воспользовались соотношением, связывающим ВиН (см. формулы (4.5.1)), и формулой для объема г' цилиндра. Умножая Р на г1г, получим приращение энергии д)т' за счет электромагнитной энергии, втекающей в соленоид через его поверхность 153 Колебания и волны т.е.
поток вектора Пойнтинга равен скорости возрастания энергии магнитного поля в соленоиде. 4.5.4. Плоский конденсатор с круглыми параллельными пластинами медленно заряжают. Показать, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность конденсатора равен приращению энергии конденсатора за единицу времени. Рассеянием поля на краях при расчете пренебречь. Решение Вычислим поток вектора Пойнтинга Рис.4.10 через боковую поверхность цилиндрического конденсатора (см. рис.4.11).
Для этого нужно определить электрическое и ма~нитное поле на краю конденсатора. Пусть на нижнюю пластину конденсатора поступает положительный заряд, а на верхнюю — отрицательный. Тогда электрическое поле внутри конденсатора направлено вверх. Поле однородно, поскольку его рассеяние на краях не учитывается. Поле Е растет по мере поступления заряда на пластины. Для определения поля Н на цилиндрической поверхности конденсатора воспользуемся 3-м уравнением Максвелла (4.5.1), В данном случае его удобно использовать в интегральной форме. В качестве замкнуто~о контура интегрирования возьмем окружность, показанную на рис.4.8 пунктирной линией. В результате получаем следующее уравнение: Из соображений симметрии ясно, что магнитное поле может быть направлено только по касательной к цилиндрической поверхности конденсатора перпендикулярно к его оси.
Поскольку ток проводимости через конденсатор отсутствуе~, то ма~нитное поле в нем определяется 154 Глава 4 током смещения. Интегрирование в правой части (1) производится по плошади круга радиуса К (см. рнс.4.8). С учетом сказанного уравнение (! ) преобразуется к следующему виду: 2гЯН лКг Е ог Отсюда получаем Н К о0 Н = — —. 2 г!г Из рис.4.1! видно, что векторы Е и Н на поверхности конденсатора взаимно перпендикулярны и что вектор Пойнтинга 5 =(ЕН ) направлен Рис.4.11 внутрь конденсатора. Следовательно, поток электромагнитной энергии (Р) через боковую поверхность конденсатора в единицу времени определяется следующим выражением: Р = 2 лКЬ5 = 2 лК)гЕН = лК')гŠ— = )гŠ— (ллоЕ) = )г — ( ) = )г — ( — ), г Ж ~1 г( лгвЕ с~ ЕР Иг г(г г(г 2 г(г 2 г ЕВ где (г =лК а - объем конденсатора.
Так как и„ = — представляет 2 собой объемную плотность электрической энергии внутри конденсатора, то г(аг„гг')!'„ Р = )г —" = — ", й г(г энергия конденсатора. Таким образом, где )!',„ — электрическая утверждение доказано. 4.5.5. По прямому проводнику круглого сечения течет постоянный ток Е Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление К. !55 Колебания и волны Решение Рассмотрим участок цилиндрического проводника сопротивлением )1, представленный на рис.4. ! 2.
Электрическое поле Е однородно по сечению проводника. Для определения поля Н на поверхности проводника используем 3-е уравнение Максвелла(4.5.1), представив его в интегральной форме: б)Н)! = Е Интегрирование в(!) производится по замкнутому контуру, показанному на Рис.4. 12 рис.4.9 пунктирной линией. Ток смещения в данном случае равен нулю, так как вектор Н не зависит от времени. Из условий симметрии задачи следует, что вектор Н на поверхности цилиндра может быть направлен только по касательной перпендикулярно оси цилиндра. С помощью уравнения (1), используя обозначения на рис.4. ! 2, получаем: 1 Н= —, 2л. где 1) напряжение на концах проводника, представленного на рисунке. С помощью закона Ома имеем далее; И=Ей=И, Е= —.
И Ь Векторы Е и Н на поверхности взаимно перпендикулярны и ориентированы так, как показано на рис.4. ! 2. Вектор Пойнтинга направлен внутрь проводника и определяется следующим выражением 5 = ЕН = И / Я 2л. и 2лгн Поток (Р) вектора 5 через боковую поверхность проводника равен 156 Глава 4 Таким образом, энергия в проводнике с током, выделяющаяся в виде джоулева тепла (см.
(3.4.2)), поступает в проводник через его боковую поверхность. 4.6. Излучение злекнгромагнитнвп волн Основные формулы ° Амплитуда электрического и магнитного векторов электромагнитной волны, излучаемой колеблющимся диполем, в волновой зоне, т.е. в области г«Я, где г расстояние от диполя до точки наблюдения, Я- длина волны излучения: 1 Е„, - О„, - — 51пй, г В - угол между радиус — вектором г и направлением колебаний диполя. ° Значение вектора Пойнтинга волны, создаваемой диполем, в волновой зоне 2 8 - — 51П В 2 г ° мощности излучения диполя с электрическим моментом р(2) н заряда о , движущегося с ускорением а: 1 2р2 ! 22!2а2 (4.6.3) 42гео Зсз ' 4лео Зс' Примеры решения задач.
4.6.1. Нерелятивистская заряженная частица движется в поперечном однородном ма~нитном поле с индукцией В. Найти закон убывания (за счет излучения) кинетической энергии частицы во времени. Через сколько времени ее кинетическая энергия уменьшится в е раз? Решение На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца 157 Колебрн24я и волны данном случае центростремительной силой, т.е. У2 = 4УВ, В где У вЂ” скорость частицы, К вЂ” радиус окружности. В Ускорение частицы: У2, УВ 42, т У р = — = —. Следовательно, мощность излучения в соответствии с формулой (4.б.З) равна 24)2Р2 1 24)4У2В2 Р= —.
4леа Зс 4леа Зс т Полная энергия частицы определяется еб кинетической энергией, за счет уменьшения которой происходит излучение. Изменение кинетической энергии за время 4)г определяется выражением Рис.4.13 4)Т = 41( — ) = - Рйк тУ 2 Используя выражение для Р, получим г)'В'У' 12 тЫУ= - —.
4леа Зсзт' Собирая в левой части все члены, зависящие от У, в правой от г, получим АУ вЂ” =-а4)г, где сг= 4) 4о2 . Интегрируя зто уравнение, получаем 3 3 62геас т У= Уе~, где 1'а - скорость частицы при г = О. Далее имеем Т вЂ” а -2 2 е 2 2 Так как по условию задачи скорость частицы перпендикулярна магнитному полю, то под действием силы Лоренца она будет двигаться по окружности. Сила Лоренца является в Глава 4 158 Отсюда получаем время уменьшения кинетической энергии частицы за счет излучения в е раз 1 Занос т 2гг 94дз -2а 1 ч В Ответ: Т = Т е, г, =, где гг = 2гг 6жгос т 4.6.2.
В направлении максимального излучения на расстоянии г, =! Ом от элементарного диполя (волновая зона) амплитуда напряженности электрического поля Е =6 Вlм. Найти среднее значение плотности потока энергии на расстоянии г = 20 м от диполя в направлении, составляющем угол д = 30 с его осью. о Решение Амплитуда электрического тока в электромагнитной волне, излучаемой диполем, определяется формулой (4.6.1.).
Запишем ед в следующем виде Ет(т,В) = — ыпВ, С . Я где С неизвестная константа. Значение этой константы можно определить, зная Е при г=г — г и В=90 (направление максимальногоизлучения): о Е (го В = 90 ) = Е "о отсюда С= гоЕ„. В вакууме к = д =1. Амплитуда магнитного поля в электромагнитной волне, создаваемой диполем, в волновой зоне связана с амплитудой электрического поля соотношением (4.5.4) в„=(О л., Следовательно, величина вектора Пойнтинга волны определяется выражением: Колебания и волны 159 5(Г,В,/) =. — Еы(Г,В)соя (Йт — йг) = Гео ~"оЕи япВ гг — ! соо (ая — /ог). ~/го ~ Среднее значение 5 определяется средним значением квадрата косинуса за период колебания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
