Решение задач по Физике (Кириллов) (1018048), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Потенциал, создаваемый этим слоем й1р=йд)4гге,г=ойаяпа дсйггео. Потенциал в точке А найдем путем интегрирования по частям: Рис. 3.3 ср= — ) ггяпайа= —. ггео о ггео Ой Ответ: 4гт —, ггео 3.1.10. Заряд 4 равномерно распределен по обьему шара радиуса Р. Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти потенциал: а) в центре шара; б) внутри шара, как функцию расстояния г от его центра. Решение Воспользуемся тем, что потенциал равен работе электростатических сил при переносе единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность. Электрическое поле внутри шара равно (см. задачу 3.1.5): Е, = рг (Зео = 9г!4ггеой~. Поле вне шара определяется формулой; Е, =г)/4же г~. Потенциал в точке, расположенной на расстоянии г от центра шара, равен: 4гт *)Е,йг+ ')Е,йг. Элементарное интегрирование приводит к ответу: 92 Глава 3 8ггевй ЗК' Отсюда потенциал в центре шара равен гав = 39/8левЕ.
Ответ: а) ф>в =3918левЯ; б) 1е= !в 39 ! г 8леоЕ ~ Зг' 3.1.11. Потенциал электрического поля имеет вид 1е= а(ху- г'), где а — постоянная. Найти проекцию напряженности электрического поля в точке М12,2,-3) на направление вектора а =1+3)в. Решение Проекции напряженности поля найдем с помощью формулы (3.!.2): Е, =-ау, Е, =-ах, Е, =2ат. Проекция Е„напряженности на направление вектора а может быть выражена через скалярное произведение: Е, = (аЕ) lа (модуль вектора а равен 10). Отсюда находим искомую проекцию: Е„=а(ба-у)l 10. Подстановка координат точки М приводит к окончательному ответу Е„=-19аl 10.
Ответ: Е. = — !9а/ 1О. 3.1.12. Точечный электрический диполь с моментом р находится во внешнем однородном электрическом поле, напряженность которого равна Е, причем р параллелен Е. В этом случае одна из эквипотенциальных поверхностей, охватывающих диполь, является сферой. Найти ее радиус. Решение Потенциал однородного поля Е равен ре =-(Ег)+сопз1, где г— радиус-вектор в декартовой системе координат с началом в точке, где находится диполь. Потенциал диполя дается выражением (3.1.4). Суммарный потенциал равен: р=( з — Е)гсозВ+сопз1, Р 4левг' 93 Электричество и магнетизм где Π— угол между г и Е (или р).
Потенциал на искомой сферической поверхности не должен зависеть от О. Поэтому выражение в скобках в формуле для потенциала должно быть равно нулю. Отсюда найдем искомый радиус г=з 4лев Е т Ответ: г=з Ъ~ 4левЕ 3.2. Проводники и диэлектрики в электрическом ноле Основные формулы ° Напряженность электрического поля у поверхности проводника в вакууме: Е„= о/е, (3.2.!) ° Поток поляризованности Р через замкнутую поверхность: ')Рг!Б = -з)', (3.2.2) где д' — алгебраическая сумма связанных зарядов внутри этой поверхности.
° Вектор электрической индукции !Э и теорема Гаусса для него: гз = ее Е + Р = сев Е, ~ВйБ = 9, где 9 — алгебраическая сумма сторонних зарядов внутри замкнутой поверхности. ° Условия на границе раздела двух диэлектриков: (3.2.4) где о', о — поверхностные плотности связанных и сторонних зарядов, а орт нормали и направлен из среды ! в среду 2. 94 Глава 3 Примеры решения задач 3.2.1. Небольшой шарик висит над горизонтальной проводящей плоскостью на изолирующей упругой нити жесткости 1с После того как шарик зарядили, он опустился на х см, и его расстояние до проводящей плоскости стало равным 1.
Найти заряд шарика. Решение Условие равновесия шарика до того, как его зарядили, имеет вид: те =йх, (1) где т — масса шарика, Х вЂ” первоначальное растяжение пружины. После того, как шарик зарядили, на него начнет действовать также электрическая сила со стороны плоскости, которую можно представить, как силу, действующую со стороны отрицательного заряда-изображения, расположенного под плоскостью симметрично нашему заряду. В этом случае условие равновесия шарика имеет вид: г те+, =ЦХ+х) (2) 1бггее1' Решая уравнения (! ), (2), найдем заряд шарика. Ответ: 9=41 яеекх.
3.2.2. Тонкая бесконечно длинная нить имеет заряд Л на единицу длины и расположена параллельно проводящей плоскости. Расстояние между нитью и плоскостью равно!. Найти: а) модуль силы, действующей на единицу длины нити; б) распределение поверхностной плотности заряда а(х) на плоскости (здесь х — расстояние от прямой на плоскости, где а максимальна).
Решение Согласно методу изображений, взаимодействие нити с плоскостью может быть представлено, как взаимодействие с противоположно заряженной нитью-изображением, расположенной симметрично под плоскостью. Воспользовавшись формулой (1) задачи 3.1Ро получим силу, действующую на единицу длины нити: 95 Электричества и магнетизм Р =Л /4лео/ Для определение поверхностной плотности, найдем напряженность поля непосредственно над плоскостью.
Эта напряженность перпендикулярна плоскости и равна: Е„= лев/х' + !') Отсюда по формуле 13.2.1) найдем поверхностную плотность зт = Е„ев. Ответ: а) Г=Л /4хев1, б) о(х) = 2 Л! х/х'+1') 3.2.3. Найти потенциал незаряженной проводящей сферы, вне которой на расстоянии 1 от ее центра находится точечный заряд з/. Решение Поскольку сфера не заряжена, несмотря на перераспределение зарядов на ее поверхности, вклад поверхностного индуцированного заряда в величину потенциала в ее центре равен нулю.
Поэтому, потенциал центра сферы определяется только вкладом заряда йн дз = 4/4хев!. Внутри полости в проводнике электрическое поле равно нулю, поэтому все точки в полости имеют один и тот же потенциал и, следовательно, потенциал поверхности сферы равен потенциалу в ее центре. Ответ: гр= 9/4лев! 3.2.4. Точечный заряд 9 = 3,4 нКл находится на расстоянии г = 2,5 см от центра О незаряженного сферического слоя проводника, радиусы которого /1, = 5 см и /1з = 8 см.
Найти потенциал в точке О. Решение Поскольку заряд г/ находится в полости внутри слоя, то заряды, индуцированные на внутренней и внешней поверхности слоя равны, соответственно, -9 и д. Действительно, поток напряженности поля через замкнутую поверхность, расположенную в проводящей части слоя должен быть равен нулю. Следовательно, заряд на внутренней поверхности равен — //. Таким образом, потенциал в точке О равен: 96 Глава 3 9 (1 Ответ: (а= — — — — +— 4тЕ (,г 14, Е ! 3.2.5. Четыре большие металлические пластины расположены на малом расстоянии 4( друг от друга. Крайние пластины соединены проводником, а на внутренние пластины подана разность потенциалов Лгр.
Найти: а) напряженность электрического поля между пластинами; б) суммарный заряд на единицу площади каждой пластины. Решение Пусть пластины расположены в вертикальной плоскости и пронумерованы слева направо. Их плотности зарядов, соответственно, равны о'оог,-ог,— о,.
Воспользуемся тем, что напряженность поля равномерно заряженной плоскости равна Е = о/2ео. Отсюда напряженности поля между пластинами равны; Ег г — о~ I ео, Егз - (о ~ + ог ) г ео, Е44 = о~ 4 ео ° (1) Разность потенциалов между крайними пластинами равна нулю: ( Ег г 4 Его + Езг )( = () (2) Разность потенциалов между второй и третьей пластинами равна Ь(о: Егггг = гг(а. (3) Решая (1), (2), (3) совместно, получим искомые напряженности и плотности заряда. Ответ: а) Егз = Л(оггг, Еы = Е,4 = Е„/2; е Зе б) о; = — Л(о, о; = Л(о, о; = -ог о4 = о о 24( 24( 3.2.6. Точечный сторонний заряд 4( находится в центре шара из однородного диэлектрика с проницаемостью д Найти поляризованность Р шара как функцию радиус-вектора г относительно центра шара, а также связанный заряд 41 внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара.
97 Электричества и магнетизм Решение Вначале найдем электрическую индукцию )3. По формуле (3.2.3) имеем: 4яг'О = 1), откуда (1) О = д/4зв' Далее, используя (3.2.3), находим поляризованностьс е-1 9 е 4лг Заряд 9' найдем по формуле (3.2.2): 9'= -(е — 1)з(! е.
е-1 9г Ответ: Р(г) = — —,, д'=-(е — 1)9 1е. е 4лг' 3.2.7. Точечный сторонний заряд 9 находится в центре диэлектрического шара радиуса а с проницаемостью е,. Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью е,. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела этих диэлектриков. Решение Электрическая индукция во всем пространстве описывается формулой (1) задачи 3.2.6. Поляризованностн внутри н вне шара найдем с помощью формул (3.2.3): е~ — ! 9 ез — 1 г, 4лгз ез 4лгз Поверхностная плотность связанного заряда определяется скачком поляризованностн при г = а (см.(3.2.4)).
Ответ.' сг = з (е! Ез) . 9 4зяз'е,е, 3.2.8. Вблизи точки А (рис. 3.4) границы раздела стекло — вакуум напряженность электрического поля в вакууме Е,= 1О Вlм, причем угол между вектором Ее и нормалью и к границе раздела аа =30 градусов. Найти напряженность Е поля в стекле вблизи точки А, угол а между векторами Е и и, а также поверхностную плотность связанных зарядов в точке А. Глава 3 Решение Воспользуемся граничными условиями (3.2.4) для 1) и Е; евЕв совал = еевЕ сола, Евз(пгтв = Еягпа Решая эти уравнения относительно Е и сг, получим: гя а = е глав, Е = — соз сгв + е яп ав . Ев е Поверхностную плотность связанных зарядов найдем из условия (3.2.4) для поляризованности (необходимо учесть, что поляризованность в вакууме равна нулю): сгъв Р „= е (1 -11е) Е сова .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
