Конструкция и проектирование авиационных газотурбинных двигателей под ред. Хронина Д. В. (1014169), страница 64
Текст из файла (страница 64)
7.1) состоит нз невесомого вала, вращающегося в двух шарнирных опорах, и диска, закрепленного точно посередине вала, между опорами. Диск обладает массой и, центр масс расположен на расстоянии а относительно оси вала. При вращении ротора вал прогибается на 337 Ф' а р ж а»лр а Рис. ?Л, Стена простейшего симметричного ротора Рис, 7.2. Изменение прогиба симметричного ротора в зависимости от угловой скорости; Π— е — область «жесткого» ротора; в вр а — область гас«ого» ротора величину у под действием инерционной силы Р. При установившемся движении существует состояние равновесия между силой Р и силой упругости вала: Р = т (а + у) ши = су, где с — коэффициент жесткости вала на изгиб.
Для рассматриваемой схемы с = 48ЕУ/(м. (7.2) Из (7.1) получаем формулу прогиба вала у = ташз/(с — тш»). (7.3) На рис. 7.2 показан график зависимости прогиба вала от угловой скорости от. Согласно формуле (7.1) пропорционально у увеличивается инерционная сила. Уравнения (7.1) и (7.3) справедливы для любого значения ш, кроме такого, при котором знаменатель формулы (7.3) обращается в нуль: с — тшз = О, ш» = с/т. (7.4) Легко видеть, что в случае су = тш»у левая часть уравнения (7.1) становится больше правой, т. е.
инерционная сила преобладает над силой упругости, равновесное состояние нарушается. Вал теряет устойчивость, прогиб вала под действием силы неуравновешенности таш» неограниченно возрастает. Скорость, пря которой вал теряет устойчивость, называется критической. При скорости ш, превышающей шкр, равновесное состояние восстанавливается, выражения (7.1) и (7.3) вновь становятся справедливыми. Но согласно (7.3) прогиб принимает отрицательный знак.
Это означает, что изгиб вала в области гибкого ротора происходит в сторону, противоположную направлению эксцентриситета а. Возрастание скорости ш ведет к уменьшению прогиба у, который в пределе стремится к величине, равной а. Это 333 означает, что центр масс диска стремится занять положение на оси вращения ротора, т.
е. в закритической зоне при увеличении о» имеет место тенденция к самоцентровке ротора. Как следует из формул (7.4) и (7.2), критическая скорость ротора зависит только от соотношения жесткости вала и массы диска, т. е. от соответствующих конструктивных размеров. Поэтому критическая скорость ротора является его динамической характеристикой. Роторы, работающие на скоростях, меньших, чем критические, принято называть «жесткимн», а роторы, работающие на скоростях, превышающих критические, — «гибкимн». Эти понятия не следует связывать с какими-либо прямыми оценками жесткости роторов.
Для «жестких» роторов состояние равновесия является статическим. Для них характерно увеличение прогибов и усилий, действующих на опоры, с увеличением угловой скорости. «Гибкие» роторы находятся в состоянии устойчивого динамического равновесия. Рабочие угловые скорости роторов не должны быть близкими к критической скорости. Для «жесткнх» роторов они должны быть меньше, а для «гибких» — больше критических.
Диапазон скоростей, в котором не должны лежать рабочие скорости, определяется допустимым прогибом ротора. На рис. 7.3 показана зависимость относительного прогиба ротора у/а от соотношения его скорости оз к критической скорости ш„р. Зависимость строится по следующей формуле, полученной из (7.3) с учетом формулы (7.4): (7.5) (а»в /шв) — 1 Знак прогиба на рис. 7.3 ие учитывается. Бслн прогиб ротора ограничивается пятикратным отношением (у/а = ~5), то угловая скорость не должна находиться в пределах (0,92 ...
1,12) ш„р. Прн высокой степени балансировки ротора можно допустить большую величину относительного прогиба. Тогда опасный диапазон скоростей сузится. Однако допускать разницу между рабочей и критической скоростью меньше чем ~10 % опасно из-за интенсивности роста прогиба. Роторы современных ГТД из-за легкости конструкции и малой жесткости относятся к «гибким», т. е. их рабочие скорости лежат выше критических. Для таких роторов проход зоны критической скорости при разгоне ротора и торможении должен происходить с большим ускорением и замедлением, для того чтобы время прохода зоны было минимальным и увеличение прогиба за это время незначительным. Следует обратить внимание на то, что формула (7.4) критической скорости совпадает с формулой собственной частоты одно- массовой системы.
339 Отсюда с дэ дх 17 1г пав„ Рис. 7.3. Границы эон больших пе- регрузок Рис. 7.4. Симметричный ротор иа упругих опорах Рис. 7.3. Симметричный ротор в опорэх с зазором: а — докритическнй режим; б — некритический ре тм — ред жи ° 6 — иальнмй анвар Это совпадение является общим и означает, что критическая скорость численно равна угловой частоте собственных колебаний, а критическая частота вращения ротора равна собственной частоте изгибных колебаний. 7.1.2. Влияние упругости опор иа критические скорости Рассмотрим схему ротора (рис. 7,4), когда опоры вала обладают упругостью, которая оценивается общим коэффициентом с,.
Усло- вие равновесия для этой схемы определяется равенствами пт (у + у, + а) в' = су; су = с,у,. (7.6) Решив эти равенства относительно у, получим шов' с — шв' () + с) где с = с/сэ. (7.7) Приравняв знаменатель нулю, определим критическую скорость для ротора на упругих опорах: с с, (7.8) с+се Полученная формула показывает, что введение упругих опор ротора снижает его критическую скорость.
Это позволяет устра- нить критическую скорость ротора из области его угловых рабочих скоростей и снизить усилия на опорах, 7.1.3. Критические состояния при наличии зазоров в опорах Схема, представленная на рис. 7.5, позволяет рассмотреть особенности устойчивости роторов при наличии зазоров в опорах. При угловой скорости, меньшей критической (рис. 7.5, а), радиус окружности, по которой движется центр масс диска, складывается нз трех величин: радиального зазора 6, прогиба вала у и эксцентриситета а.
Уравнение равновесия записывается в виде пй (у + 6 + а) в' = су. 340 ш (6 + а) в' (7.9) у с — шв' Прогиб вала по сравнению со схемой на рис. 7.1 больше из-за У величения радиуса окружности на 6. Знаменатель формулы (7.9) остаегся без изменения. Это значит, что критическая с я скорость с введением зазора в подшипники не меняется. 3 ономерность изменения прогибов вала при увеличении в ак показана на рис.
7.6. В закритической области (рис, б), когда твэ > с, эксцентриситет занимает положение, противо- о ожное указанному (рис. 7.5, а). Другого положения быть не может, так как вал смещается в зазоре только в сторону ргиба, т. е. в направлении действия силы Р.
Уравнение равновесия сил для этого случая запишется так: т (у+6 — а) вэ=су. Отсюда находим прогиб ш(6 — о) в' (7.10) с — шв' Знаменатель формулы отрицателен. Следовательно, изгиб вала возможен только при условии а > 6. В противном случае прогиб получится по формуле с отрицательным знаком, а это противоречит расчетной схеме. Если зазор будет больше эксцентриситета, то при в > вир вал будет вращаться вокруг центра масс диска, прогиба вала н раднальн альных сил на опорах не будет (рнс. 7.6). Такое положение мости. возможно для вертикального вала или в условиях невесом Для горизонтального вала в земных условиях при больших зазорах, когда 6 > а, в закритической области возникает ударное обкатывание вала в опорах.
а Рис. 7.6. Характеристике прогибов ротора при наличии зазоров в опорах: е р Ь вЂ” дебвланс больше ваворав а < Ь— дебалаис меньше вавора 7.2. УСТОВЧИВОСТЬ БЪ4СТРОВРАЩАЮЩИХСЯ ГЛАДКИХ ВАЛОВ В качестве расчетной модели рассматривается идеально уравновешенный гладкий вал круглого поперечного сечения, расположенный на двух шарнирных опорах (рис. 7.7, а). Поперечные сечения вала Р (х) изменяются вдоль его длины, изменяются и моменты инерции на изгиб 7 (х). Центры масс сечений лежат на оси вала.
Задача об устойчивости вала сводится к отысканию такой скорости о4 и такой формы изгиба вала, при которых вал может вращаться в изогнутом состоянии и будет существовать равновесие между силами инерций кругового движения и внутренними сг лами упругости при отсутствии неуравновешенности. Оси координат х, у считаем связанными с валом и вращающимися вместе с ним с угловой скоростью ео. Прогибы вращающегося вала рассматриваются в проекциях на координатную плоскость ху. Для получения уравнения для определения прогиба рассмотрим элементарный участок вала и действующие на него внутренние и внешние силы (рис. 7.7, б).
Составим уравнение равновесия сил и моментов 4(Я+44(х = О, пМ вЂ” Жх = О, (7.1 1) где д — интенсивность инерционной радиальной нагрузки вала, определяемая формулой д = рР (х) уо4', (7.12) р — плотность материала. Решая совместно уравнения (7.11) и исключая из них Я, получаем связь изгибающего момента с д (х): — +4(х) = О. лам (7.13) Изгибающий момент в любом сечении вала пропорционален кривизне центральной оси вала и связан с функцией прогиба равенством М= — Е7 — 24 . (7.14) Знак минус в формуле служит для согласования знака кривизны и знака изгибающего момента, т.
е. направления его действия, показанного на рис. 7.7. Подставляя в уравнение (7.13) функции М и д согласно формулам (7.14) и (7.12), получаем дифференциальное уравнение прогиба вала †„,, (Е7 — е ) — реоаР (х) у = О. (7.15) Решение этого уравнения дает линию прогиба вала переменного сечения при потере устойчивости.
Для определения основных закономерностей рассмотрим вал постоянного поперечного сечения. Тогда уравнение (7.15) запишем в виде (7.19) ф-йод=О, (7.16) где $ = х71 — относительная координата. В пределах длины вала она изменяется от 0 до 1; рреое74 (7.17) Е7 Общее решение уравнения (7.16) имеет вид у = Сг С11 йз + С, 3Ь йз + Са соз й$ + С4 з(п йз. (7.18) Справедливость этого решения легко проверить подстановкои его почленно в исходное дифференциальное уравнение. Постоянные интегрирования определяются на основе условий закрепления на концах вала: д (О) = О, д (1) = О, М (О) = О, М (1) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
