Н.Н. Смирнов - Введение в специальность. Фундаментальная математика и механика. Сборник задач (1015815), страница 4
Текст из файла (страница 4)
49 — 53; [4] С. 105 — 112. 4.2 Задачи 4.1. Снаряд вылетает из пушки с начальной скоростью го —— 1000 м/с под углом а = 30' к горизонту. Определите: время полета снаряда т; максимальную высоту подъема снаряда Н; дальность полета снаряда ь. 4.2. Студент гулял с собакой.
Размахнувшись изо всех сил, он бросил мячик под углом к горизонту. Собака побежала за мячом со скоростью в два раза меньшей, чем начальная скорость бросания мяча. При каком угле бросания собака поймает мячик? 4.3. Два снаряда выпущены из одной точки на поверхности Земли и оба попали в другую точку на той же горизонтали. Определите угол между начальной скоростью второго снаряда к горизонту, если начальная скорость первого направлена под углом а. 4.4. Дальность полета двух снарядов, выпущенных из одного орудия, одинакова, а время полета отличается в п = ~73 раза. Определите углы к горизонту, под которыми вылетают снаряды. 4.5.
Человек бросает камень через забор высотой Н = 2,5 м. На каком расстоянии от забора он может находиться, если бросок производится с высоты Ь = 2 м от поверхности Земли со скоростью Ц = 5 м~'с под углом а = 45' к горизонту? Ускорение свободного падения принять д = 10 м!с . 4.6.
В протекторе колеса радиуса Л автомобиля, движущегося со скоростью $', застрял камень. На какую максимальную высоту может подняться камень, внезапно вылетев из протектора? 4.7. На тележке, которая движется горизонтально со скоростью $' стоит школьник Гаврила. В тот момент, когда он оказался около своей одноклассницы Глафиры, мальчик подбросил вверх маленький шарик со скоростью 5' (со своей точки зрения), а спустя промежуток времени т еще один с той же скоростью. Какое минимальное расстояние между шариками зафиксировала Глафира, пока оба шарика были в воздухе? Каково с ее точки зрения перемещение первого шарика к этому моменту? Сопротивлением воздуха пренебречь.
4.8. Яблоко брошено из точки А под углом а = 60' к горизонту с начальной скоростью Ц = 20 м/с. Из точки В, расположенной на расстоя- ~о нии Ь = 30 м от точки А на той а же горизонтали, в тот же момент Е в времени под углом Д = 30' к горизонту (см. рисунок) производится выстрел из арбапета так, что стрела попадает в яблоко. Через сколько секунд после выстрела это произойдет? 4.9. Пушка делает два выстрела с интервалом т = 10 с. (а) Каким будет расстояние 1 между снарядами спустя вре- 24 мя ~ = т после второго выстрела? Скорость снаряда при выстреле Рв = 300 м~с, ствол пушки направлен под углом а = 60' к горизонту.
Ускорение свободного падения принять д = 9,8 м/с~, силу сопротивления воздуха при движении снарядов не учитывать. (б) Определите минимальное расстояние между снарядами во время полета. 4.10. Граната разрывается на множество маленьких осколков, которые начинают лететь во все стороны с одинаковой по модулю скоростью. Определете геометрическое место точек, в которые попадет хотя бы один осколок. 4.11. С отвесного берега высотой 6 произведен выстрел в горизонтальном направлении. Начальная скорость пули равна ге. Найдите модуль и направление скорости пули и в момент вхождения в воду.
4.12. Под углом а = 60' к горизонту брошено тело с начальной скоростью не — — 20 м/с. Через какое время его скорость будет направлена под углом Д = 45' к горизонту? 4.13. Камень бросают горизонтально с вершины горы, склон которой образует угол а с горизонтом. С какой скоростью го нужно бросить камень, чтобы он упал на расстоянии Х от вершины? 4.14.
Материальная точка движется по плоскости по закону х(~) = 36+3~ — 5~~., у(1) = — 41. Найти модуль изменения скорости точки за третью секунду от начала движения. 4.15. Тело, находящееся на расстоянии Я от источника звука, начало движение в момент пуска звукового сигнала без начальной скорости с постоянным ускорением а по прямой, образующей с направлением на источник звука угол а = 60'. Какое расстояние 1 пройдет это тело до встречи с сигналом, если скорость распространения сигнала равна г'? 25 5 Законы Ньютона. Кинематические связи 5.1 Краткие теоретические сведения Центральное понятие механики — это взаимодействие тел друг с другом. Меру взаимодействия тел, в результате которого характер движения тел меняется, называют силой. Сила — векторная величина. Сила характеризуется величиной, направлением и точкой приложения. Если силы приложены в одной точке, то их действие можно заменить на действие их векторной суммы, которая называется равнодействующей.
Рассмотрим идеальную пружину, для которой предполагается, что растяжение пружины пропорционально приложенной силе. Таким образом, с помощью пружины можно, не зная численного значения силы, изменить силу, скажем, в два раза. В экспериментах с движением тележки в лабораторных условиях под действием сил, созданных растянутой пружиной, легко обнаружить, что при изменении силы в два раза ускорение движения тележки тоже меняется в два раза, то есть ускорение пропорционально действующей силе г'= та, где гп — коэффициент пропорциональности, называемый массой тела.
В этом состоит суть второго закона Ньютона. Чем больше масса, тем меньшее ускорение, вызываемое одной и той же силой. Из второго закона Ньютона следует, что если равнодействующая всех действующих на материальную точку сил равна нулю, то тело будет двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в покое.
Это свойство тел (не менять 2б характер движения без изменения силового воздействия) называется инерцией. Масса тела т — это мера инертности тела. Практика показывает, что не во всех системах отсчета выполняется второй закон Ньютона. Для прояснения ситуации с системами отсчета формулируется другой закон (первый закон Ньютона), который утверждает, что существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых выполняется второй закон Ньютона. При этом все инерциальные системы движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно.
Следует заметить, что для удачного решения задач необходимо правильно определить действующие на тело силы. Для этого необходимо правильно определять природу силы и иметь в виду, что реальные силы всегда вызваны каким-то другим телом. При этом для взаимодействующих тел выполняется третий закон Ньютона, который кратко может быть сформулирован так: сила действия равна силе противодействия, Силы взаимодействия двух тел равны по величине, направлены в противоположные стороны, лежат на одной прямой и имеют одну природу.
Для получения полной системы уравнений, описывающей поведение системы материальных точек, необходимо для каждой из них написать уравнение второго закона Ньютона, определив все силы, действующие на каждую точку, а также уравнения связей — соотношения между координатами и скоростями точек, возникаюгцие из-за геометрических ограничений, наложенных на систему (наличие нерастяжимых нитей, твердых плоскостей и т.п.).
Литература: [1] С. 8Ь-107; [3] С. 57 — 76; [4[ С 157 — 193; [6] С. 157-173. 27 5.2 Задачи 5.1. На концах нерастяжимой нити, перекинутой через блок с неподвижной осью, висят на высоте Н = 2 м два груза масса которых т1 — — 100 г и те — — 200 г.
Б начальный момент грузы покоятся. Определите силу натяжения нити и время, за которое груз т~ достигнет пола. Массой блока и нити пренебречь. 5.2. На нерастяжимой нити, перекинутой через блок, подвешены грузы массы т1 и т~. Блок в заторможенном состоянии уравновешен и подвешен к динамометру. На сколько изменятся показания динамометра, если блок освободить' ? 5.3. (Задача Фейнмана).
Двое молодых марсиан Паоло и Франческа хотят переправиться через марсианский канал Римини, но ни одна гондола не берет их обоих сразу, а переправляться по ! отдельности они отказались. Находчивый гондольер Джу- Ф зеппе умудряется все-таки заработать на их переезде. 7 Он подвешивает эту парочку Т ~ на мачте (см. рисунок) с ~Щ,д «-~ЯЩ помощью абсолютно гладких блоков и веревок (характерная особенность всех марсианских конструкций) и быстро переправляет влюбленных через канал, пока ни один из них не успевает коснуться ни мачты, ни палубы.
Много ли при этом Джузеппе выигрывает в нагрузке на мачту? Напоминаем: натяжение невесомой нити, перекинутой без трения через невесомый блок, одинаково с обеих сторон блока. 28 5.4. Маляр работает в подвесном кресле. Его масса М = 72 кг. Ему срочно понадобилось подняться вверх. Он начинает тянуть за веревку, перекинутую через блок, причем с такой силой, что сила его давления на кресло уменьшается до Р~ — — 400 Н. Само кресло весит т = 12 кг. (а) Чему равно ускорение маляра и кресла? (б) Чему равна полная нагрузка на блок? 5.5.
К оси подвижного блока прикреплен груз массой гп. С какой силой Р надо тянуть конец нити, перекинутой через второй блок, чтобы груз поднимался с ускорением а? Чтобы груз покоился'? Массой блоков н нити пренебречь. 5.6. Через неподвижный блок, масса которого пренебрежимо мала, перекинута веревка. На одном конце веревки висит груз с массой М = 25 кг, а за другой конец ухватилась обезьяна и карабкается вверх. С каким ускорением а поднимается обезьяна, если груз находится все время на одной высоте? Масса обезьяны т = 20 кг. Через какое время т обезьяна достигнет блока, если первоначально она находилась от него на расстоянии 1 = 20 м. 5.7. Через невесомый блок перекинута веревка с грузами т и 2т.
Блок движется вверх с ускорением 6. Пренебрегая трением, найдите давление блока на ось. 5.8. В столовой на втором этаже ГЗ МГУ сделано специальное устройство для маленьких тарелок. Имеется вертикальный цилиндр, снизу закрытый поршнем, которой удерживается пружиной. прикрепленной к корпусу. Тарелки массой т толщины Ы ставятся на поршень. Пружину какой жесткости следует подобрать, чтобы верх верхней тарелки всегда был на одном и том же уровне независимо от числа тарелок? Сила упругости пружины пропорциональна ее растяжению, коэффициент пропорциональности называется жесткостью пружины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
