Решение задач по Физике (Кириллов) (1018048), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Найти: а) (х); б) (р„) - среднее значение проекции импульса. Решение (х)=А ) хе ' )" Их=О. Интеграл (1) равен О в силу нечетностн подынтеграяьной функции. Для расчета среднего значения проекции импульса на ось х воспользуемся формулами (7.6.4) и (7.6.5). В результате, с учетом условия нормировки ) уг ( х )уг( х )в(х = 1, (2) находим ( Р» ) = )( 'тт ( х ) Р, 'тг( х Фх =-(й )( тг ( х ) Вх = Ы ~ Уг ( х ))г( х )Вх = л(г, (у/(х) г(х Ответ: (х) = О; ( р„) = М, 7.7.
Движение микрочастицьг в центральном поле Основные формулы ° Если потенциал ()(г) зависит только от расстояния г частицы до силового центра и частица находится в состоянии с нулевым моментом импульса относительно этого центра, ее волновая функция уг(г) не зависит от угловых переменных д и (а в сферической системе координат. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид Э Мг( ) 2 дуг( ) 2ш~Е +,. эг +(з (7.7.! ) Учитывая, что оператором координаты частицы в используемом нами координатном представлении является операция умножения волновой функции на эту координату, с помощью формулы (7.6.5) получаем 226 Глава 7 ° Функция уг( г) нормирована условием 4лг~ у«(г)! г~й.=1. о ° Среднее значение любой функции )'(г) вычисляется по формуле (у) = 4я ) у ( г )~ г~( г ) / г'г)г .
о (7.7.2) (7.7.3) Примеры решения задач 7.7.1. Найти возможные значения энергии частицы массы гл, находящейся в сферически-симметричной потенциальной яме У(г)=О при г < г, и У(«„) = ~, для случая, когда движение частицы описывается волновой функцией уг(г), зависящей только от г, (3) Решение Волновую функцию у«( г ) в области г < г„представим в виде 'т«(г)=Х(г)lг (1) Подстановка выражения (1) в уравнение Шредингера (7,7.1) при У( г )=0 приводит к следующему уравнению для функции з'( г) "2(г),(, (г) О г(г где )1~ = 2«лЕ/Ь~. Общее решение уравнения (2) имеет вид 2( г ) = а лт( Ь.
) е Ь сов( lа. ), где а и Ь вЂ” некоторые константы. С учетом формул (1), (3) волновая функция в области малых значений г определяется выражением Ь у«(г)пай+-, при«-+О. (4) Поскольку волновая функция должна оставаться конечной при г -г О, значение коэффициента Ь следует выбрать равным нулю. Таким образом, решение уравнения Шредингера в области г < г„имеет вид в(л( (гг ) кг(г)=а (5) 227 Квантовая физика Учитывая, что (и( г) = О в области г > г„из условия непрерывности волновой функции в точке г = г„приходим к уравнению зш()гго) = О, решение которого определяется формулой згзз lг„= —, где и = 1, 2, 3, ...
(7) 'о Решение, соответствующее значению н = 0 мы отбросили, поскольку оно ведет к тождественно равной нулю волновой функции. В результате находим Ея = — г л, где и = 1, 2, 3 ... 2 2тго (8) йг з Ответ: Е„= и, где и =1,2,3.. 2ни.„ Решение Найдем, прежде всего, значение нормировочной константы А из условия (7.7.2); 4згА )(а) =1, (1) где I( а ) т ) г е ~'е(г, а = — .
(2) о Интеграл (2) легко вычисляется путем интегрирования по частям; 1( а ) = 2/аз. В результате из равенства (1) находим 7.7.2. Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид (и( г ) = А ехр(-г(г ), где А и г - некоторые постоянные. Найти: а) константы А, г и энергию электрона Е,; б) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром; в) среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон; г) среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра.
228 Глава 7 (3) Подстановкой волновой функции 2Р(г)=Аехр(-ф;) в уравнение Шредингера (7.7.1) с потенциалом У(г)=-)ге /г, где й = 1/4ж;>, е - заряд электрона, л - электрическая постоянная, легко убедится в том, что она ~г й = —, Ьпе в2 Е, = — =-М, (5) 2агг1~ где )1- постоянная Ридберга (см. формулу (7.5.3)). Действительно, после вычисления первой и второй производных функции гр(«) и подстановки их в уравнение Шредингера (7.7.1) это уравнение приводится к виду (4) А — 2+ 2 ' + — — 2 — — етр =О.
(6) Равенство (6) может быть справедливо при произвольных значениях г в области г >О только при условии, что выражения в круглых скобках равны нулю. Вероятность того, что частица находится в области между двумя бесконечно близкими сферическими поверхностями с радиусами г н г+ Ыг, определяется выражением с3Р=42г) 2Р(г) ! г~г)г .
(7) Из выражения (7) следует, что наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром соответствует максимуму функции г(рlдг. Дифференцируя эту функцию по г и приравнивая производную нулю, получаем г. Среднее значение модуля кулоновской силы Е(г)=)ге~/г, действующей на электрон, в соответствии с выражением (7.7.3) определяется формулой 4й 2 2кв~ (р~,)=4л'(ге )гр (гФ з 1в й 2 о (7) является решением этого уравнения только в том случае, если выполняются равенства 229 Квантовая физика Аналогично вычисляется среднее значение потенциальной энергии ()(г)= — )ге /г электрона в поле ядра (() ) = -4зг) е ) уг ( г )гг)г = — ')е ~" гг)г = —. 4Аез а„)1е (8) о о Таким образом, как видно из сравнения выражений (4) и (7.5.4), константа г, является первым боровским радиусом. Кроме того, сравнение формул (5) и (7.5.2) показывает, что решение уравнения Шредингера для основного состояния а~ома водорода приводит к тому же значению энергии электрона, что и теория Бора.
1 й Ответ: а) А =, г, = —, - первый боровский радиус, Ьнез (з Е, = —, =-Гз)1, где Я вЂ” постоянная Ридберга; б) г„ 2ни; з 2 в) (Р,„,)= ',; г) (и)= — ' 7.7.3. Электрон атома водорода находится в возбужденном состоянии, для которого волновая функция имеет вид зр(г)=А(!+аг)ехр( — Лг), где А, а и Л вЂ” некоторые постоянные. Найти энергию электрона в этом состоянии, а также константы а и Л. Решение Заметим, прежде всего, что при а=О заданная волновая функция совпадает с волновой функцией основного состояния атома водорода (см. предыдущую задачу). Поскольку по условию данной задачи атом водорода находится в возбужденном состоянии, константа а должна быть отлична от нуля. Можно показать, что волновая функция з)г( г) = А(1+ аг)ехр( — Лг) при а е О является решением уравнения Шредингера (7.7.1) с з / потенциалом ()(г)=-)е )г, где ( =1/4лео, е - заряд электрона, е,— электрическая постоянная, ~олька в том случае, если выполняются соотношения: Л= — '", 2зз' гзо Глава 7 ваге а=Я»-— йг (г) вг 12 Е= —.
(3) гл2 Доказательство этих соотношений выполняется аналогично доказательству формул (4), (5) в предыдущей задаче. Таким образом, как следует из формул (1), (3) и (7.5.2), электрон в данном состоянии атома водорода обладает энергией Е = Ег = М/4 (где й — постоянная Ридберга (7.5.3)), соответствующей уровню с главным кван~оным числом н=2.
Константы а и Я могут быть выражены через первый боровский радиус г (7.5.4) равенствами: а =3/2«,, 2=1/2«. Ответ: Е=Е2=М/4, где Л вЂ” постоянная Ридберга; а=3/2«н Л = 1/2«о где й - первый боровский радиус. 7.7.4. Частица находится в сферически- симметричном потенциальном поле в стационарном состоянии у«=(1/,/ггга )е ол /г, где г -расстояние от центра поля. Найти (г) . Решение В соответствии с формулой (7.7.3) среднее значение (г) определяется выражением (г) = 42« ~ уг( г ) ~ г 21 = — ')е о ли(г.
2 з г -2.1 о ао Интегрируя по частям, находим (г) = а('2. Ответ: (г) = а/2. 7.8. Туннелыпый эффект Основнвге формулы ° Коэффициент прозрачности одномерного потенциального барьера У(х) приближенно вычисляется по формуле гЗ1 Квавловоя физика (7 = ехр — ~ гог( У( х ) — Е )дх 2 ч (7.8.1) Примеры решения задач 7.8.1. Частицы с массой и и энергией Е движутся слева на потенциальный барьер (рис.7.4). Найти; а) коэффициент отражения И этого барьера при Е > Ус; б) эффективную глубину проникновения Е ~ и. частиц в область «>О при Е<Ус, т.е.
расстояние от границы барьера до точки, о к где плотность вероятности нахождения Рис 74 частицы уменьшается в е раз. Решение При х < О решение уравнения Шредингера (7.6.2) имеет внд уг( х ) = а,е' ' + Ь,е ' ", (1) где (с, =ч2тЕ(Ь, а коэффициенты а и Ь, являются комплексными амплитудами падающей и отраженной волн соответственно. з Отношение квадрата модуля амплитуды отраженной волны ~Ь, ~ к квадрату модуля амплитуды падающей волны ~ а, ~ определяет коэффициент отражения К, т.е. где хо ха - координаты точек, между которыми У( х ) > Е .
° Коэффициент прозрачности 1) определяет вероятность прохождения частицей потенциального барьера. Коэффициент отражения Е определяет вероятность того, что частица после взаимодействия с барьером будет двигаться в противоположном направлении. Сумма указанных вероятностей должна равняться единице, поэтому Еч. 0=1. (7.8.1) Величина О (Е) равна отношению плотности потока прошедших (отраженных) частиц к плотности потока падающих на барьер частиц.
232 Глана 7 л- ( 12) При Е>Ун решение уравнения Шредингера (7.6,2) в области х>0 должно иметь вид у/г х ) аге (3) (4) При Е <Он решение уравнения Шредингера в области х>0 имеет вид т'1 ") аге + Ьге (5) где ,Гг ~и,-гг к= А Второе слагаемое в правой части (5) неограниченно возрастает при х -э Поэтому, из требования конечности волновой функции во всем пространстве следует, что Ь, =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
