Диффузия и теплопередача в химической кинетике Франк-Каменецкий Д.А. (1014155), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В то же время она гораздо проще в математическом отношении. Важно не только то, что метод разложения экспонента позволяет получать в замкнутом виде приближенные решения ряда задач, для которых при 291 цессе распространения пламени, длина трубы должна быть больше расстояния, которое пламя пройдет за это время, т. е.
больше 1600 км. Ясно, что для реакций с энергией активации порядка нли больше 20 клал/моль вполне оправдано пренебрежение скоростью реакции не только при начальной температуре, но и прн всех температурах значительно ниже температуры горения. Отсюда следует важный вывод, что нет необходимости пользоваться температурной зависимостью скорости реакции в широком интервале температур. Вполне допустимо использование приблия<енного выражения, правильно описывающего эту зависимость в узком интервале температур. Однако если просто разложить скорость реакции в ряд по степеням разности температур, то потеряется самая характерная особенность явлений горения: способность реакции к экспоненциальному самоускорению.
Для количественного описания явлений горения разумное приближение дает предложенный автором настоящей книги м етод разложения экспонента 1541. В атом методе разложение в ряд производится в показателе формулы Аррениуса при сохранении ее экспоненциального характера. Для этого величина, стоящая в показателе формулы Аррениуса, представляется в виде Е Е Е 1 Е Е ЕТ Е (Т, + КТ) КТ, АТ ЕТ, ЕТз = — — = — — — ЛТ. (Ч1,22) ' 1+ Т точном законе Аррениуса применимы только численные методы.
Введение безразмерной разности температур по формуле (Ч1; 24) приносит большую пользу и при численном решении задач теории горения, позволяя отделить существенные зависимости от второстепенных. Для этого, сохраняя точный вид закона Аррениуса, записывают его через переменную О, используя очевидное тождество: лт — 1— ат ат т 1+— т С помощью этого тождества вместо приближенного разложения (Н1,22) получается точное равенство: и е О ят Вт, т+ и,э (Ч1,22а) и точное выражение закона Аррениуса записывается в виде в е О вт — е Ят .си+и~И (Ч1,23а) куда входит новый безраамерный параметр: лт, К При малых значениях этого параметра точное выражение (Ч1,23а) стремится к приближенному виду (Ч1,23).
Применимость метода разложения экспонента проверяется по слабой зависимости результатов расчета от параметра и,. В теории горения зта зависимость является второстепенной. ЗАДАЧИ И РЕЗУПЬТАТЫ МЬТЕМАТИЧЕСКОЯ ТЕОРИИ ГОРЕНИЯ 292 В настоящей главе мы дадим общий обзор простейших задач теории горения и полученных результатов. При этом основное внимание будет уделено безразмерным параметрам, позволяющим сформулировать обобщенные зависимости.
Удачный выбор безразмерных параметров имеет большое значение, позволяя не только упростить решение математических задач, но и выявить физические законы, как это будет показано ниже на конкретных примерах. Детальный анализ отдельных задач будет дан в двух следующих главах. Воспламенение и зажигание Стационарная теория теплового взрыва В нервом из них ищется стационарное распределение температуры (или концентрации активного продукта для цепного воспламенения) в заданных граничных условиях. При этом в уравнениях (Ч1,6) или (Ч1,7) опускается производная по времени и получается стационарное уравнение теории теплового воспламенения: Е 61ч1 ягай Т = — Яге (Ч1,25) или при постоянной теплопроводности: Е АТ вЂ” Оз вг 3 (Ч1,26) Критическими условиямн считаются те, при которых становится невозможным стационарное распределение температуры в реагирующей смеси.
При этом большое значение приобретает вопрос о надлежащем методе преобразования уравнения к безразмерным величинам. Можно указать два способа введения безразмерных величин: один, исходящий из точного вида закона Аррениуса, и другой, 293 Все задачи о воспламенении и зажигании в неподвижной среде сволятся к решению квазилинейного уравнения в частных производных (Ч1,6) или (Ч1,7), что может быть сделано только с помощью быстродействующих вычислительных машин. В литературе имеется ряд таких решений, на которых мы остановимся ниже.
Приближенные методы рептения задачи имеют фундаментальное значение не только для сокращения вычислительной работы, но и для понимания принципиальных вопросов. Решение уравнения в частных производных содержит слишком подробную информацию. Оно дает ход температуры со временем в каждой точке пространства. Очевидно, что при протекании зкзотермической реакции температура должна возрастать до тех пор, пока теплоотвод или выгорание исходных веществ не полоя~ат предел этому возрастанию. Только после введения разумных приближений специфика явлений горения выделяется из этой общей, довольно мало содержательной картины неизотермического протекания химической реакции.
Подобная ситуация типична для многих задач теоретической физики. Приближенные методы не только упрощают вычисления, но и позволяют ввести ряд важных физических понятий. Вместо решения уравнения в частных производных при рассмотрении явлений воспламенения и зажигания широко используются два упрощенных метода: стационарный и нестационарный. использующий метод разложения экспонента.
В первом методе роль безразмерной температуры играет фигурирующая в законе Аррениуса величина ят и= —, Ь' Во втором методе безразмерная температура определяется формулой (Ч1,24). Если в задаче имеется характерный линейный размер г, то за безразмерные координаты в обоих случаях берутся х 5=в г где х — обычные координаты. Безразмерный оператор Лапласа: Ас = гзА. В первом методе преобразования к безразмерным величинам уравнение (Ч1,26) принимает виц: 3 Аси = — — — газе Уравнение содержит один безразмерный параметр: ~'> Л т = — — гав. л я Бо в граничных условиях всегда содержится характерная температура Т., дающая второй безразмерный параметр: яг, и. = — '.
° Я Решение уравнения (Ч1,27), удовлетворяющее граничным условиям, должно иметь вид: =~а (Ч1,28) дающий безразмерную температуру и как функцию от безразмерных координат с двумя безраэмерными параметрами: т и и, Условия, когда такое стационарное распределение становится невозможным, должны иметь вид: т = 1(и.), если никакие дополнительные параметры не содержатся в граничных условиях. Для простейшей задачи о тепловом воспламенении вид функции 1 в (Ч1,29) пытались найти аналитически Тодес и Конторова [55). Однако при этом получаются весьма громоздкие результаты, которые не только не могут быть применены для численных расчетов, но и не дают воэможности делать какие-либо качественные выводы.
В рассмотренном методе выбор безразмерных параметров никак не отражает характерных особенностей явлений горения. 294 Для того чтобы можно было говорить о горении, должно быть выполнено условие: и, = — — '<-1, ят. Я Разумно искать предельный вид решения при и. — О; получаемые при этом результаты не только гораздо проще, но в них и гораздо резче выступают специфические черты, свойственные именно явлениям горения. Для того чтобы перейти к искомому предельному случаю, следует воспользоваться методом разложения экспонента, Подставляя в уравнение (Ч1,26) вместо аррениусовского экспонента его приближенное значение (Ч1,23) и переходя к безразмерной температуре О, определяемой формулой (Ч1,24), получаем безразмерное уравнение: О к Е Д-О = — — — гаге "т е'.
(Ч1 30) ) ь те Уравнение содержит один безразмерный параметр, который мы обозначили посредством Ь: Е Ь= — — гаге лт . лте В этом параметре собраны все величины, существенные для задач теплового воспламенения и зажигания. Уравнение при этом приобретает простой вид: ДгО = — Ьее. (Ч1,32) Решение уравнения (Ч1,32), представляющее стационарное распределение температур, должно иметь вид: 0=1($, Ь) с одним параметром Ь. Условие, когда такое стационарное распределение температур перестает быть возможным, есть критическое условие воспламенения. В простейших задачах граничное условие имеет простой вид: О = О на поверхности и критическое условие сводится к Ь = СопеГ = Ь е (Ч1,34) так как ни в уравнении, нп в граничных условиях никакие другие параметры, кроме Ь, не содержатся.
Если условия опыта при подстановке их в выражение (Ч1,31) дадут значение Ь меньше критического, то должно установиться стационарное распределение температур вида (Ч1,33). В противном случае доля~он проиаойти взрыв. Критическое значение Ь зависит от геометрической формы сосуда и может быть найдено либо путем численного интегрирования уравнения (Ч1,32), либо в простейших случаях аналитиче- 20.
Зак. 2013 295 ски. Математические свойства уравнения (Ч1,32) и методы его решения будут рассмотрены в следующей главе. Там будет показано, что в простейшей задаче о самовоспламенении для бесконечного цилиндрического сосуда критическое значение б выражается целым числом: б„э = 2, а для сферического сосуда оказывается трансцендентным числом: б„г ж 3,32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
