Конструкция и проектирование авиационных газотурбинных двигателей под ред. Хронина Д. В. (1014169), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Равенство нулю моментов на концах вала согласно (7.14) эквивалентно равенству нулю вторых производных. Условия закрепления левого конца ($ = О) дают: С, = О, С, = О. Условия закрепления правого конца ($ = 1) дают два уравнения: Са 3Ь й + С, гбп й = 0; (7.20) (7.21) Рнс. 7.7. Расчетная модель однородного вала 342 С3ййС4мпйО Отсюда С,ЗЬй=О, т.
е. С, =-О, так как Бай-ЪО; Сез(пй = О. Это равенство удовлетворяется решением й = П44, где л — целые числа (1, 2, 3 и т. д.). 7.3.1. Расчетная схема ротора Рнс. 7.3. Формы колебвняй двухоаор- Рнс. 7.9. Расчетная схема одноднско. ного однородного вала ного ротора При найденных значениях й прогиб вала возможен. Форма упругой линии согласно (7.18) определяется формулой у = С«з(п ила. (7.22) Решение показывает, что возможно круговое движение вала с прогибом в виде синусоид.
Амплитуды синусоид С, могут иметь произвольную величину. В пределах длины вала укладывается цело« число полуволн синусоид (рис. 7.8). Номер формы изгиба определяется числом л. Найденные формы изгиба могут возникнуть только при определенных угловых скоростях вала. Эти скорости определяются по формуле (7.17) при подстановке в нее найденных значений параметра й «Р (7.23) и называются критическими скоростями гладкого вала постоянного сечения. На этих скоростях вал теряет несущую способность . и может неограниченно прогибаться под действием всегда фактически существующей неуравновешенности. Как показывают формулы (7.23) и (7.22), вал имеег бесчислен-, ное множество критических скоростей и соответствующих им форм изгиба.
Практическое значение имеют лишь первые четыре- пять форм. Кратность «|„р соотвегствует ряду п'. Это значит, что, например, пятая скорость в 25 раз больше первой и т. д. Опре- ' деление высших значений критической скорости требует более точной модели, учитывающей сдвиговые деформации. Полученные формулы для оценки критических скоростей имеют большое практическое значение не только для валов, но и для трубок масляных магистралей, расположенных в валах, стяжиых стержней как центральных, так и нецентральных (например в компрессорах или турбинах) и для всех других стержневых элементов, входящих в конструкцию роторов, расположенных параллельно оси вращения ротора.
Для продольных болтов и шпилек, имеющих большие напряжения затяжки, критические скорости повышаются и;могут рассчитываться по формуле (7.24) где о — напряжение затяжки болта. 344 7.3. УСТОЙЧИВОСТЬ И КРИТИЧЕСКИЕ УГЛОВЫЕ СКОРОСТИ ОДИОДИСКОВЫХ РОТОРОВ Однодисковый ротор является наиболее простой расчетной схемой реальных роторов. На примере этой схемы выясняются весьма существенные принципиальные дополнения к представлениям о свойствах устойчивости и колебаниях быстровращающихся рото торов, рассмотренных выше, на примерах элементарных схем.
Вместе с тем схема однодискового ротора часто используется как расчетная схема для реальных роторов с целью получения численных оценок их динамических свойств. Схема однодискового ротора показана на рис. 7.9. Она состоит из двух элементов — невесомого вала любой конфигурации и идеально жесткого уравновешенного диска, который может быть расположен в любом место вала как консольно, так и между опорами. Прогиб ротора при вращении происходит в плоскости ху, поэтому рассматривается система с двумя степенями свободы. Ее деформация определяется прогибом у и углом поворота сечения О в том месте, где закреплен на валу диск.
Упругость вала оцениваем коэффициентами податливости аго амо с|,|, а, а, а, которые представляют собой прогиб и угол поворота б сечения вала в месте посадки диска от единичной силы и проги и угол поворота сечения вала от единичного момента. Эти коэффициенты могут быть определены для любой конфигурации вала методами, рассматриваемыми в курсах «Сопротивление материалов». Чаще всего для этой цели используется способ Верещагина. Можно напомнить, что а„= а|м т. е. коэффициенты со смешанными индексами обладают свойством взаимности.
Инерционность системы определяется массой диска т и его массовыми моментами инерций: полярным (Хр) и экваториальным (7,). Важно отметить, что для тонких дисков момент Гр в два раза больше момента 7,. Если схематический диск представляет собой два близко расположенных жестко скрепленных диска, то это отношение меньше двух, Если же объединяется несколько жестко связанных дисков, то отношение моментов инерции эквивалентного диска может быть меньше единицы.
Моменты инерций системы дисков определяются методами, рассматриваемыми в механике. 7.3.2. Виды прецессий упругой оси ротора Колебания и устойчивость одно- и многодисковых роторов определяются двумя видами вращения. Первый вид — вращение плоскости ку, в которой лежит изогнутая ось вала, вокруг оси, проходящей через точки опор вала, с угловой скоростью Й. Этот вид кругового движения называется прецессией упругой оси 345 ЧГ ротора. Второй вид — это собственное вращение ротора (вала и диска) вокруг изогнутой оси с абсолютной скоростью е.
Скорости й и е независимы, соотношение этих скоростей может быть произвольным. В результате кругового движения центра масс диска по окружности радиусом у с угловой скоростью Й в точке крепления диска к валу возникает инерционная радиальная сила Я = туй'. (7.26) В результате сложного вращательного движения со стороны диска на вал действует динамический изгибающий момент, определяемый по формуле М = 7,а'0 —,) а О. (7,26) Первое слагаемое представляет собой инерционный момент диска от кругового движения плоскости упругой оси вала при отсутствии собственного вращения вала о„второй член — гироскопический момент. Как известно из механики, направление действия, т. е. знак этого момента, определяется по векторам скоростей (см.
рис. 7.9) — от вектора собственной скорости в к вектору переносной скорости Й по кратчайшему направлению, в данном случае против направления отсчета угла О. Формула (?.26) записывается в виде М = У,йаА0, (7.27) где А=1 — — "" . (7.28) Этот коэффициент называется коэффициентом прецессии, его величина зависит от вида прецессии, т. е. от соотношения скоростей й и ы. Различают следующие виды прецессий: прямые и обратные ' прецессии, когда скорости й и ы совпадают по знаку или противоположны; прямые синхронные прецессии, когда Й = в. В этом, случае ыотн Это означает, что относительная угловая скорость диска в плоскости ху, в которой лежит изогнутая ось вала, равна нулю. Это означает также, что волокна вала напряжены однозначно, т.
е. волокна, которые находятся на выпуклой стороне вала, неизменно растянуты, а те, которые находятся на вогнутой стороне вала, — сжаты. Различают еще обратную синхронную прецессию, когда й = Выделение прямых н обратных синхронных прецессий имеет определенное значение при исследовании и расчетах устойчивости и колебаний роторов. Например, в случае тонких дисков, когда отношение 7р к 7, равно двум, коэффициент для прямой синхронной прецессии 346 7.3.3. Собственные частоты колебаний, диаграмма частот, критические скорости Для оценки устойчивости ротора необходимо определить возможность существования прецессионного движения ротора при отсутствии внешних возмущающих сил, При таком движении внутренние силы и моменты упругости вала полностью уравновешиваются возникающими инерционными силами и моментами.
Условия, при которых возможны такие прецессии, являются условиями потери устойчивости ротора, так как несущая способность вала становится равной нулю. Предположим, что ротор может совершать свободное прецессионное движение, как это показано на рис. 7.9. Прогиб вала у и угол поворота сечения 0 под действием инерционных сил 1~ и момента М определяются уравнениями у а1Д+ а„М; (7.29) 0=ааА+а М Заменяя здесь Я и М их значениями по формулам (7.25) и (7.27), получаем систему из двух однородных уравнений: (амт12з — 1) у + а„,?,1)'А 0 = 0; а,ти'у + (а„7,()'А — 1) 0 = О. (7.30) Эти однородные уравнения (без правых частей) имеют решения, отличные от нуля при условии, что определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных этих уравнений, равен нулю: ! а„т(1' а„?,МА — 1 = О.
(7.31) Это уравнение называется частотным. Его корни, т. е. значения й и А, определяют виды прецессии и численные значения скоростей 11 и в, при которых ротор теряет устойчивость. Уравнение имеет бесчисленное множество решений. Эти решения можно представить в виде диаграммы соотношения скоростей Й и ы (рис.
7.10). Диаграмма кососимметрична, т. е. четверти ? и ?П идентичны и представляют собой прямые прецессии, четверти П и 1'г'— 347 А = — 1, а для обратной А = 3, т. е. в первом случае динамический момент препятствует изгибу вала, а во втором способствует изгибу с тройной интенсивностью. В случае, когда а = О, коэффициент прецессии А = 1, т, е. гироскопический момент отсутствует. Коэффициент прецессии А = 0 при условии й = 2еь При этом динамический момент равен нулю: М = О. Учитывая кососимметричность частотной диаграммы, можно сделать вывод, что для однодискового ротора для любой скорости ог существует две формы изгиба вала при потере устойчивости.
Эти формы всегда строго определенны. Рис. 7.10. Диаграмма корней частотиого уравиеиия одиодяскового рого а частотная диаграмма ора обратные. Любому значению угловой скорости ротора го соответ, ствуют четыре значения Й (два — прямой прецессии и два— обратных). Если из начала координат провести прямую под углом 45' (при условии, что масштабы по осям абсцисс и ординат одинаковы), то точка пересечения с кривой диаграммы покажет скорость прямой синхронной прецессии, при которой ротор теряет устойчивость под действием собственной неуравновешенности.
Зта скорость называется критической скоростью, которая всегда опасна. Для каждого значения скоростей й и ы, лежащих на частотных характеристиках диаграммы, существует свое соотношение прогиба у и угла поворота О сечения вала, где находится диск. Зто соотношение однозначно определяет форму изгиба вала на режимах потери устойчивости. 7.10 . Соотношение д/О можно определить из любого уравне ния ( . ). Для первой характеристики, лежащей ближе к оси абсцисс диаграммы, для всех ее точек соотношение будет иметь положительный знак (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
