Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 74
Текст из файла (страница 74)
По-видимому, главным механизмом обратной связи, который играет в этом опыте решающую роль, является механизм, связанный с периодическим волнообразованием на поверхности пламени, который рассматривался во второй половине $ 38. В отличие от приведенного выше принципиального рассмотрения указанной задачи, здесь будет дано решение для несколько упрощенных условий, но доведенное до конца. Как уже указывалось в ~ 38, при акустических колебаниях среды расположенный в ней фронт пламени испытывает действие ускорений, изменяющихся периодически.
В этом случае отклонение возмущенного фронта пламени от его стационарного положения т = 0 в направлении оси х (при некотором заданном значении координаты у) описывается уравнением Матье (38.25) (здесь г — величина, пропорциональная времени г): А" (г) — 2д соз 2гА (г) = О. (49.1) Поскольку трубы, в которых ставились опыты Ковардом, Хартвеллом и Джорджсоном, располагались горизонтально, коэффициент а в уравнении (38.25) принят равным нулю. С тем, чтобы сделать возможным решение написанного уравнения в элементарных функциях, введем следующее упрощение. Заменим периодическую функцию соз 2г приближенной, составленной из участков с постоянными значениями функции, как показано на рис.
100. Кроме того, сместим начало отсчета аргумента г на —, 438 члстпыв случаи свмовозвтждкния [гл. х введя переменную г, = г+ 4 . Тогда вместо уравнения (49А) можно будет написать А" (г,)+ср(г,) А(г,) =О, (49.2) где ср (г,) = + т' для интервалов О ( г, ( —, н ( г, ( 22н и т. д. и ср(г,) = — и' для интервалов — с, г, ( н, 2 Зн — ( г, ( 2я и т. д. Величина жв определяется прн этом следующей формулой: те= Ы ~е(О' Л(от+а) ' Приведенное здесь выражение для те получено из сравнения уравнения (38.25) с уравнением (49.2).
Рис. 4ОО. Замена косинусоиды разрывной функцией типа меендра. При этом учтено, что среднее значение соз 2г на интервале, где эта функции не меняет знака, равно по абсолютной величине 2!и. Уравнение (49.2), так же как и уравнение Матье, является уравнением с периодическим коэффициентом (коэффициент при А (г,) изменяется в функции г, по е»»1 вивРАционное ГОРение в непОдвижном ГАзе 439 закону, изображенному на графике в нижней части рис.
100). В соответствующих разделах математического анализа показано, что уравнение такого типа имеет решение вида А (г,) = С,ей'»), (г,) + С«е'»'»1» (г,), (49.4) к которому принадлежит и решение (38.26). При этом функции /, (г,) п Г» (г,) являются периодическими, а характеристические показатели е, и е, — постояняымн величинами. Будем, основываясь на сказанном, искать решение уравнения (49.2) в виде (49.5) А (г,) = Се ~) (г,).
Разобьем всю ось г, на участки длиною —; участками первого типа будем называть те, в которых «р(г,) =т', участками второго типа те, где «р(г,) = — т'. Рассмотрим совокупность двух соседних участков первого и второго типа. Пусть, для определенности, это я я будут участки 0~(г»( — и — ~(г(я. Тогда решением 2 2 дифференциального уравнения (49.2) будет для первого участка (49.6) и для второго участка (49.
7) Эти решения необходимо «склеить» должным образом. Для этого надо потребовать, чтобы на соприкасающихся границах участков величины А, и А, а также производные — и — совпадали. Броме того, следует учесть ИА» ЫА» Ы»» е»» требование, которое'является следствием периодичности функции /(г,) в равенстве (49.5). Обозначим период рассматриваемой функции через т; тогда естественно допустить, что этот период будет совпадать с периодом функции «р(г,), входящей в уравнение (49.2), или будет кратен ему. Период функции «р(г,) равен, как это следует из рис.
100, т = я; поэтому можно написать еще два 440 ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ САИОВОЗБУЖДЕНИЯ [г4. Х Аг( 2 )=Аз( '2 ); АА, / 44 ~ нА [' я ') 4'44 [, 2 ) 44, ( 2 Х аА, (0) = А, (я), (49.8) а ' (0) =- †' (я). Е44 4[44 Подстановка в условия (49.8) решений (49.6) и (49.7) дает следуюп[ую систему уравнений; Л . Л й й Се э+Се з — Се э+Се Х=О, аС, +аС, — Сзе '" — С,е "=О, (аС, — [аС, — С,е + Сее = О. Система (49.9) может иметь нетривиальные решения только в том случае, если ее определитель равен нулю. Коли написать это условие, то после несложных, но достаточно громоздких вычислений получим следующее равенство: или а' — 2 соз т — СЬ т — а+ 1 = О. (49.10) 2 2 Пользуясь написанным здесь равенством, можно найти два значения а, при которых система (49.9) имеет решения, отличные от нуля.
Эти два значения (а, и а,) определят два значения характеристических показателей э, и з, входящих в общее решение (49.4). Даже не находя численных значений а, и а,, можно указать на некоторые свойства этих величин. Иэ вида коэффициентов квадратного уравнения (49.10) следует, что условия, связывающие начало и конец интервала, соответствующего совокупности двух соседних участков пер- оЛ, аА4 вого и второго типов: аА, (0) = А,(я); а — ' (0) = — (и), З44 где ,"а = е4Я. Таким образом, имеем следующие четыре условия: э1 вивглционнок гоэкнив в квподвижном глзв 441 а,аз = 1.
Следовательно, если модуль одного иэ чисел больше единицы, то модуль другого меньше единицы, и наоборот. Таким образом, отличие модуля одного из чисел а, или а, от единицы говорит о том, что волновое движение на поверхности пламени неустойчиво, так как тогда среди а, и а, обязательно существует )а ( > 1, что соответствует г > О, т. е. неустойчивости (не следует забывать, что независимая переменная г, в решении (49.4) пропорциональна времени Ц.
Следовательно, устойчивый процесс (без нарастания амплитуд колебаний со временем) возможен только при а, = аз = 1 или при комплексных значениях а, и а,. Действительно, а, =созт — сЬт — +1 р 1 — соз'т — сЬзт —. я я . / л я 2 2 г' 2 2 (49. 11) При соз т —" сЬ т —" ( 1 модуль числа а, или а, (квадрат которого равен сумме квадратов вещественной и мнимой частей) в точности равен единице. Это говорит о том, что характеристический показатель з имеет вещественную часть, равную нулю, т. е. амплитуды волн на поверхности пламени не станут возрастать с течением времени зм Формула (49.11) показывает, что величины а, з зависят от числа т.
Проанализируем это влияние числа т на устойчивость более подробно. Такой анализ будет аналогичен рассмотренному в 1 38 вопросу о влиянии коэффициента д на характер решения уравнения Матье. Сравнивая уравнения (49.1) и (49.2), можно установить между этими двумя параметрами численное соответствие, приближенно отвечающее существу явления: та= — 9 4 (49.12) (здесь принято, что среднее абсолютное значение сов 2г 2 равно — ). При непрерывном изменении числа т корни а, и а, будут также меняться непрерывно.
В силу того, что а,аз = 1, достаточно следить за каким-либо одним из этих 442 ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ САМОВОЭБУЖДВНИЯ [гл. Х при О<т2<1,39 при 139 <тэ< 9 а, — комплексная величина, а, — отрицательная вещественная величина, при 9<э[2<25 при 25 < л[2 < 49 а, — положительная вещественная величина, а, — отрицательная вещественная величина, При написании этих неравенств не принимались во внимание узкие интервалы значений т2 около т2 = 9, ш2 = 25, тэ = 49 ..., в которых аг является комплексной корней.
Прежде чем приступать к анализу зависимости а от т, напомним, что функция сЬ х является четной, всегда положительной, монотонно-возрастающей по ~ х ~ и достигающей наименьшего значения сЬх= 1 при х = О. Пусть т увеличивается от О до со. При т=О а,=1. При увеличении т а, становится комплексной величиной, пока соэ л2 — сЬ п2 — не начнет (вследствие монотон- 2 П 2 2 2 ного возрастания СЬэт — [ превышать единицу. Б этот 2 / момент а, станет вещественным корнем. Далее, вследя ствие приближения соз' л2 — к нулю а вновь примет 2 2 комплексное значение и т.
д. Следовательно, а, будет периодически становиться то вещественной, то комплексной величиной, причем по мере роста ш интервалы значений т, где а, — комплексная величина, будут делаться Я все более узкими вследствие быстрого роста СЬ2 т — . 2 Описанному здесь чередованию интервалов значений л[, где корень а, является вещественным или комплексным, соответствует чередование областей устойчивости и неустойчивости волнообразования на фронте пламени. Такое же чередование областей устойчивости и неустойчивости описывалось и выше, при рассмотрении уравнения Матье [см.
э 38). Численный анализ дает в рассматриваемом случае следующие результаты: 1(в1 виврлционное Горение в ыеподвнжноу( ГАзе 443 величиной (непрерывный переход от а, отрицательных к а, положительным и обратно происходит через комплексные значения а,). Если сопоставить эти интервалы с соответствующими интервалами значений коэффициента 17 в уравнении Матье (см. 9 38), то, пользуясь формулой (49.12), можно составить следующую сравнительную таблицу значений д: Интервалы значенвй д, соответствующих областям пеустойчввоств По ураввеывю Матье (19.11 по уравнению (19.21 0,91<7<7,5 7,5<9<21 21<7<42 1,09<9<7,05 7,05<9<19,6 19,6<9<38,1 Как видно из приведенной таблицы, численное соответствие между обеими сериями областей получилось много лучше, чем можно было бы ожидать от столь грубой идеализации — замены синусоиды ступенчатой разрывной функцией типа меандра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
