Н.Н. Смирнов - Введение в специальность. Фундаментальная математика и механика. Сборник задач (1015815), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Когда первый автомобиль достиг перекрестка, второму оставалось доехать до перекрестка расстояние Е. Спустя какое время после этого расстояние между машинами будет наименьшим? Чему равно это наименьшее расстояние? 2.13. На лодке переплывают реку, текущую в плоскости (х, у), отправляясь из точки с координатами (0,0). Скорость лодки в стоячей воде $' = 5 м?'с, вектор скорости течения реки имеет координаты (3 м?'с,0), ширина реки Ь = 200 м. (а) Найдите координаты точки„в которой лодка пристанет к противоположному берегу, если скорость лодки относительно воды имеет координаты (0,1'). (б) Какой курс следует держать, чтобы попасть в точку В с координатами (О, Е); в точку (~:, Е)? ~Укажите координаты вектора скорости лодки относительно воды.) 2.14.
Старый рыбак на небольшой лодке с мачтой кружил по озеру по гладкой замкнутой траектории с постоянной по модулю скоростью и. Клева практически не было, и рыбак сосредоточил свое внимание иа поведении флажка иа мачте, За время полного оборота флажок несколько раз показывал на север, несколько раз на восток, а все остальное время— между этими направлениями. Найдите величину и направление скорости ветра.
3 Одномерное равноускоренное движение 3.1 Краткие теоретические сведения При описании движения точки по прямой удобно выбрать числовую ось (ОХ) вдоль этой прямой. Для определения характера движения достаточно знать функциональную зависимость координаты х от времени ~. Зависимость координаты от времени х(1) называется законом движения. Если за промежуток времени й1 материальная точка совершит перемещение .6х, то средняя скорость материальной точки на этом промежутке времени будет определяться отношением — „.
Здесь идет речь о промежутке времени [~, 1+ Ы) и о перемещении материальной точки между точками с координатами х и х+Ьх. Если устремить промежуток времени ~~т Ь1 к нулю, то отношение — ', в пределе определяет мгновенную скорость |~, в проекции на ось ОХ материальной точки в момент времени 1. Это значит, что мгновенная скорость материальной точки есть производная по времени от координаты этой точки 1'(г) = х. Аналогично определяется проекция мгновенного ускорения материальной точки а, на ось ОХ. Среднее ускорение есть отношение изменения скорости ЛХ к промежутку времени Ы, за которое это изменение произошло.
Если устремить промежуток времени Ь| к нулю, то отношение —, в й1~~ пределе определяет проекцию мгновенного ускорения а материальной точки в момент времени 8. В результате получаем связь между координатой, скоростью и ускорением в общем виде: Г = х, а, = р; = х. 18 В практике решения задач важны два частных случая движения по прямой, в которых закон движения выглядит достаточно просто: Равномерное прямолинейное движение (1~, = сопв$), хЯ = хо + ~'*.
(г — го). Равноускоренное прямолинейное движение (и = сопвФ), хЯ = хо+ 1'о~ ' (à — ~о) + " ~' И) = 1а + а~(~ — 1о). а„(8 — 1о)' 2 Здесь хо -- начальная координата, 1о — начальный момент времени, 1'о, — проекция начальной скорости на ось ОХ. Для решения задач необходимо определить характерные моменты времени и записать закон движения в эти моменты времени. Литература: [1] С. 46-56; [3] С.
40--49; [4] С. 77 — 105. 3.2 Задачи 3.1. Тележка движется вдоль линейки с постоянным ускорением. В момент, когда секундомер показывает ~1 — — 7 с, тележка находится против отметки х1 — — 70 см, в момент 1о = 9 с — против отметки хо = 80 см и в момент 1а = 15 с— против отметки хо — — 230 см. С каким ускорением движется тележка? 3.2. После толчка шарик вкатывается на наклонную плоскость. На расстоянии 1 = 30 см от начала движения шарик побывал дважды: через 11 — — 1 с и 1о — — 2 с после толчка. Считая ускорение постоянным, найдите начальную скорость ио и ускорение а.
3.3. Пассажир метрополитена наблюдает отправление поезда. Находясь на платформе у начала первого вагона, он замечает, что с момента отправления поезда этот вагон прошел мимо него за время т, = 5. Считая движение поезда равноускоренным, найдите, за какое время т~ мимо пассажира пройдет второй вагон, 3.4. Пассажир, .стоящий на перроне, заметил, что первый вагон электропоезда, приближшощегося к станции, прошел мимо него в течение 1~ — — 4 с, а второй — в течение 1~ —— 5 с.
Определите ускорение поезда а, если передний конец поезда остановился на расстоянии Ь = 75 м от пассажира. Движение поезда считайте равнозамедленным. 3.5. В момент, когда опоздавший пассажир вышел на перрон вокзала, с ним поравнялось начало предпоследнего вагона уходящего поезда. Желая определить, на сколько он опоздал, пассажир измерил время 1ы за которое мимо него прошел предпоследний вагон, и время 1~, за которое мимо него прошел последний вагон. Оказалось, что 1~ — — 9 с, а 1г = 8 с. Считая, что поезд двигался равноускоренно и длина вагонов одинакова, найдите, на какое время т пассажир опоздал к отходу поезда. 3.6.
Лыжник съехал с горы длиной 1~ — — 60 м за ~~ — — 15 с, а затем проехал еще 1~ = 30 м до остановки. Найдите скорость с~ лыжника в конце спуска и ускорение а~ на горизонтальном участке. Ускорение на каждом участке считайте постоянным. Постройте график зависимости скорости от времени. 3.7. Свободно падающее тело прошло последние 6 = 30 м за время т = 0,5 с.
С какой высоты У падало тело? 3.8. Тело падает без начальной скорости с высоты УХ = 100 м. За какое время тело проходит первый и последний метр своего пути? Какой путь проходит тело за первую и последнюю секунду падения? 20 3.9. За пятую секунду равнозамедленного движения тело проходит путь 8в = 5 см и останавливается. Какой путь тело проходит за вторую секунду этого движения? 3.10. С вышки без начальной скорости был сброшен предмет.
Время от момента сброса до приема звука падения на поверхность Земли составило 1. Найдите высоту вышки в предположении, что сопротивлением воздуха можно пренебречь, скорость звука равна Ъ', ускорение свободного падения — д. 3.11. По двум гладким наклонным полубесконечным плоскостям КЬ и ЬЛХ с одинаковым углом а = 30' к горизонту за- М пустили вверх материальные точки с одинаковой начальной скоростью.
Третья точка движется равномер- зо' но по третьей плоскости КЯ под углом а = 30' к горизонту со скоростью $' = 30 см?с в направлении гг точки Х. С каким интервалом времени начали движение первые две точки, если все три указанные точки дважды оказалась на одной вер- Ф тикали? Принять д равным 10м/с, 2 ответ дать в миллисекундах. Плоскость КХДХ?У вертикальна. 3.12.
Крышка вертикального колодца глубиной 10 м периодически мгновенно открывается и закрывается так, что колодец находится в открытом состоянии одну секунду и в закрытом состоянии тоже одну секунду. Камень подброшен со дна колодца вертикально вверх с начальной скоростью Г ровно за 0,5 секунды до очередного открытия крышки. При каких значениях начальной скорости Ъ' камень свободно вылетит из колодца и упадет обратно на крышку колодца'? 2 Ускорение свободного падения считать равным 10 м~с . 21 4 Двумерное равноускоренное движение 4.1 Краткие теоретические сведения Выберем на плоскости Декартову систему координат (ОХУ).
Тогда положение материальной точки, как точки Р(х,у) на плоскости в произвольный момент времени ~ может быть определено из временной зависимости координат (х®, у(г)). Соединим вектором г начало координат и точку Р, Вектор г называется радиус-вектором материальной точки. Закон движения в этом случае - это зависимость векторной функции г(х(1); у®) от времени. В общем виде скорость и ускорение определяются из следующих соотношений: В частном случае равноускоренного движения (а(а; ао) = сопвФ) закон движения имеет вид: а,(г — ~о) 2 х(~) = хо+ 1'о. (~ — ~о) + 2 а„(~ — ~о)' У(г) = Уо + рор(~ го) + 2 ~'.® = Ъо. + а*(1 — 1о), рр(г) = Ъо„+ а„(~ — ~о).
Здесь (хо, уо) — координаты начальной точки, (Ъо~; уор)— координаты вектора начальной скорости. При движении точки под действием силы тяжести часто удобно выбрать ось Ох горизонтальной, а ось Оу— направленной вертикально вверх. В этом случае закон движения примет вид: х(1) = хо + 1 о сов а(~ — 1о), 9(г — го) у(1) = уо+ ~4з1па(~ — ~о)— 2 рог) = ~4соза, ~'о ® = го о1п о — Я1 — го). Здесь о угол между вектором начальной скорости и горизонтом. Исключая из этой системы уравнений 1 — 1о, получим уравнение траектории у(х): д(х — хо)' у уо (х хо)СКО 2 2 Литература: [1[ С. 61 -75; [3[ С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
