Н.Н. Смирнов - Введение в специальность. Фундаментальная математика и механика. Сборник задач (1015815), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние 6 сдвинется лодка, если масса человека т = 60 кг, масса лодки М = 120 кг, длина лодки Ь = 3 м? Сопротивлением воды пренебречь. 7.2. Две одинаковые лодки идут параллельными курсами с равными по модулю скоростями. Когда лодки встречаются, с одной лодки на другую перебрасывают груз, а затем со второй лодки на первую перебрасывают такой же груз.
В другой раз грузы перебрасывают одновременно. В каком случае скорость лодок после перебрасывания будет больше". 7.3. Лягушка массы т сидит на конце доски массой ЛХ и длины 1,, Доска плавает по поверхности пруда. Лягушка прыгает под углом о к горизонту вдоль доски.
Какой должна быть начальная скорость лягушки, чтобы после прыжка она оказалась на противоположном конце доски? 7.4. На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит обруч. На обруче находится жук. Какие траектории будут описывать жук и обруч относительно стола, если жук начнет ползти цо ооручу. Масса обруча М, его радиус г», масса жука т. 7.5. Космонавт массой т и космический корабль массой М связаны веревкой, длина которой равна 1.
Первоначально космонавт и корабль неподвижны, а веревка натянута. Космонавт выбирает веревку, подтягиваясь к кораблю. Какое расстояние пройдут космонавт и корабль до встречи? Внешних сил нет. 7.6. Однажды Винни-Пух забрался на высокий-превысокий дуб, чтобы добыть мед, по около дупла сорвался вниз, упал, не задевая за ветки, и больно ударился о землю. Он поднялся еще раз и вновь сорвался, ударился о ветку, пролетев 1/и-ую (и = 4) часть пути. При этом его скорость уменьшилась в 1« = 4 раза, не изменив направления. Дальше медвежонок летел до земли, ничего больше не задевая. Сравните суммарный ущерб, полученный Пухом в описанных случаях.
Считайте, что ущерб пропорционален силе, действующей на него. Длительность всех ударов одинакова, удары о землю абсолютно неупругие, Сопротивлением воздуха пренебречь. 7.7. Российские химики из г. Химки изобрели новое вещество, которое может находиться в двух состояниях: в «разрыхленном» плотности 2000 кг/мз, и в «плотном» плотности 4000 кг/м~. При этом вещество из «разрыхленного» состояния переходит в «плотное» при сжатии любой сколь угодно малой силой.
Для перевода вещества в «плотное» состояние используют следующую технологию: в длинный 100- метровый шланг, заполненный веществом в «разрыхленном» состоянии вводят поршень, который движется со скоростью 1 м/с. На какую глубину успеет проникнуть поршень в шланг за время необходимое для перевода всего вещества в шланге в «плотное» состоянис? С какой силой нужно давить на поршень сечения 10 ~ м~, чтобы он двигался со скоростью 1 м~'с? 7.8. Два лягушонка сидят рядом посреди пруда на большом листе кувшинки, оторвавшемся от растения. В каком случае лист кувшинки приобретает большую скорость — когда лягушата прыгнут одновременно или когда они будут прыгать последовательно? Считать, что лягушата прыгают в одном направлении и, оттолкнувшись, приобретают одинаковую скорость относительно листа.
Сопротивлением воды пренебречь. 7.9. На покояшуюся трехгранную призму, один двугранный угол которой прямой, а другой — а < 45', падает однородный поток дождевых капель (см. рис.). ' ° '''''*''' В какую сторону начнет двигаться призма, если считать удары капель абсолютно упругими и трением призмы о поверхность пренебречь? Определите скорость, которую будет иметь призма спустя больпюй промежуток времени.
Концентрация капель равна и, площадь наибольшей боковой грани Я, скорость падения капель Г. 7.10. Ракета, первоначальная масса которой Мш выбрасывает продукты сгорания топлива с постоянной скоростью го (по отношению к ракете). В единипу времени выбрасывается масса газов, равная гш Рассчитайте ускорение ракеты в начальный момент, пренебрегая силой тяжести. 7 11. Цепочку длины Ь подняли за один конец так, что она стала вертикальной, а второй се конец касается стола. При 1 = 0 верхний конец отпускают. Определите зависимость силы давления цепочки на стол от времени.
39 8 Механическая работа. Мощность 8.1 Краткие теоретические сведения Рассмотрим материальную точку массой т под действием постоянной силы Е' = сопв$. Пусть за время Ь| точка совершит перемещение Г. Тогда работа А силы Р равна А = гз 0 = ГГсоеа, гдг Р и Е! — величины векторов силы и перемещения,а — угол между направлением силы и перемещения. Мощность И" определяется как работа в единипу времени И' = —,.
Мгновенная мощность — отношение работы, произ- А Ж веденной за малый промежуток времени, к величине этого промежутка: дА = И'М, Если сила не постоянна, то для вычисления работы необходимо пройденный точкой путь разбить на большое количество маленьких частей М1„столь маленьких, чтобы на коротком пути можно было считать силу постоянной Г, = сонат. Тогда работа на каждом таком малом перемещении будет равна А, = Г,ЛГ; сова,.
Полная работа в этом случае равна А = ЕАь Так как ЬГ, = п,Ь~, несложно получить соотношение И'=Г г. Пример. Рассмотрим точку массой ти, скользящую по наклонной плоскости с углом а к горизонту. На нее в общем случае действует три силы: сила тяжести тд, сила нормального давления Х = гпдсоеа, и сила трения, равная гс, = рХ = ргпдсоео. Для каждой силы можно вычислить работу при перемещении тела на расстояние 1 вдоль наклонной плоскости.
Работа силы тяжести равна Ад — — гида сов(я/2 — о) = тд1а1па = гид6, где 6 — изменение высоты точки над Землей. Отметим, что работа силы тяжести не зависит от траектории. 40 Работа силы нормального давления равна нулю, так как перемещение точки перпендикулярно направлению силы. Работа силы трения равна А~, = — А%1 = — ртд1 сов а. Заметим,что работа сил сопротивления всегда неположительна.
Рассмотрим задачу о прямолинейном движении материальной точки массой т с начальной скоростью 4, на которую действует постоянная сила г' в течение промежутка времени В результате материальная точка приобретает скорость Из второго закона Ньютона можно вывести, что работа ~Ю силы Е будет равна Ар = —" — —— 2а. Ясно, что комбинация — имеет совершенно определенный физический смысл: это работа, которую совергпает сила, разгоняя точку до указанной скорости. Зту величину называют кинетической энергией материальной точки Еь = — "'„" . Из решения вышеприведенной задачи следует, что изменение кинетической энергии точки равно работе сил, ко торые на нее действуют.
Это утверждение - теорема об из менении кинетической энергии. Литература:[Ц С. 179 †1;[3[ С. 85-88, 91 — 92;(4[ С. 312-324;[6[ С. 71--73, 79 — 84, 243-247. 8.2 Задачи 8.1. Тело массой т поднимается вверх с ускорением а на вьи.оту 6,. Определите работу поднимающей силы и работу силы тяжести. 8.2. Требуется выкопать цилиндрическую яму глубины 6. Какова будет глубина ямы, когда будет совершена половина работы? 8.3. В цирке восьмиклассник Гаврила нашел гидравлический пресс: от бака с водой, плотно закрытого крышкой, диаметр которой 1 м, отходит трубка диаметром 1 см.
В трубку вкручен изготовленный на секретном заводе с применением нанотехнологий абсолютно гладкий болт, шаг резьбы которого 1 мм. При минимальном давлении на крышку болт выкручивается и вылетает из трубки. Сможет ли Гаврила гаечным ключом длины 1 дм, прикрепленным к головке болта, удерживать на крышке слона массой 3 т? Сколько полных оборотов гаечного ключа ему придется сделать, чтобы поднять слона на 1 мкм? 8.4.
В бассейн прямоугольной формы с размерами а х 6 налита вода слоем глубины 6. Одну из стенок передвигают так, что площадь дна уменьшилась вдвое. Определите работу, которую при этом совершили. 8.5. Тело массой т, брошенное под углом к горизонту, упало на расстоянии Я от места броска, поднявшись на максимальную высоту Н. Найдите работу, совершенную при броске.
8.6. Человек массой ЛХ, стоящий на гладком льду, бросает камень массой гп в горизонтальном направлении с высоты Ь. 42 Камень подает на лед на расстоянии Ь от места'брмания. Какую работу совершил человек при броске? 8.7. Пуля массой гп = 10 г вылетает из дула винтовки со скоростью г = 800 м/с. Какова средняя сила давления пороховых газов, если длина ствола равна 1 = 60 см? 8.8. Пуля массой т = 10 г, летящая со скоростью и = 400 м~'с, пробивает доску, потеряв а = 10% своей скорости.
Определите среднюю силу сопротивления доски движению пули. Какое наименьшее количество таких досок нужно поставить в ряд, чтобы пуля застряла? 8.0, По горизонтальной трубе с помощью насоса перекачивается жидкость. Во сколько раз нужно увеличить мощность насоса для того, чтобы количество перекачиваемой жидкости за единицу времени возросло в 2 раза? Сопротивлением трения в трубе пренебречь. 8.10. Первый автомобиль имеет мощность двигателя Ю~ и развивает максимальную скорость иь Второй автомобиль с мощностью двигателя Х~ на той же дороге развивает максимальную скорость ср. Какую максимальную скорость разовьют автомобили, если первый возьмет на буксир второй? Силу сопротивления движению считать пропорциональной скорости.
9 Сохранение механической энергии 9.1 Краткие теоретические сведения Рассмотрим взаимодействие материальной точки массы т с Землей. В системе этих двух тел накоплена некоторая энергия, которую можно оценить по величине минимальной работы, которую надо совершить, чтобы разрушить эту систему, увести точку на бесконечное расстояние. Назовем эту энергию потенциальной энергией системы двух тел Ер. Пусть тело находится на расстоянии х от Земли (х = О— в центре Земли). Уведем материальную точку на бесконечность по прямой, соединяющей центры тел. Можно показать, что работа сил тяготения не зависит от пути и определяется только изменением расстояния до Земли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
