Н.Н. Смирнов - Введение в специальность. Фундаментальная математика и механика. Сборник задач (1015815), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поэтому можно получить общий результат, рассматривая частный случай изменения расстояния между телами при движении по прямой соединяющей пентры этих тел. Переместим тело на небольшое расстояние Ьх, такое, что силу тяготения, действующую на точку, на этом небольшом перемещении можно считать постоянной и равной в соответствии с законом всемирного тяготения в проекции на ось ОХ: ,-, "'"6емяипг ,г В этом случае будет совершена работа Ад —— Г,Лх.
Минус в формуле вызван выбором оси координат, направленной от Земли к телу. В новом положении расстояние между Землей и телом будет равно х+ г1х. В этом положении потенциальная энергия системы будет равна Ерг. Ясно, что Ь~д = Ерг+ Ад. Отсюда следует, что Ад — Ер1 — Ерг = — ЛЕр. Подставляя сюда выражение для работы Ад, получим связь миигдф;проекцией силы тяготения и пнтенциаланой энергией йЕ„ При стремлении расстояния Лх к нулю", получится где (Ер)' -- производная потенциальной энергии по координате х. Отсюда полу.чим для потенциальной энергии сил тяготения с учетом выражения для проекции силы Е, следующее выражение ~ '~~земли™ х Заметим, что в системе двух гравитирующих тел потенциальная энергия всегда отрицательна.
Этот вывод распространяется на систему любого количества тел. Например, в Солнечной системе потенциальная энергия отрицательна. Аналогичным образом, для упругой силы пружины, проекция которой на направление по оси пружины определяется формулой Е, = — Йх, (Й вЂ” жесткость пружины), потенциаль- ~„г ная энергии будет определяться выражением: Ер — — +. Рассмотрим разные виды механической работы: Ад работа сил тяготения, А, — работа упругих сил, А~, -- работа сил трения и А, работа прочих сил. В тех случаях, когда можно ввести потенциальную энергию Ер, работа представляется в виде: А = — ЬЕ„. Важно, .что вывод о возможности ввести в рассмотрение потенциальную энергию Ер основан на независимости работы рассматриваемой силы от формы пути и определяется только начальной и конечной точками траектории.
Потенциальная энергия определяется с точностью до константы, однако, если это возможно, ее выбирают так, чтобы Е„= О при Г = О. Силы, для которых можно ввести потенциальную энергию, 45 называются потенциальными. Заметим, что, например, сила трения непотенциальна. В общем случае из теоремы о кинетической энергии: ЬЕ~ — — А + А, + А г„+ А„ следует Еь + Ер — — А1„+ А, — закон изменения полной механической энергии.
Из этого закона следует, что в замкнутой системе, в которой не действуют силы сопротивления ~трения), и другие непотенциальные силы не совершают работы, выполняется закон сохранения полной механической энергии — сумма кинетической и потенциальной энергии не меняется в процессе движения.
Литература: ~Ц С. 186 — 200; ~3) С. 88 — 91, 92 — 107; $4] С. 324- 347; )6! С. 229-239, 247 †2. 9.2 Задачи 9.1. Из пушки стреляют в горизонтальном направлении. Если выстрелить из закрепленной пушки, то снаряд вылетает со скоростью п1 = 500 м/с. Если же выстрелить из незакрепленной пушки, то снаряд вылетает со скоростью о2 —— 499 м/с. С какой скоростью во втором случае откатывается пушка? 9.2.
На горизонтальной поверхности зафиксирован желоб, имеющий форму дуги окружности радиуса В. Радианная мера дуги и/2+ о. Желоб установлен выпуклостью вниз так, что его левый конец имеет вертикальную касательную. На гладкую внутреннюю поверхность желоба около точки с вертикальной касательной помещают маленький шарик и отпускают его. На каком расстоянии от точки соприкосновения поверхности и желоба шарик упадет на горизонтальную поверхность.
Сопротивлением воздуха пренебречь. 9.3. Два тела массами т1 и гп2 движутся навстречу друг другу по взаимно перпендикулярным направлениям со скоростями и1 и н2. Какое количество теплоты выделится в результате их абсолютно неупругого столкновения? 9.4. Два шара одинаковой массы движутся навстречу друг другу со скоростями и1 и г~.
Найдите скорости шаров после центрального абсолилно упругого удара. 9.5. Шары массами т1 и тэ движутся поступательно навстречу друг другу со скоростями г1 и и1. Найдите скорости шаров после центрального абсолк)тно упрутого удара. 9.6. Частица налетает на покоящуюся мишень и отскакивает от нее назад с уменьшенной в и раз кинетической энергией.
Определите отношение массы частицы к массе мишени. Столкновение абсолютно упругое. 9.7. Движущийся поступательно шар налетает на другой покоящийся гпар. Определите, какая часть кинетической энергии перейдет в тепло при абсолютно неупругом ударе, если отношение массы движущегося шара к массе покоящегося равно о.
9.8. Железнодорожный состав длиной Ь, двигаясь по инерции, въезжает на горку с углом наклона а и останавливается, когда на горке находится ровно половина состава. Какова была начальная скорость состава? Трения нет. 9.9. Маленькое тело лежит на краю длинной тележки.
Тележке ударом сообщают скорость н. На какое расстояние переместится тело по тележке, если масса тела т, масса тележки ЛХ, коэффициент трения между телом и тележкой,и, а трения между тележкой и полом нет? 47 9.10. Небольшое тело массой гп едет но гладкой горизонтальной поверхности и въезжает на пологую гладкую м незакрепленную горку массой ь М и высотой 6 (см. рнс.). При какой скорости тело сможет переехать через горку? 9,11. На гладкой горизонтальной поверхности покоится гладкая пологая незакрепленная горка массой М, высотой м 6 и длиной Ь (см. рис.). На ш горку въезжает со скоростью — Ф г тело массой пг. Спустя время т тело покидает горку.
На Е какое расстояние успевает за это время сместиться горка? 9.12. На стенку массой М одновременно налетают очень много шариков. Самый большой имеет массу т и скорость и. Если шарики выстроить в ряд по убыванию массы, то массы соседей будут различаться в 2 раза, а скорость более, легкого будет в 3 раза меньше скорости тяжелого соседа. Оцените количество выделившейся теплоты при абсолютно неупругом ударе всех шариков о стенку. 9.13. Две точки движутся по одной окружности без трения по инерции, сталкиваясь друт с другом и испытывая при столкновении абсолютно упругий удар. Найдите все возможные значения отношений масс этих точек, если их скорости относятся как 4: 3 и известно, что сталкиваются они в одной и той же точке на.
окружности. При каких значениях отношения скоростей задача определения отношения масс имеет хотя бы одно решение? 10 Гидроааиика,,;З,адищ Архимеда 10.1 Краткие теоретические сведения Силовое взаимодействие в жидкости и газе характеризуется скалярной величиной — давлением р. Давление, производимое силой Е, равномерно распределенной по площади Я, равно р = -~-, где Р„-- проекция силы Ф на направление Г~ перпендикулярное плошади Я.
Давление, создаваемое покоящейся жидкостью нли газом в поле силы тяжести, называется гидростатическим. Для понимания действия давления важно утверждение о том, что в данной точке среды давление на всех площадках одинаково. В покоящейся среде плотности р на глубине 6 давление на р = рд6 болыпе, чем на поверхности. Закон Архимеда гласит, что на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом. Сила приложена к центру тяжести вытесненного объема и направлена перпендикулярно свободной поверхности.
Литература: [Ц С. 332 — 337; ~3~ С. 263--267; ~4~ С, 438— 450. 10.2 Задачи 10.1. Зная радиус Земли Рг = 6400 км и атмосферное давле- ние Р = О, 1 МПа, найти массу земной атмосферы. 10.2. Гаврила экспериментировал с двумя жидкостями. Плотность первой жидкости была в два раза больше, чем второй.
Мальчик взял одинаковые массы жидкостей в надежде получить новую жидкость со средней арифметической плотностью. Но измерения плотности показали иной результат. Какой? В каком отношении надо взять массы этих жидкостей, чтобы плотность смеси равнялась среднему арифметическому между плотностями данных жидкостей? Известно, что суммарный объем этих жидкостей после смешивания не меняется. 10.3. Экипаж трансгалактического глиссера упустил сферический контейнер, полностью заполненный жидкостью, в которую погружено небольшое твердое тело.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
