Решение задач по Физике (Кириллов) (1018048), страница 11
Текст из файла (страница 11)
По определению теплоемкости, количество полученного газом тепла Д связано с приращением температуры ТзТ соотношением (и -у)Й)зТ (и — 1)(1'-1) Работа А, совершенная газом, может быть определена из первого закона термодинамики (и — у)КЬТ КТзТ КЬТ (и — 1)(у-1) у-1 и — 1 Используя численные условия задачи, получаем Я=О,! 1 кДж, А=0,43 кДж. Ответ: Д= (и — у)КЯ КТзТ =0,11 КДж; А =- — =0,43 кДж. (и — !)(у-1) и — 1 2.2.6. Идеальный газ, показатель адиабаты которого у, расширяют так, что сообщаемое газу тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти: а) малярную теплоемкость газа в этом процессе; б) уравнение процесса в параметрах Т, (з.
Решение. По условию задачи з(Д = -е((7, поэтому малярная теплоемкость газа равна го аи К дт )Т " у-1' 76 Глава 2 Видно, что это процесс с постоянной теплоемкостью, то есть это политропический процесс с показателем политропы с-с, -с, -с, у+1 л= с-с„— 2с„2 н уравнением процесса в виде Т)У" ' = сопя. После подстановки полученного показателя политропы, получаем у-1 Т)У ' =сопя.
у-! 2 Ответ; с= —; Т)У ' =сопя. у-1' 2.2.7. Имеется идеальный газ, молярная теплоемкость при постоянном объеме с„которого известна. Найти молярную теплоемкость этого газа как функцию его объема Р, если газ совершает процесс по закону; а) Т =Тле';б) Р= Рве, где Т„рв и а -постоянные.
Решение. Из первого закона термодинамики ЙД = ЙИ+ЙА = — с,ЙТ+ РЙ)у М М Й1е и определения молярной теплоемкости с = — —, получаем т ЙТ М Й)' с=с,ер —. т ЙТ Найдем производную Й)У(ЙТ. а) Имеем ЙТ~Й)У = аТве = аТ и, следовательно, Й)У(ЙТ = 1/аТ. Таким образом, молярная теплоемкость в этом случае определяется выражением М Р с=с,+ — —, т аТ для преобразования которого в функцию от объема )У газа, воспользуемся уравнением состояния идеального газа РР ='1т~М)КТ.
В результате получим К с=с„+ —. а1' Термодинамика и молекулярная физика рУе = — КТ, ш а дифференцируя которое по Т, приходим к соотношению акаУ отаУ щ р е — + р 1'ае — = — й, а(Т т!Т М откуда дУ (ш/М)й (ш/М)й ттТ рае (1+ аУ) р(1+ аУ) Искомая малярная теплоемкость газа в этом процессе равна МНУ й с=с„+ р — =с„+ ш т!Т " 1+аУ Р И Ответ: а) с=с„+ —; б) с=с„+ аУ " 1+аУ 2.3. Молекулярно-кинетическая теория Основные формулы ° Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов: р =-лша(а ) = — а(е„„,). (2.3.!) где ша — масса одной молекулы, и - концентрация молекул, (и') среднее значение квадрата скорости молекул, (Е„ )- средняя энергия поступательного движения молекул газа, ° Число ударов молекул газа о единицу поверхности стенки за единицу времени: а(г) р= 4 где а - концентрация молекул газа, (т) - их средняя скорость.
° Средняя энергия молекул: (2.3.2) б) В заданном уравнении процесса р = рае перейдем, с помощью уравнения состояния идеального газа, к переменным У и Т. Тогда получим выражение 78 Глпвп 2 (е) =П/2У Т, (2.3.3) где 1 = и„,+пм+2п„„„- — сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного количества колебательных степеней свободы молекул газа. ° Наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости молекул; к,,р=,,~2Щгив —— ,,АКТ/М 1,1-$ь~ тв ~ =,(Р( ГвТ7м, г„= )/(и ) =,~ОТ/игв =,~ЯТ/М . (2.3.4) (2.3.5) (2.3.6) где шв — масса одной молекулы, М вЂ” молярная масса газа.
Прилгеры региеиия задач 2.3.1. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в г7 = 1,5 раза? гивlггкв — /Т~/Тг =17. Так как при адиабатическом процессе ТУ г ' = сопз1, то откуда )г у-~ — '=г7', или, с учетом того, что у= В+2)/1, Уг/У =Чг Для жестких двухатомных молекул число поступательных степеней свободы и„, = 3, число вращательных степеней свободы п,р --2, а число колебательных степеней свободы п„м=О, поэтому, 1= и,+и„ь2п„„=5. Таким образом, Уг/У, =1,5' = 7,6.
Ответ: Уг/У, = г1' = 7,6. Решение. Пусть начальная температура газа равна Ть а конечная Т,. Тогда, по условию задачи 79 Термадинуьиика и молекулярная физика 2.3.2. Газ из жестких двухатомных молекул, находившийся при нормальных условиях, адиабатнчески сжали в 77 =5 раз по объему. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекулы в конечном состоянии. Решение.
Начальная температура газа в нормальном состоянии равна Та=300 К. Конечная температура Т~ определится из уравнения адиабатического процесса у-! у-1 Тя17я Т 1 откуда Т =ТяЮоЮ ' =Таг7" '. Согласно закону равномерного распределения кинетической энергии по степеням свободы молекулы на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем 11/2)АТ кинетической энергии. Поэтому на две вращательные степени свободы жесткой двухатомной молекулы газа при температуре Т, приходится средняя кинетическая энергия (е,р)=21сТ,/2 = ИТау7~ = 7гТау7~' Для газа из жестких двухатомных молекул 1'=5, поэтому, (е, )= 0,7х Р! 1О Д Ответ: (е„,) = МТау1З' = 0,7х10 ' Дж. 2.3.3. Газ из жестких двухатомных молекул расширили политропически так, что частота ударов молекул о стенку сосуда не изменилась. Найти малярную теплоемкость газа в этом процессе.
Решение Число ударов молекул газа о единицу поверхности стенки за единицу времени равно = — ' = ~ 778 74И7~ ла(у') ла 4 4 и остается постоянным, следовательно, уравнение рассматриваемого пРоцесса и Т' =сола[, где аа - концентРациЯ молекУл газа. С помощью ~!з Глава 2 80 уравнения состояния идеальною газа р=н кТ перепишем уравнение этого процесса в виде Тр ~ = сопз1. По условию задачи этот процесс политропический.
Уравнение политропического процесса Тр' юж = солж . Сравнение дает 1 — л =-2, и откуда, и = -1. Поэтому, малярная теплоемкость газа с в рассматриваемом процессе определится из уравнения с-с Р с-с решая которое относительно с, получаем с +с, с= 2 Для газа из жестких двухатомных молекул с„=(5/2)К и с =(7/2)Я, поэтому, с=Зл. Ответ: с = Зй. 2.3.4. Найти число атомов в молекуле газа, у которого при "замораживании" колебательных степеней свободы показатель адиабаты у увеличивается в Р) =1,20 раза. Решение Обозначим число атомов в молекуле через М.
Постоянная у определяется выражением 1+2 где (=нв„,+л,р+2л„„. Число поступательных степеней свободы молекулы и„, всегда равно трем, а число вращательных степеней свободы л,р и число колебательных степеней свободы л„м зависит от пространственного строения рассматриваемой молекулы. Если молекула имеет линейную структуру (все атомы в молекуле соединены в виде прямолинейной цепочки), то л,р=2, а л, =ЗМ- (л„,+н,р)=ЗМ-5. Если же молекула имеет объемную структуру, то н,р=З, а л„,„=ЗМ- б. Рассмотрим эти два случая отдельно.
81 Термодинамика и молекулярная физика откуда )з'=4. Ответ: Число атомов в молекуле равно 4. Молекула имеет обьемную структуру. 2.4. Второе начало термодинамики. Энтропия Основные формулы ° Коэффициент полезного действия (к.п.д.) тепловой машины: а а (2.4.1) 121 Я где А — работа, совершаемая тепловой машиной за один цикл, Д~- тепло, получаемое рабочим телом, 12г - отдаваемое тепло.
° Коэффициент полезного действия (к.п.д.) цикла Карно: Т-Т г Т, где Т, и Тг - температуры нагревателя и холодильника. ° Приращение энтропии системы: (2.4.2) ,у) ~ з(12 Т (2.4.3) ° Основное уравнение термодинамики для обратимых процессов: Линейная структура молекулы. До "замораживания" колебательных степеней свободы число г равно сумме 3+2+2х(3гз'-5)=бгз'-5, а после "замораживания" (при достаточно низких температурах газа) 3+2=5. По условию задачи "замораживание" колебательных степеней свободы приводит к возрастанию у в 1,2 раза, поэтому 7 бг'з'-5 6 5 6)з'-3 5 откуда гз' =17/6.
Это число не является целым и, следовательно, рассматриваемая молекула не может иметь линейную структуру. Обьемная структура молекулы. В этом случае уравнение для определения числа атомов гз' в молекуле имеет вид 8 6Ф-6 6 — х — = —, 6 бгзг-4 5 82 Глава 2 Тв=ди+рдУ. ° Связь между энтропией и статистическим весом й: 5=1!па, где й - постоянная Больцмана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
