Н.Н. Смирнов - Введение в специальность. Фундаментальная математика и механика. Сборник задач (1015815), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Разделив объем иа известную толщину, получит искомую площадь. «Умелый» механик может обойтись в этой задаче даже без плотности — ведь в реальности она не всегда известна с достаточной точностью. Вспомнив величайшего ученого древности Архимеда, он опустит пластину в воду и, измерив массу вытесненной жидкости, получит сразу и объем — ведь плотность воды равна единице. Осталось разделить объем на толщину. Преимущество двух последних способов решения перед первым особенно заметно., если нужно измерить площадь пластины сложной формы (см.
рисунок). Возможен даже вырез в этой пластине. «Механические» методы по-прежнему «работают», математику же придется искать какое-то иное решение... Следующая задача посложнее. Задача 2. Шарик массой 10 г падает с болыпой высоты без начальной скорости.
Численное значение силы сопротивления среды в ньютонах определяется формулой ~Г~ = 10 ~»'~,. где»' — значение модуля скорости тела в м/с. Вычислите приближенно, за какое время шарик пройдет первый 10 сантиметр и первый километр пути? Принимаемые предположения обоснуйте. Для «математика» решить данную задачу — зто значит решить обыкновенное дифференциальное уравнение, что возможно, но требует довольно богатого математического аппарата (не менее двух курсов мехмата). В то же время «механик» может предложить следующее решение. Предположим, что на первом сантиметре пути сила сопротивления не существенна.
Действительно, если бы ее совсем не было, то шарик приобрел бы скорость 1» = х/2д6 — 0,45 м/с 1через 6 обозначен 1 сантиметр). При такой скорости сила сопротивления составляет г = 2 10 ~ Н, что в 500 раз меньпн силы тяжести. Таким образом, пользуясь формулой для скорости тела при свободном падении, получаем приближенно время, за которое шарик пролетит первый сантиметр 1 = ~~" — О., 045 с.
С увеличением скорости растет сила сопротивления движению. Существует скорость |'ы с которой шарик может двигаться равномерно. Найдем ее: ЛХд = Г ~ 1'~ = 10 м/с. Такой скорости свободно падающее тело достигнет за 1 с. То есть, за одну секунду тело разгоняется почти до скорости 7~ и затем движется практически равномерно. Двигаясь со скоростью 1 ы шарик пройдет один километр за 100 секунд. Видно, что время разгона много меньше »той величины. Таким образом, 100 секунд можно считать ответом.
Ответ: О, 045 с; 100 с. Имеются также задачи, которые можно решать и алгебраически, и геометрически, и физически. Такова, например, следующая задача. Задача 3. Теплоход стоит на рейде на расстоянии 200 метров от прямолинейного берега и готовится к отплытию. Находящийся в момент времени 12:47 на расстоянии 1 400 метров от теплохода опаздывающий пассажир бежит по бе- 11 регу вдоль набережной. а) Через какое минимально возможное время пассажир окажется на месте стоянки теплохода, если он может плыть со скоростью 4 км час, а по суше передвигается вдвое быстрее? б) Успеет ли он на теплоход, если теплоход отплывает в 13:00? В этой задаче возможно и алгебраическое решение, основанное на получении функции времени и дальнейшем нахождении минимума этой функции средствами математического анализа, и очень изящное чисто геометрическое решение, и еще одно геометрическое решение, основанное на точке Ферма -- Торричелли — Штейнера в треугольнике, и физическое решение, основанное на законах аналогии с распространением света и применении принципа Ферма.
Таким образом, в задаче по механике постановка задачи содержит описание некоторого события или процесса, математическую модель которого учащийся в состоянии построить. При решении полученной системы уравнений, как правило, должен быть использован серьезный (для данного момента обучения) математический аппарат. При этом получение решения обычно не означает окончания решения задачи в целом.
Необходимо еще проанализировать ответ, выяснить при каких значениях параметров этот ответ соответствует здравому смыслу или каким-то более узким заданным условиям. Безусловно, впереди у вас — решение больших и серьезных механических и других прикладных задач. Этим вы займетесь через некоторое время: на третьем и более старших курсах. Но как гласит китайская поговорка, «всякая дорога начинается с первого шагак Пусть же первыми вашими шагами на пути к вершинам механики будут находки и озарения при решении приведенных здесь интересных задач.
12 2 Закон сложения скоростей 2.1 Краткие теоретические сведения Рассмотрим движение материальной точки в некоторой системе отсчета, которую будем считать неподвижной (НСО). Пусть имеется еще одна система отсчета (ПСО), движущаяся относительно НСО поступательно. Классический закон сложения скоростей — закон Галилея — определяет связь скоростей точки (Т) в неподвижной системе отсчета И вЂ” абсолютная скорость — и подвижной Ф системе отсчета у' -- относительная скорость: где д — скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной -- переносная скорость.
Например, наблюдатель на берегу моря (НСО) следит за движением матроса (Т) яа пароходе (ПСО). Если пароход движется со скоростью с7 относительно берега, а матрос идет по палубе со скоростью у' относительно парохода в направлении движения парохода, то скорость матроса относительно берега И' будет равна И' = с7+ Ъ'. Если матрос идет против движения парохода, то скорость будет равна И' = (7 — и. Если матрос идет поперек палубы, то его движение относительно берега будет описываться треугольником скоростей и ю~ буда р и = ~т+~ у~. Литература: (1] С.
13- 16, 28 — 34, 76- 83; )3) С. 52- 53; (4) С. 128 -137. 13 2.2 Задачи 2.1. Дирижабль прошел из пункта А в пункт Б расстояние 40 км против ветра (скорость ветра 30 км/ч), затем прошел этот же путь в обратном направлении, затратив в оба конца 2,5 часа. Определить скорость дирижабля относительно воздуха. 2.2. Чайка,летящая навстречу лайнеру, покрывает путь от носа до кормы за 12 с. Затем она разворачивается и пролетает мимо лайнера за 60 с. За какое время лайнер пройдет мимо сидящей на воде чайки? 2.3.
Теплоход идет из Ярославля в Астрахань без остановок пять суток, а обратно на сутки больше. Сколько суток из Ярославля в Астрахань будет плыть плот? 2,4. Из туристического речного трамвайчика, движущегося против течения, выпал чемодан туриста. Через промежуток времени ~о после этого команда выслала быстроходный катер. Во сколько раз скорость катера больше скорости трамвайчика, если с момента выхода катера до его возвращения с потерянным чемоданом прошел промежуток времени 4~о? 2.5.
Для измерения длины медленно движущегося товарного поезда восьмиклассник проехал на велосипеде из хвоста поезда в начало и обратно. При этом измерил пройденный им путь и расстояние, на которое за это время переместился поезд. Спидометр велосипеда показал, что мальчик проехал 1800 м. За это время поезд проехал 1200 м. Найдите длину поезда. 2.6. По спускающемуся эскалатору идет пассажир со скоростью Ъ" = 1 м~'с относительно, эскалатора. Скорость эскалатора Г = 1 м,!с.
Общее количество видимых ступеней 14 Х = 100. Сколько ступеней пройдет пассажир, спускаясь по зскалатору? Получите ответ для произвольного направления и величины скорости человека. Объясните результат при близких по модулю и противоположных по направлению скоростях. 2.7. Сухогруз вышел из порта А и двинулся строго на запад со скоростью 10 узлов (1 узел =- 1 морская миля в час). Через 10 часов он сменил направление на северное и прибыл в порт Б еще через 10 часов. На следующий день он вышел из порта Б с той же скоростью Ъ' в юго-восточном направлении, одновременно с ним из порта А на юго-запад вышел катер со скоростью Г = 20 узлов. Найти минимальное расстояние между сухогрузом и катером.
2.8. На соревнованиях мотодельтапланеристов все участники стартуют из одной точки, но двигаться должны в разных направлениях. Всем необходимо про,тететь расстояние Л и вернуться в исходную точку. Участник имеет право сам выбрать направление полета. Ветер дует с запада на восток. Имеет ли смысл участнику задуматься о том, какое направление полета выбрать, или правы организаторы соревнований, считая, что все находятся в равных условиях — те, кому ветер дует навстречу и мешает, будут в выигрышном положении при возвращении, когда ветер будет «дуть в спину» и помогать? 2.9.
Мотоциклист и велосипедист равномерно передвигаются по двум находящимся на плоскости пересекающимся прямолинейным трассам: каждый по своей. В 12:00 мотоциклист, велосипедист и точка пересечения трасс находились в различных вершинах правильного треугольника. В 13:00 мотоциклист, движущийся со скоростью 70 км~'ч., пересчк вторую трассу. Велосипедист пересцк первую трассу в 14:ОО. Найдите все моменты времени от 07:ОО до 18:00, когда расстояние между спортсменами равно 245 км. 2.10, Два велосипедиста передвигаются с постоянными скоростями, каждый по своей прямолинейной дорожке. В 13; 00 расстояние между ними было 4 км, в 13: 08 — 4 км, в 13: 17 — 4,5 км. а) Определить момент времени, в который они будут находиться на кратчайшем расстоянии друг от друга. б) Определить величину относительной скорости одного велосипедиста относительно другого.
2.11. По реке с постоянными скоростями плывут два катера, каждый строго по своей прямой линии. В некоторый момент времени первый из них оказался в точке А, а второй— в точке В. Причем направление течения реки в этот момент времени составило угол 60' к направлению АВ, Через некоторое время катера встретились в точке С. Оказалось. что треугольник АВС прямоугольный равнобедренный с вершиной в точке А. Найдите минимальное отношение собственной скорости второго катера к скорости реки, при котором это осуществимо. 2.12. Два автомобиля движутся с постоянными скоростями в~ и г~ по дорогам, пересекающимся под прямым углом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
