Решение задач по Физике (Кириллов) (1018048), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Рис. 3.4 Ответ: !яа=егяав, Е= — соз ав+е яп ав; Ев г е гт'= Р,„= е,(1 -11е) Е, соз ав, 3.2.9. Бесконечно большая пластина из однородного диэлектрика с проницаемостью е заряжена равномерно сторонним зарядом с объемной плотностью р. Толщина пластины 2г). Найти: а) модуль напряженность электрического поля и потенциал как функции расстояния 1 от середины пластины (потенциал в центре пластины положить равным нулю). б) поверхностную и объемную плотности связанного заряда.
Решение Найдем вначале напряженность электрического поля Е., внутри пластины. Воспользуемся теоремой Гаусса для электрической индукции Р (3.2.3). В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр с основаниями площади 5, параллельными плоскости симметрии пластины, расположенный симметрично относительно этой плоскости. Пусть высота цилиндра равна 21 (1<г)). Имеем: 2ЯЭ; = р215, откуда Р; = р1 и, таким образом, Е., = р11еве.
99 Электричество и магнетизм Напряженность поля вне пластины Е,найдем, выбрав в качестве замкнутой поверхности цилиндр с ! > д: 25Е, = р2ИЯ!го. Отсюда Е, = рг//г . С учетом того, что потенциал в центре пластины равен нулю, потенциал в точке ! равен (о = -) Е(!,)Ж, . о Отсюда имеем: тэ = Р/ /2гго (ра (г//2йа+! г/)Рг//йо Для определения плотностей связанного заряда найдем поляризованность внутри пластины (поляризованность снаружи равна нулю): Р; =ко(е — 1)Е; =(к — 1)Р!/е.
Отсюда, используя формулу (3.2.2) (25Р. ,=-р'2!Е), найдем объемную плотность связанного заряда; р'т-р(л — !)/г. Поверхностная плотность связанного заряда определяется поляризованностью Р; у границы пластины: и'= /л/(г -1)/л. (-)гвег: Е; =Р//го Еа =Рг//га ° Й = Р! /2гло гра= ('//2го' ! ~~)/л//го р'=-р(г-1)/г, о'=/л/(г-1)/л. 3.2.10. При некоторых условиях поляризованность безграничной незаряженной пластины из диэлектрика имеет вид: Р =Ро(1-х'И'), где Ра — вектор, перпендикулярный к пластине, х — расстояние от середины пластины, Н вЂ” ее полутолщина. Найти напряженность электрического поля внутри пластины н разность потенциалов между ее поверхностями.
Реиоеине Поскольку пластина не заряжена, электрическая индукцня в ней равна нулю. Поэтому Ет-Р/га (см. (3.2.3)). Разность потенциалов (/ найдем при помощи интегрирования: откуда получаем Глава 3 4Рвд Зе, Ответ: Е =-Р П -к'/г!')/ев, У = Зе, З.З. Электроемкость.
Энергия электрического поля Ое//овные формулы ° Емкость плоского конденсатора: С = ее(!5/г/ ° Энергия взаимодействия системы точечных зарядов: 1 И'= — ) а,гв, (3.3.1) (3.3.2) ° Полная электрическая распределением заряда: энергии системы с непрерывным ! И' = — )гвргФ 2 ° Энергия заряженного конденсатора: )т' = а///2 = д'/2С = С//'/2 ° Объемная плотность энергии электрического поля: и~ = ЕВ / 2 = еевЕ / 2 (3.3.3) (3.3.4) (3.3.5) Примеры решения задач Рис. 3.5 3.3.1.
Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями / и 2 с толщинами 0~ и аз и с проницаемостями е~ и ез. Площадь каждой обкладки равна Я. Найти: а) емкость конденсатора; б) плотность о' связанных зарядов на границе раздела диэлелтрических слоев, если напряжение на конденсаторе равно // и электрическое поле направлено от слоя / к слою 2. Электричество и л2агнетизл2 Решение Пусть заряд конденсатора равен !/. Тогда электрическая индукция в нем равна 0=!//5, а напряженности электрического поля описываются выражениями: Е,=,Е = 2/ . !/ (1) лосев ЕвЕ2Е Разность потенциалов между пластинами равна (/ = Е,2/, + Егс/2. В свою очередь емкость конденсатора есть отношение с//(/.
С учетом (1), имеем: ЕО~/( 1/ ! 2/ 2) Поляризованности в слоях найдем при помощи формулы (3.2.3), а поверхностную плотность связанного заряда — при помощи формулы (3.2.а): сг=е,(/(е,-е,)/(еА+е,/,). Ответ: С = еоэ /Ж / с; + с/2 /ег), о'= еа(/(е~ е2) /(е12/2 + егс/~ ) . 3.3.2. К источнику с э.д.с. 1/ подключили последовательно два воздушных конденсатора, каждый емкостью С. Затем один из конденсаторов заполнили однородным диэлектриком с проиицаемостью д Во сколько раз уменьшилась напряженность электрического поля в этом конденсаторе? Какой заряд пройдет через источник? Решение Найдем сначала протекший заряд. Заряд конденсатора до заполнения диэлектриком равен 2/, = С(/ /2, а заряд после заполнения еси !/2— е+! Отсюда протекший заряд равен /Ь? = !/2 — с/,.
Напряженность поля сначала равна е, =(//2д, где 2/ — расстояние между пластинами. После введения диэлектрика она становится равной Е, =2/2/еС2/ =(//(1+к). Отсюда Е, 1+е Е, 2 1+ е С(/(е — 1) Ответ: л = —, 2!(/ = 2 2(е+!) 1Ог Глава 3 3.3.3.
Найти емкость сферического конденсатора, радиусы обкладок которого равны а и Ь, причем а < Ь, если пространство между обкладками заполнено: а) однородным диэлектриком с проницаемостью е б) диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния г от центра конденсатора как г = а/г, сг- постоянная.
Решение Пусть заряд конденсатора равен д. Тогда электрическая индукция внутри равна 0 = г//4лг, а напряженность поля Е = В/г г(г). Разность потенциалов между сферами в свою очередь равна ь (/ = ) Б/г, Р а емкость С=г//(/. Таким образом для емкости имеем следующее выражение: 4ллв г/г „ гзл(г) Проводя интегрирование для случаев а) и б), получим соответствующие емкости. Ответ: а) С=4лгл,аЫ(Ь-а), б) С=4лаг,/1п(Ыа). 3.3.4.
Два длинных прямых провода с одинаковым радиусом сечения а расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями равно Ь. Найти взаимную емкость проводов с на единицу их длины при условии Ь>>а. Решение Пусть линейные плотности заряда проводов равны Я и — 1. Поскольку провода находятся далеко друг от друга, перераспределением зарядов в них под действием взаимного влияния можно пренебречь. Тогда напряженность поля между проводами в плоскости, в которой оии расположены легко найти, воспользовавшись формулой (1) задачи 3.1.7. Имеем: Е = Я/лг г. Интегрируя это выражение по г в пределах от а до /з- 1()З Электричества и маенетизм а, найдем напряжение между проводами: (/ = 21п(Ыа — !)/лет Отсюда с учетом неравенства Ыа»1, получим емкость на единицу длины: с = Л /(/ м ле, /1п(Ы а) .
Ответ: с = /ген/1и(/з/а) . ЗЗ.5. Конденсатор емкости С,, заряженный до разности потенциалов (/, подключили параллельно к концам системы из двух последовательно соединенных незаряженных конденсаторов, емкости которых С, и С,. Какой заряд протечет при этом по соединительным проводам? Решение Вначале заряд первого конденсатора был равен 2/ = С,(/ . После подключения этот заряд перераспределился между конденсаторами таким образом, чтобы напряжения на первом конденсаторе и подключенной батарее были бы одинаковыми. Имеем: % 2/2(сз + Сзз '/ "/2 = / с = с с ! 2 З где 2/, - заряд на первом конденсаторе после подключения, а 2/2- заряд на подключенной батарее. Решая эти два уравнения, найдем (/, и протекший заряд Ла=(/-г/,. О-: /) /т(//(1/С, +ПС, +ПС,). 3.3.6.
Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек с радиусами /1, и /12 и соответствующими зарядами 2/, и г/2. Найти собственную энергию И', и И', каждой оболочки, энергию взаимодействия И',2 и полную электрическую энергию И' системы. Решение Поскольку оболочки металлические, потенциал каждой из них постоянен на всей их поверхности. Поэтому формула (З.З.З) для собственной энергии принимает вид: И' = г/(д/2. Отсюда находим собственные энергии: 104 Глава 3 И'1 = г/~ /8/гео/1~ Иго = Чг /8лео/ог Энергию взаимодействия найдем по формуле (3.3.2). При этом необходимо учесть, что потенциал, создаваемый второй оболочкой в месте нахождения первой равен г/,/4лео/1,. Энергия взаимодействия при этом имеет вид: Ип =д,ц,/4лео/(,. Полная энергия системы равна сумме собственных энергий и энергии взаимодействия И' = И', +И', +И'„.
2 2 Ответ: И', = ~', И'о = /' И' = /'(/' И'=И'+И' +И' 8леон1 8леоиг ' 4/гео/г, 3.3.7. Заряд / распределен равномерно по объему шара радиуса /г. Считая диэлектрическую проницаемость равной единице, найти: а) собственную электрическую энергию шара; б) отношение энергии И', внутри шара к энергии грз в окружающем пространстве.
Решение Для определения собственной электрической энергии шара используем формулу (3.3.3). Имеем: н И' = ~4лг~(о(г)Ыг. 2 (4Ю'/3) о Потенциал 4о(г) внутри шара описывается формулой (1) задачи 3.1.10. Производя интегрирование, получим: И' = Зг/' /20лео/1. Энергии поля внутри и вне шара найдем, интегрируя плотности энергии по соответствующим объемам: Иг — о ')Е~(г)4лг~г/г И о )Е~(г)4лг~г/г 2 о г, ' Выражения для Е„Е, приведены в тексте решения задачи 3.1.10. Произведя интегрирование, найдем отношение: И', /И'о =1/5.
Ответ: а) 1У = Зд' /20леоЕ; б) И', /)Уг -— 1/5. 1Нб Электричество имагнетизч 3.3.8. Сферическую оболочку радиуса М,, равномерно заряженную зарядом 9, расширили до радиуса /1,. Найти работу, совершенную прн этом электрическими силами. Решение При расширении оболочки внутри сферического слоя с радиусами Е, и Е, исчезает электрическое поле Е(г) =9/4ле г'.
Очевидно, работа электрических сил равна энергии, исчезнувшей в этом слое: А = о ~Е'(г)4лг~с/г=(г/'/8лео)(1/Е, -1/Е,). 2 Ответ: А =(4 /8ггео)(1//1, -1//1з). 3.3.9. Сферическая оболочка заряжена равномерно с поверхностной плотностью о: Воспользовавшись законом сохранения энергии, найти модуль электрической силы на единицу поверхности оболочки. Решение Согласно формуле (3.2.1) напряженность поля у оболочки равна Е=гт/ео.
Увеличим радиус оболочки на Ыг. Тогда электрические силы совершат работу ~/А=Е.4лг Иг, где Р— искомая сила, приложенная к единице площади оболочки. С другой стороны, зта работа равна энергии электрического поля, заключенной в слое толщины г/г: И)(' = о 4лг'Иг. еЕ 2 Приравнивая ~/А и Н)1', найдем Е = сг' /2ео. Ответ: Р = и'/2ео. 3.3.10. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна 5.
Какую работу против электрических сил надо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от х, до х,, если при этом поддерживать неизменным: а) заряд конденсатора г/; б) напряжение на конденсаторе (/? 106 Глава 3 Решение а) Вначале энергия конденсатора была равна И/, = 4'х, /2еоа. После увеличения расстояния энергия равна Из= 4'х,/2ео5. Совершенная работа равна А = И', -И',.
б) Если напряжение на конденсаторе поддерживается постоянным, то при увеличении расстояния между пластинами через источник протекает заряд При этом батарея совершает стриг/авельную работу А, =-Лг/(/. Поэтому энергетический баланс в этом случае запишется в виде: е„Ю' „е,Ю' +А+А о 2х, 2х, Решая это уравнение, найдем работу А: еоа(/ (х — х ) 2л,х, а'(, —,) „~,З(/'(, —,) Ответ: а) А= 2ео5 2х,хз 3.4. Электрический ток Основные формулы ° Закон Ома в дифференциальной форме: /'=гг(,Е+Е ) (3,4.1) ° Мощность тока Р и тепловая мощность Д: Р =/(/, О =/'/1 (3.4.2) ° Удельная мощность тока Р„и удельная тепловая мощность тока Д Р„„= /'(Е + Е ~) Д„„= ра (3.4.3) 107 Электричество имагнетизм Примеры решения задач 3.4.1.
Воздушный цилиндрический конденсатор, подключенный к источнику напряжения У, погружают в вертикальном положении в сосуд с дистиллированной водой со скоростью и Зазор между обкладками конденсатора с(, средний радиус обкладок г. Имея в виду, что И « г, найти ток, текущий по подводящим проводам. Решение Погружение конденсатора в воду приводит к увеличению его емкости. Поскольку с( « г, конденсатор можно считать плоским с длиной основания обкладок равной 2лг. Пусть глубина погружения конденсатора в воду равна Ь. В этом случае его емкость равна: С=Со+ко(е 1)2лгЫс( где Со — емкость не погруженного в воду конденсатора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
