Н.Н. Смирнов - Введение в специальность. Фундаментальная математика и механика. Сборник задач (1015815), страница 5
Текст из файла (страница 5)
5.9. Два шарика одинакового радиуса без начальной скорости были сброшены с одной и той же высоты над поверхностью Земли. За время, требуемое каждому из них, чтобы достичь поверхности с той же начальной высоты при отсутствии атмосферы, первый пролетел половину, а второй— четверть этой высоты. Найдите отношение масс шариков. Силу сопротивления воздуха считайте постоянной. 5.10. Спускаемые аппараты А и Б движутся вертикально вниз с одинаковыми постоянными скоростями под действием силы тяжести, силы сопротивления воздуха и силы тяги тормозного двигателя. Спускаемый аппарат Б имеет вдвое больший диаметр и в 12 раз большую силу тяги тормозного двигателя, чем аппарат А.
Найти отношение силы тяжести к силе тяги тормозного двигателя аппарата А, считая аппараты однородными шарами одинаковой плотности, изменение массы которых в процессе спуска пренебрежимо мало, и что сила сопротивления пропорциональна площади поверхности аппарата. 5.11. Шарик массой т = 10 г падает с большой высоты без начальной скорости. Численное значение силы сопротивления среды в ньютонах определяется формулой ~Е~ = 10 зп~, где г — значение модуля скорости точки в метрах в секунду. Вычислите приближенно, за какое время точка пройдет первый сантиметр и первый километр пути? Принимаемые предположения обоснуйте. 5.12. Два девятиклассника на переменке вышли на улицу и стали играть в мяч.
Игра заключалась в церекидывании мяча друг другу. По мере игры ребята обнаружили, что если один мальчик кидает мяч под углом а к горизонту против ветра, то к другому мальчику мяч подлетает под углом а к вертикали. Определить отношение силы ветра Е, действующей на мяч, к его весу Р. Считать, что сила сопротивления движению мяча постоянна и направлена горизонтально, 30 6 Силы сопротивления движению 6.1 Краткие теоретические сведения В механике все законы природы постигаются в первую очередь на примере взаимодействий тел силами гравитации, упругости и трения. Законы гравитации и упругости имеют четкую однозначную математическую формулировку.
Л сила трения или, в общем случае, сила сопротивления движению, проявляет себя неоднозначно. При падении пылинки в воздухе сила сопротивления пропорциональна скорости, а при движении пули в воздухе сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости. При скольжении одного тела по другому сила (сухого) трения пропорциональна силе нормального давления между этими телами. В изучении трения важным обстоятельством является переход от трения покоя к трению скольжения.
Всем нам приходилось двигать шкафы, Для того, чтобы шкаф начал скользить по полу, необходимо приложить определенную силу. Если сила меньше этой определенной, то шкаф останется стоять на месте. Если шкаф остался стоять, значит сила трения покоя равна приложенной к шкафу силе. Когда сила трения покоя достигает определенной предельной величины, начинается скольжение. Для описания силы сухого трения будем использовать модель Кулона-Лмонтона: сила трения покоя наблюдается при контакте двух неподвижных твердых тел, лежит в общей касательной плоскости, имеет величину и направление такие, чтобы удерживать тела неподвижными друг относительно друга, ио не превосходит некоторого максимального значения Р',„„., При относительном скольжении сила трения не зависит от скорости скольжения и пропорциональна силе нор- мального давления Х: Г,„= рМ. Коэффициент трения р зависит только от материалов соприкасающихся тел.
Также предполагается, что Е = Р„. Эта модель имеет геометрическую интерпретацию. Рассмотрим силу Л = У+ Г,р. Угол а между Л и нормалью к поверхности задается соотношением фа = Е,р/Ж Так как г,'р ( РХ, а < агс16Р, то есть А лежит в конУсе с веРшиной в точке контакта, осью, направленной по нормали и углом полураствора агссбр. При этом в покое Л лежит внутри конуса или на границе, а при скольжении на границе конуса. Этот конус называется конусом трения, а угол его полураствора-- углом трения. Литература: [Ц С. 107 116; 13~ С. 62 63; ~4~ С.
243--255, 6.2 Задачи 6.1, К телу массы т, которое покоилось на горизонтальной плоскости, приложили силу Е. Коэффициент трения между телом и плоскостью р. Определите появившееся ускорение тела в зависимости от модуля и направления силы. 6.2. Если брусок поставить на наклонную плоскость с углом а к горизонту, ои будет соскальзывать с ускорением а. Его можно удержать неподвижным, прикладывая силу Гм направленную вдоль плоскости. Определите, какую минимальную силу, направленную вдоль плоскости, нужно приложить, чтобы тащить брусок вверх по плоскости. 6.3. На наклонную плоскость, образующую угол 30' с горизонтом, ставят два бруска, причем коэффициент трения у первого на 90% меныпе, чем у второго.
Брусок с меньшим коэффициентом трения начинает соскальзывать с ускорением 2 4 м/с . На сколько процентов отличается от него ускорение второго бруска? Ускорение свободного падения счи.гать рав- ным 10 м!с . 6.4. Брусок удерживается на наклонной плоскости с углом наклона а силой сухого трения (коэффициент трения р), Какую минимальную силу. направленную горизонтально от плоскости, нужно приложить, чтобы брусок мог двигаться'? 6.5.
Брусок массы т равномерно соскальзывает с плоскости, наклоненной под углом о к горизонту. Какую силу в горизонтальном направлении нужно приложить, чтобы тащить бросок вверх вдоль плоскости? 6.6. Тяжелый шкаф массой ЛХ, каркас которого выполнен из однородного дерева, имеет форму куба с ребром а. Для его передвижения по горизонтальному полу к двум передним ножкам привязали веревку. Под каким углом о к горизонту следует направить веревку, чтобы усилие, необходимое для перемещения шкафа, было наименьшим? Коэффициент трения равен р, ножки маленькие и расположены по краям.
6.7. Два бруска, связанные невесомой нерастяжимой нитью, соскальзывают с наклонной плоскости с углом при основании а. Массы брусков т~ и тэ, коэффициенты трения между брусками и плоскостью соответственно р~ и 62 (Р~ > Рг). Найдите силу натяжения нити, если брусок 1 находится выше. 6.8. С наклонной плоскости, угол наклона которой к горизонту равен а, соскальзывает без трения клин. Верхняя грань клина горизонтальна. На клине покоится брусок массы гп.
Найдите силу трения, действующую на брусок. 6.9. Угол наклона к горизонту ленты подъемника равен а = 5 . При каком максимальном ускорении ленты поднимаемый ящик не будет скользить по ленте подъемника, если коэффициент трения между лентой и ящиком д = О, 2. Считать д = 10 м/с . 6.10. Младшая сестра попросила студента мехмата Гаврилу починить качели во дворе. После ремонта они стали представлять собой плоскую доску (сиденье), жестко приделанную к двум параллельным стержням, расстояние между которыми равно я'. Стержни закреплены на гориэонтальной оси в цилиндрическом шарнире, то есть могут вращаться относительно этой оси. Один из стержней оказался короче другого на а.
При этом нормаль к сиденью а лежит в одной плоскости со стержнями. Сестра посадила па качели свою любимую куклу, которая держаться за стержни не может, а удерживается на сиденье только силой сухого трения с коэффициентом р. На какой угол можно отклонить качели от вертикали, чтобы кукла не соскользнула с сиденьяу 6.11. Во время влажной уборки класса Чукин и Геков стали экспериментировать со шваброй. Чукин положил один конец древка швабры на ребро своей ладони, а Геков -- другой конец древка на ребро своей ладони. После этого ребята стали сдвигать ладони навстречу друг другу.
По мере движения ладоней швабра все время находилась в равновесии, вплоть до момента времени, когда ладони мальчиков сошлись в од- 34 ной точке. Повторяя этот эксперимент несколько раз, ребята получали тот же самый результат — их ладони встречались в одной и той же точке на швабре. Помогите мальчикам объяснить этот результат испытания. В каком отношении эта точка встречи ладоней делит древко швабры, если вес поперечного бруска в два раза меньше древка? 6.12. Вдоль вертикального шеста, опирающегося на шероховатую горизонтальную поверхность, .приложена сила Г. Шест начали постепенно наклонять, сохраняя неизменной величину силы, приложенной к торцу. Найдите угол наклона шеста к горизонтали, при котором шест начнет скользить по поверхности.
Вес шеста Р в и = 2 раз меньше, чем сила Г, коэффициент трения торца шеста и поверхности Й = 1/3. 7 Импульс сисе.мы: материальных точек 7.1 Краткие теоретические сведения Рассмотрим две взаимодействующие с силами Г1 и Р2 точки массами т1, т2. Пусть в момент времени ~ они двигались со скоростями О'", и йе2 соответственно. Через промежуток времени Ы в результате взаимодействия точки приобретут скорости д1 и г2.
Можно сказать, что в течение промежутка времени 2"11 точки двигались со средними ускорениями а1 и а2 соответственно. Тогда второй закон Ньютона для этих точек можно записать в виде: -о 'О ! — З Ш1 Я1 — — П21 1в 1Ь-й п22а2 п21 Р~~ „; „-а ~Я 2 а1 Вектор р = ото называется импульсом материальной точки. Если сложить эти два уравнения и учесть третий закон Ньютона г'1+ г2 = О, то получится закон сохранения импульса для замкнутой системы точек Р— Р =О. 36 где Р = р1 +р~ ~— импульс системы тел в момент времени 1, Р = р, + р2 — импульс системы тел в момент времени 1+ Л1. Если система не замкнута и равнодействующая внешних по отношени1о к данной системе тел сил не равна нулю Х ф О, то изменение импульса системы будет равно импульсу внешних сил: Назовем центром масс системы материальных точек массами т,, имеющих радиус-векторы т";, следующую точку: г,= ,') тг; / ,') т, Дифференцируя это соотношение, получаем, что Ж 2', т,г, = Р.
Таким образом, если импульс системы то$=-1 чек сохраняется, то ее центр масс движется равномерно, а если импульс системы точек равен нулю, то центр масс покоится. Литература: [1) С. 165 — 174; [3) С. 76 — 85; [4) С. 286- 292; [4] С. 174 — 185. 7.2 Задачи 7.1. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
