Конструкция и проектирование авиационных газотурбинных двигателей под ред. Хронина Д. В. (1014169), страница 62
Текст из файла (страница 62)
В момент прохода системы через нулевое состояние деформации в системе равны нулю, поэтому П = О. Скорость движения, а вместе с этим и кинетическая энергия максимальны. Сказанное позволяет записать равенство (6.111) в таком виде 6.3.2. Рас чет на колебания рабочих колес компрессоров и турбин методом Рэлея В большинстве случаев наиболее важно рассчитать основныш т.
е. первые формы колебаний рабочих колес. Первыми формами являются все формы без узловых окружностей с любым числом узловых диаметров. Эти формы весьма рационально рассчитывать с точки зрения затрат времени и с достаточной степенью точности хорошо разработанным методом Рэлея. Основой этого метода является уравнение сохранения энергии П+ К= сопз1, (6.
111) которое означает, что сумма потенциальной энергии деформаций и кинетической энергии колебательного движения в течение всего р н остается постоянной. Это условие справедливо для свободных колебаний, когда на систему не действуют внешние возмущающие силы и отсутствуют потери энергии. 326 Следует обратить внимание на то, что при расчете пластин, защемленных по внешнему контуру, интеграл второго члена формулы обращается в нуль. Максимальная потенциальная энергия, когда соз р( = 1, при колебаниях по форме с несколькими узловыми диаметрами получится после подстановки в (6.113) функции прогиба: (6.114) к ге 2(1 )б) ~а'и (' 'цг ' и) ~ ~ ( У))1) (6.1! 5) Если в срединной поверхности диска действуют большие напряжения растяжения или сжатия, то изгиб такого диска 327 требует дополнительной затраты энергии.
Эта энергия подсчитывается по формуле Пор= 2 и ) Ь '(а„( ~ ) +по —,, ио~гй. (6,116) Гр Входящие в формулу напряжения ор и оо являются известными величинами, получаемыми из расчета диска на прочность. Для расчета потенциальной энергии изгиба лопаток их массу заменяют эквивалентной массой, непрерывно распределенной по ометаемой лоно охами площади, обладающей равными с лопаткой жесткостькр на изгиб и удельной массой: Е,!2 .
РГ" 2 (6.1!7) где Е, У, Р, — модуль упругости, момент инерции сечения лопатки на изгиб, площадь поперечного сечения лопатки на ра ус . Е берется с учетом температуры лопатки в данном сечении; ег.Е адив — число лопаток на рабочем колесе.
Потенциальная энергия лопатки складывается из двух частей — потенциальной энергии деформации изгиба и энергии, затрачиваемой на преодоление действия центробежных сил: 2Я Г П.= —,' ~ ~77.(~,)'.8.88+ о 2Я Гр à — ~т 022гог(тдО ~( —,) 0!г, (6.118) 0 Гр где г, и г, — радиусы окружностей по корневым сечениям и по концам лопаток как с В связи с тем, что колебания лопатки и диска рассматриваю совместные, функция (6.114) максимальных прогибов распротся страняется и на лопатки. Тогда после интегрирования общего множителя оя соз' и8 р!О = и о и замены 7)„и т„согласно (6.1!7) получим следующую фо м д ра чета потенциальной энергии лопаточного венца прн колеля ас рмулу баниях: Г Г П = ~ ~Е1(,з.о ) 2!г+ — ~РоР~Еяго(г ~( — ) 0!г. (6.120) 1 Г Гр Об оцая потенциальная энергия представляется суммой и =и+и, +и„.
(6.121) 328 Потенциальная энергия деформаций кольца, в котором расположены замки лопаток, не учитывается приведенной формулой в виду нарушения его целостности. Максимальная кинетическая энергия колебаний диска с лопатками представляется обычной формулой Г, 2я Г, 2я 2К= — ) ') рйг( ~ ) г!гг!О+ ') ') т„г( — ) Лги.
(6,122) Гр О О Скорость колебательного движения диска определяется производной функции прогиба (6.108) и равна — = — ри (г) соз иО з2п р1, (6.123) ее максимальное значение будет при з!и р! = 1. Соответственно формула максимальной кинетической энергии имеет вид Гр Гр ,— — "р'(1рро'РРР ~-1 — рРГо'РРЯ~. Рр Р11Р Г Г1 В формулы потенциальной и кинетической энергий входит функция прогиба и (г), которую необходимо подобрать так, чтобы удовлетворялось равенство (6.112), т.
е. равенство общей потенциальной и кинетической энергий. Если этого выполнить не удается, то наиболее точной из всех приближенных функций будет та, при которой разность П„„— К„„„будет наименьшей. Прн конструировании функции прогиба из сопряженных отрезков кривых различного математического выражения или при выборе общей формулы прогиба для дисковой и лопаточной части необходимо, чтобы изображаемая форма прогиба удовлетворяла условиям закрепления диска, Вместе с тем функция прогиба должна содержать свободные параметры, один нли несколько, с помощью которых можно было бы варьировать форму прогиба, не нарушая условия закрепления и достигая минимума разности: Ф=П вЂ” К (6.126) В простейшем случае для форм колебаний, изображенных на рис.
6.32, г, может быть использована функция прогиба в виде и (г) = г', (6.126) где з ) 1; а в случае барабанной конструкции ротора (рис. 6.32, б) — функция и (г) = (г — г.), (6.127) где го — радиус окружности барабана. В обоих случаях предполагается, что внутренний контур диска имеет закрепление в виде заделки, при которой прогиб н угол поворота сечения равны нулю. Показатель степени з яв- 329 Рс!Рг (о ,г о,в ОБ Ррасч г ляется варьируемой величиной и подбирается так, чтобы нкционал имел минимальное значение пр б диска. при из раиной форме изгиба Приведенные примеры функций прогиба позволяют пол ч достаточно точный результат расчета п и незна ра от.
олее точные расчеты с помощью ЭВМ производятся на основе более точных ф н Ритца. о ных функций прогиба методом Для функции прогиба (6.126) формулы потенциальной и к деформации диска г 1 П = — п~(в) ~ Вгх* а с(г, о (6.128) (6. 131) и+и„+и, К' вых (6 Г32) сная энеРгия, подсчитанная где К* х — кинетическ ) для р = 1. 330 (6.133) по формуле где 1') (в 1) (в 2впа + и'). (6.129) Формула (6.116) принимает вид г„ П м =- й ~ Ь(вхог+ и ое) гга-э с(г (6.130) о Формула потенциальной энергии лопатки 1 гг П4 ~ И(1)вЕЬ!!И+ г| гг '-' )"""'" -"'"1 б Кинетическая энергия определяет ф ся формулой и +1 гг гг К 2 х — ~ Р )гь~'г -г (мггг "г ~.
(э.!32) о г, напряжений о Дальнейшее интег и ован е р р и связано с законом изменения Р, пряжений о„ и ое для диска и переменных Ег Р— ля методами. интегрирование производится численными После подсчета энергий как ф нк суммар ной потенциальной и кинетичес р " функций з, полагая равенство функцию Рэлея: ч ской энергий, составляем а» В О,ЛБ ~)Б г(гв ~л(~д Рис. 3.34, Влияние масс лопаток иа частоты собственных колебаний рабочих колес компрессоров и турбин эраст Рис.
6.33. Минимиэапионная кривая метода Рэлея-Ритка расчета дисков на колебания Зависимость рэ от параметра а, подсчитанная по формуле (6.133), строится в виде графика (рис. 6.33). Минимальное значение рэ является искомой частотой, а параметр вр„, — степенью функции прогиба (6.!26). Следует иметь в виду, что частота собственных колебаний, подсчитанная по формуле Рэлея (6.133), всегда несколько превышает точное значение из-за приближенности функции прогиба.
Функция прогиба (г' = г„построенная по расчетному показателю степени вр„„является осредненной и не может быть использована для определении напряжений изгиба в диске при колебаниях. Формула Рэлея (6.133) на основе формул (6.128) ... (6.132) позволяет производить оценку собственных частот колебаний рабочих колес компрессоров и турбин ГТД самых разнообразных конструкций и условий работы. 6.3.3. Зависимость собственных частот от различных факторов Увеличение коничности или гиперболичности сечения полотна диска ведет к существенному увеличению собственных частот в 1,5 — 2 раза [37).
Широкий обод на диске увеличивает его изгибную жесткость и также дает увеличение собственных частот. Увеличение частот зависит от массивности обода и может достигать 10 ... 15 %. Наличие на диске лопаток существенно снижает частоты колебаний. Это зависит главным образом от величины масс лопаток и их длины. На рис. 6.34 показано уменьшение частот в зависимости от соотношения массы всех лопаток и собственной массы диска. За единицу принята собственная частота диска без лопаток.
Если рассматривать увеличение массы лопаток в пределах 0,25 ... 0,5 от массы диска, то уменьшение собственной частоты происходит на 15 %, а для более длинных лопаток — до 20 %. 331 Рпо)Ра Рш(да Рис. 6.36. Влияние угловой скорости Рис. 6.36. Изменение собственных кона частоты собственных колебаний ра- лебаний дисков турбин с учетом тембочих колес компрессоров и турбин ператур в двигателе Определяющее влияние на частоты собственных колебаний оказывает угловая скорость рабочего колеса. Большой величины радиальные инерционные силы препятствуют изгибу диска, повышая частоты собственных колебаний (рис. 6.35). Как показывают расчеты, увеличение частот в рабочих условиях может достигать двукратного значения.
Оно зависит от геометрической формы рабочего колеса и лопаток, от соотношения нх масс и жесткостей. Количественная зависимость может быть представлена формулой я а 2 Ре = Ро+8 (6. 13 где ре — частота собственных колебаний колеса при отсутстви вращения;  — коэффициент влияния угловой скорости. Приведенная формула является модификацией формулы Рэлея (6.133). Входящие в нее значения р, н В вычисляются с помощью тех же формул потенциальных и кинетических энергий. Диски турбин в рабочем состоянии имеют высокую температуру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
